第1章 1.1 第1课时 集合的含义（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第一册高中同步学案（人教版）

第一章　集合与常用逻辑用语 1．1　集合的概念 第1课时　集合的含义 1．通过实例了解集合的含义．(难点) 2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点) 1．元素与集合的相关概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． (2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 【思考】　 (1)某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 【答案】　不能构成集合． (2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？ 【答案】　能构成集合． 2．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A，记作a∉A． 3．常见的数集及表示符号 数集 非负整数集 (自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 1．接近于0的数可以组成集合．(　　) 2．分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的．(　　) 3．一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　) 4．组成集合的元素一定是数．(　　) 【答案】　1.×　2.√　3.×　4.× 一、集合的基本概念 　考察下列每组对象，能构成集合的是(　　) ①中国各地最美的乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④2020年3月1日，湖北省新冠肺炎确诊的人． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】　B 1．下列说法中，正确的有 ．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③方程(x－1)2(x＋2)＝0所有解组成的集合有3元素． 【答案】　② 【反思感悟】　判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 二、元素与集合的关系 　下列关系中正确的个数为(　　) ①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N* A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】　B 【解析】　因为①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以∉Q，正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B. 【反思感悟】　判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 三、元素特性的应用 　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 【解】　∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3，则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意； 综上所述，a＝0或a＝－1. 【反思感悟】　在解决集合中元素的相关问题时，互异性是至关重要的．当集合中的元素含有参数时，常采用分类讨论的思想方法进行研究． 2．若集合中的三个元素分别为2，x，x2－x，则元素x应满足的条件是 ． 【答案】　x≠2且x≠－1且x≠0 【解析】　由元素的互异性，可知 解得x≠2且x≠－1且x≠0. 1．下列给出的对象中，能组成集合的是(　　) A．一切很大的数 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程x2－1＝0的实数根 【答案】　D 2．(多选)已知集合A由x<1的数构成，则有(　　) A．3∈A　　　　　 B．1∈A C．0∈A D．－1∈A 【答案】　CD 3．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是(　　) A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形 【答案】　A 4．若集合P含有两个元素1，2，集合Q含有两个元素1，a2，且P和Q相等，则a的值为 ． 【答案】　± 【解析】　由于P和Q相等，故a2＝2， ∴a＝±. 5．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合为A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【解】　(1)数集N，Z不是“闭集”．例如： 3∈N，2∈N，而＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z. 而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集． (2)数集Q，R是“闭集”．理由如下： 由于两个有理数a和b的和，差，积，商， 即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集，同理R也是闭集． 1．知识归纳： (1)元素与集合的概念． (2)集合中元素的三个特性． 2．方法归纳：分类讨论． 3．常见误区：元素与集合的关系符号，常见数集的符号． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$