精品解析：内蒙古呼和浩特市农大附中2024-2025学年下学期九年级数学 中考模拟试卷

内蒙古呼和浩特市农大附中2024-2025学年下学期九年级数学中考模拟试卷 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上作答一律无效．考试结束后，请将答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时长90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 3. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的个数有（ ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，，以为直径作，与，分别交于D，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若点、、都在反比例函数 (为常数)的图象上，且，则下列关于、、大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 因式分解：_________． 10. 如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则___________． 11. 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是___________米．（参考数据：） 12. 如图，正方形的边长为2，点是边上一动点（点不与点B、C重合），以线段为边长，作正方形，使得点F、G落在直线的下方，连接、．当为等腰三角形时，的长为___________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中满足 14. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 15. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． （1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 16. 如图，在正方形中，点在对角线上，以点为圆心，的长为半径的与相切于点，与分别相交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知正方形的边长为，求的半径． 17. 综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴是直线，．为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在第三象限内，且，求的面积． （3）在（2）的条件下，若为直线上一点，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古呼和浩特市农大附中2024-2025学年下学期九年级数学中考模拟试卷 注意事项： 1．考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡的规定位置． 2．考生要将答案写在答题卡上，在试卷上作答一律无效．考试结束后，请将答题卡交回． 3．本试卷满分100分，考试时长90分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算法则分别求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 2. 如图是呼和浩特市某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求中位数，众数，平均数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题从截图中获取信息，根据中位数，众数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、观察可知，这五天中，5月1日的最高气温最高，最低气温最低，故温差最大的是5月1号；该选项正确，不符合题意； B、这五天中，每日最低气温出现次数最多的是，故众数为；该选项正确，不符合题意； C、将每日最高气温排序后，第3个数据为，故中位数为；该选项错误，符合题意； D、这五天中，每日最高气温的平均数为；该选项正确，不符合题意； 故选：C； 3. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角；根据作图可得，结合，即可根据证明． 【详解】解：根据作图可得， 又∵， ∴． 故选：D． 4. 已知圆锥的侧面积是，母线长是4，则这个圆锥的底面圆周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，直接利用扇形的面积公式求解即可．解题的关键是理解：圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆周长为，则： ， 解得：， ∴这个圆锥的底面圆周长是． 故选：D． 5. 下列说法中正确的个数有（ ） ①若满足，则； ②关于的方程存在整数解； ③若两个实数满足，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法、完全平方公式，根据完全平方公式，整式的乘法进行计算，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①若满足， ∴ 即 ∴ ∴；故①正确 ②∵， ∴，当是整数时，不可能是整数， ∴关于的方程不存在整数解，故②不正确； ③∵ ∴， ∴ ∴ ∴，故③不正确； ④∵ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确 故正确的个数有个 故选：B． 6. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明 ，即D选项正确； 【详解】由旋转可知， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵为钝角， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴，故C选项错误，不符合题意； 由旋转可知， ∵， ∴为等边三角形， ∴． ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 7. 如图，在等边中，，以为直径作，与，分别交于D，F两点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的性质，勾股定理等知识点，根据图中阴影部分的面积是求解即可，根据图形得出阴影部分的面积是是解题关键． 【详解】连接、，过点D作， ∵为圆的直径， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴ 同理可证：， ∴， ∴， 故选：C． 8. 若点、、都在反比例函数 (为常数)的图象上，且，则下列关于、、大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出，从而推出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数 (为常数)，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 二、选择题（共4小题，每小题3分，共12分．） 9. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 10. 如图，在中，点D为边上的一点，，点E为中点，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质； 延长交于点F，过点D作，证明，结合勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质求出，进而问题得解． 【详解】解：延长交于点F，过点D作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，某次拍摄中，当运动员在点位置时，无人机在他的仰角为的斜上方处，当运动员到达地面点时，无人机恰好到达运动员正上方的处，已知的坡度为且长为300米，无人机飞行距离为60米，则无人机离地面高度的长是___________米．（参考数据：） 【答案】345 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，由的坡度为且长为300米，结合勾股定理可得米，米，米，在中，，可得米，则米，根据可得出答案． 【详解】解：过A点作地面的垂线，交地面于点E，过点C作于点G，     ∵的坡度为， ∴， 设米，则米， 由勾股定理可得米， ∴， 解得， ∴米，米， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴（米）． ∴无人机离地面的高度的长约为345米． 故答案为：345． 12. 如图，正方形的边长为2，点是边上一动点（点不与点B、C重合），以线段为边长，作正方形，使得点F、G落在直线的下方，连接、．当为等腰三角形时，的长为___________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，，根据正方形的性质得到，，推出，则有，，得出，再根据等腰三角形的定义分3种情况讨论：①；②；③，画出对应的示意图，结合等腰三角形和相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为2， ∴，，，， ∵正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰三角形， ∴分3种情况讨论： ①若， 则， ∴； ②若， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ③若， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵点不与点B重合，不符合题意，舍去； ∴综上所述，的长为或1． 故答案为：或1． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中满足 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，特殊角三角函数值，分式的化简求值； （1）代入特殊角三角函数值，利用二次根式、绝对值、负整数指数幂的性质化简，然后计算即可； （2）先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，约分后得到最简结果，再根据得出，整体代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ∵满足， ∴， ∴原式． 14. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）①18； ②补全第1小组得分条形统计图如下， （2）5；；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图略； 【小问2详解】 由条形图可知，得到5分的人数最多，故； 由扇形图可知：； 由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分， ∴； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 15. 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． （1）每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ （2）若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ （3）在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】（1）每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱 （3）在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【解析】 【分析】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得 解得 答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 【小问2详解】 设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得 解得： 取正整数， ，，， 共有种租车方案 设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 【小问3详解】 设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴， ，即 解得 或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 16. 如图，在正方形中，点在对角线上，以点为圆心，的长为半径的与相切于点，与分别相交于点． （1）求证：是的切线； （2）已知正方形的边长为，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接，过点作于点， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴对角线平分， ∵， ∴， ∴是圆的半径，点是半径的外端点，且在上， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，过点作于点，根据切线的性质可得，由正方形的性质可得对角线平分，由角平分线的性质定理可得，根据切线的判定方法即可求证； （2）根据勾股定理可得，设，则，根据正方形的性质可得，根据角的正弦值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， 根据题意，设，则， ∴在中，， ∴， ∴， 解得，， 检验，当时，， ∴的半径为． 【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，圆的切线性质及证明，勾股定理，特殊角的正弦值求线段的长，掌握切线的性质及证明，特殊角的正弦值的计算方法是解题的关键． 17. 综合与实践 【问题情境】如图1，小明将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【问题解决】（1）当， ①如图2，当点与点D重合时，求的长； ②如图3，若，求的长； 【问题探究】（2）如图4，连接，设与交于点O，当时，求证：平行； 【深入探究】（3）在（2）的情形下，设与交于点P，求三条线段，，之间满足的等量关系． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，当时，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， 由折叠得：，， ∴， ∴， ∴， ， ． （3） 【解析】 【分析】①根据四边形是矩形，，得出，根据折叠可得，，设，则，当点与点D重合时，在中，根据勾股定理列方程即可求解． ②如图3，若，根据矩形的性质得出，勾股定理求出，如图，设与交于点，由折叠得，证明，得出，求出，即可解答． （2）当时，设与交于点，根据四边形是矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，三角形外角的性质求出，由折叠得：，，求出，，，根据，同位角相等，两直线平行，即可证明． （3）如图，过点作于，设交于，由折叠得：，设，根据，求出，根据（2）可得，，解直角三角形表示出，证明四边形是矩形，得出，表示出，解直角三角形求出，，根据直角三角形的性质表示出，，证明，过点作，根据等腰三角形的性质得出，解直角三角形得出，即可表示出，得出． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形，， ∴， 根据折叠可得，， 设， 则， 如图，当点与点D重合时， 在中，， ∴， 解得：， 即． ②如图3，若， ∵四边形是矩形，， ， ， 如图，设与交于点， 由折叠得：， ， ， ， ， ∴， ， ． （2）略 （3）， 理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：， 设， ∵， ∴， 根据（2）可得，， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 18. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知抛物线的对称轴是直线，．为抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点在第三象限内，且，求的面积． （3）在（2）的条件下，若为直线上一点，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】(1)由OA=OC=2，得A(2,0)，C(0,−2)，由待定系数法即可求抛物线的函数表达式； (2)由可得B(−4,0)，设直线BC为y=kx−2(k≠0)，将B(−4,0)代入得直线BC为，设，则，D(m,0)，即得PE，OD，根据，即可求得得m，据此即可得△PBE的面积； (3)由(2)知：B(−4,0)，D(−3,0)，直线BC为，设，根据两点间距离公式，可用含有t的代数式表示出BM2，DM2，BD2，再分三种情况分别列方程计算，即可分别求得． 【小问1详解】 解：∵OA = OC = 2， , ∴.A(2,0)， C(0,-2)， 根据题意得：， 解得 ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由可得B(-4,0)， 设直线BC为 y=kx−2(k≠0)，将B(-4,0)代入得：0=-4k-2， ∴， ∴直线BC为， 设 ，则，D(m,0)， ∴，， ∵， ， 解得m = 0(舍去)或m = -3 ， ，BD = OB-OD = 4-3 = 1， ∴的面积为 ； 【小问3详解】 解：存在； 理由如下： 由(2)知：B(-4,0)，D(-3,0)，直线BC为， 设，则，，， 当BM=DM时，， 解得， 此时点M的坐标为； 当BM=BD时，， 解得或， 此时点M的坐标为或； 当DM=BD时，， 解得或(与B重合，舍去)， 此时点M的坐标为， 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、两点间的距离公式、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $