精品解析：2025年5月陕西省西安国际港务区铁一中陆港初级中学中考学情调研数学试题

数学学科中考学情调研 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 2. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点，连接，若，则线段的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 6. 直线交轴于，交轴于，直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，对角线垂直平分半径，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴在y轴的左侧 C. 若，该函数图象与x轴没有交点 D. 当时，该函数的最大值与最小值的差为4 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 已知、、、，与是同类二次根式的是___________． 10. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB．BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=______． 11. 如图，是矩形的对角线，，延长到，使得，连接交、于点F、G，则___________． 12. 正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 13. 如图，在菱形中，，，点在的上方，的外接圆半径为，为的中点，若平分五边形，则的长度是___________． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解不等式组： 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中 17. 如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 19. 2025年春节档饺子导演的电影《哪吒之魔童闹海》红遍全球，以156亿元票房高居全球票房第五名，将中国文化推向世界，让世界各族人民喜欢中国文化、学习中国文化．哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的图像的卡片成为热门商品，某中学两名同学用4张哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的卡片玩游戏，（卡片形状大小完全相同，背面颜色一致）充分洗匀后随机抽取． （1）随机抽取一张卡片，抽到哪吒卡片的概率是___________； （2）若第一次抽取后不放回求连续两次抽到一对师徒的概率？（太乙真人与哪吒、申公豹和敖丙是师徒） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 21. 如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 22. 在人工智能实验室中，研究人员使用算法优化模型训练过程．训练时间（小时）与数据量（）的关系可以用一次函数表示．已知：当数据量为时，训练时间为2小时；当数据量为时，训练时间为4小时； （1）求出训练时间与数据量之间的解析式； （2）当训练时间是10小时时，数据量是多少？ 23. 某校艺术节商贸集市结束后，校团委组织同学们参加了募捐活动，随机抽查了部分八年级同学捐款的情况绘制了条形统计图和扇形统计图，请根据信息回答下列问题： （1）本次共抽查学生___________人，请将条形图补充完整； （2）捐款金额的众数是___________，平均数是___________； （3）若八年级名学生中，捐款元及以上（含元）的学生估计有多少人？ 24. 如图，在，，以为直径的分别交、于点D、E，且是的切线，交的延长线于F． （1）求证：．（2）若，，求和的长． 25. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 26. （）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科中考学情调研 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的算术平方根是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，解题关键是掌握算术平方根的概念． 根据算术平方根的概念列式计算． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：C． 2. 如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 3. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 4. 如图，在中，，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点，连接，若，则线段的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可． 【详解】解：∵，点是的中点，， ∴， ∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，为菱形的对角线，，菱形的面积是，过点D作，垂足为点，则的面积是（　　） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的面积，连接BD，由菱形的性质推出，，判定是等边三角形，推出，的面积菱形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵的面积，菱形的面积， ∴的面积菱形的面积． 6. 直线交轴于，交轴于，直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，求绕原点旋转90度的点的坐标，熟知以上知识是解题的关键． 先求出A、B两点的坐标，再求出直线绕原点顺时针旋转后，的坐标，利用待定系数系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵直线交x轴于A，交y轴于B， 当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∵直线绕原点顺时针旋转， ∴，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ∴直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为：． 故选：D． 7. 如图，四边形内接于，对角线垂直平分半径，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如解图，利用圆周角定理求得∠ADE=40°，利用BD垂直平分半径OC，证得四边形OBCD为菱形，再证得△ODC为等边三角形，即可求解 【详解】解：作直径DE，连AE、OB、OD， ∵∠ABD=50°，DE为直径， ∴∠E=50°，∠EAD=90°， ∴∠ADE=40°， ∵BD垂直平分半径OC， ∴CD=OD， 由垂径定理得，半径OC也垂直平分弦BD， ∴四边形OBCD为菱形， ∴OC=OD=CD， ∴△ODC为等边三角形， ∴， ∴∠ADC=∠ADE=100°， 故选：D 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，正确得出四边形OBCD为菱形是解题的关键． 8. 已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴在y轴的左侧 C. 若，该函数图象与x轴没有交点 D. 当时，该函数的最大值与最小值的差为4 【答案】D 【解析】 【分析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键． 【详解】解：由，所以开口向下，故A选项错误； 抛物线对称轴为，不能确定对称轴的位置，故B选项错误； 若，即，所以，该函数图象与x轴有两个交点，故C选项错误； 当时，有最小值为，当时，有最大值为，所以最大值与最小值的差为4，故D选项正确； 故选：D． 二、填空题（共5小题，每题3分，计15分） 9. 已知、、、，与是同类二次根式的是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义； 先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断． 【详解】解：，， 与是同类二次根式的是， 故答案为：． 10. 如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB．BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=______． 【答案】72°． 【解析】 【详解】解：连接OA、OB、OC， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴∠AOB=∠BOC=72°， ∵OA=OB，OB=OC， ∴∠OBA=∠OCB=54°， 在△OBP和△OCQ中， ∵OB=OC，∠OBP=∠OCP，BP=CQ， ∴△OBP≌△OCQ， ∴∠BOP=∠COQ， ∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC， ∴∠BOP=∠QOC， ∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC， ∴∠POQ=∠BOC=72°． 故答案为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键． 11. 如图，是矩形的对角线，，延长到，使得，连接交、于点F、G，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用．通过设未知数，利用相似三角形对应边成比例的性质来求解线段比例关系是解题的关键．先利用矩形性质和三角函数设出矩形边长，再通过相似三角形的性质求出线段比例关系． 【详解】解：四边形是矩形，，设，则, 又， , ∵在矩形中，， ， ， ，解得， 则, ， ， ， ． 故答案为：． 12. 正比例函数与反比例函数的图象经过点、两点，、．若．点在反比例函数上．比较大小：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，依据题意，由正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，，从而结合正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称，故，，又，则，再由，可得，即进而函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大，又故可判断得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象经过点两点，， 又∵正比例函数关于原点对称，反比例函数关于原点对称， ∴，，， ， ， ， ， ∴函数的图象分布在第二、第四象限，并且在每一个象限内随的增大而增大， 又 ， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，点在的上方，的外接圆半径为，为的中点，若平分五边形，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，，作 于点，可得四边形和四边形都是平行四边形，推出，在中，可得，然后可证，即可求出，根据直角三角形共边建立方程，求解即可. 【详解】解：如图，连接，，作 于点， ∵为的中点，若平分五边形， ∴与交于点，且平分， ∴，； ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形是菱形，，， ∴ ， ∵为中点， ∴， 在中， ， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∵，， 在中， ∴，设， ∴， 在与中， ∴，则， 解得：（负值舍去）， ∴ ， ∴ ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的综合应用，菱形的性质，勾股定理，角的直角三角形，相似三角形判定和性质，解题关键是能作出合适的辅助线，并综合运用相关知识点解题，难度较大. 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了(无解)即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查实数的混合运算，计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再计算加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分计算括号内，再把除法化为乘法，化简得，把代入即可作答． 【详解】解： ． 当时，原式． 17. 如图，已知，请利用尺规在线段上找一点，使得．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】点如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与作法，等腰三角形的性质是解题的关键． 要在上找一点，使得，可借助线段垂直平分线的性质构造等量关系： 作的垂直平分线，与交于点，利用垂直平分线性质得到，进而由等腰三角形“等边对等角”得到，再根据三角形外角性质，是的外角，等于与之和，即． 【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点， 过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，与相交于点，点即为所求． 理由如下：因为点在的垂直平分线上， 所以，根据等边对等角，可得， 又因为是的外角，根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和， 所以． 18. 如图，，，垂足分别是点、，，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据条件可以得出，利用可以得出，再根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， 19. 2025年春节档饺子导演的电影《哪吒之魔童闹海》红遍全球，以156亿元票房高居全球票房第五名，将中国文化推向世界，让世界各族人民喜欢中国文化、学习中国文化．哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的图像的卡片成为热门商品，某中学两名同学用4张哪吒、敖丙、太乙真人和申公豹的卡片玩游戏，（卡片形状大小完全相同，背面颜色一致）充分洗匀后随机抽取． （1）随机抽取一张卡片，抽到哪吒卡片的概率是___________； （2）若第一次抽取后不放回求连续两次抽到一对师徒的概率？（太乙真人与哪吒、申公豹和敖丙是师徒） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画出表格展示所有12种可能的结果数以及取出的张卡片为一对师徒的结果数为4，再利用概率公式可得出答案； 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中取出的卡片图案为哪吒的结果有1种， ∴随机取出的卡片图案为哪吒的概率为 ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：任意取出1张卡片，记录后不放回，再从中任意取出1张卡片，设哪吒为A；敖丙为B；太乙真人为C；申公豹为D；作出表格如下： 共有12种可能的结果，其中两次取出的卡片中图案为一对师徒的结果数为4， ∴两次取出的卡片中图案为一对师徒的概率为 ， 答：取出的卡片为一对师徒的概率为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， 点的坐标为． 【解析】 【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可； （）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可； 本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴． 【小问1详解】 ，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接，即为所求； 【小问2详解】 ，，的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接，即为所求，． 21. 如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是12米． 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似． 【解答】延长交的反向延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴， 答：河宽是12米． 22. 在人工智能实验室中，研究人员使用算法优化模型训练过程．训练时间（小时）与数据量（）的关系可以用一次函数表示．已知：当数据量为时，训练时间为2小时；当数据量为时，训练时间为4小时； （1）求出训练时间与数据量之间的解析式； （2）当训练时间是10小时时，数据量是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时自变量的值即可． 【小问1详解】 解：设训练时间与数据量之间的解析式为， ∵当数据量为时，训练时间为2小时：当数据量为时，训练时间为4小时， ∴， ∴， ∴训练时间与数据量之间的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 答：当训练时间是10小时时，数据量是． 23. 某校艺术节商贸集市结束后，校团委组织同学们参加了募捐活动，随机抽查了部分八年级同学捐款的情况绘制了条形统计图和扇形统计图，请根据信息回答下列问题： （1）本次共抽查学生___________人，请将条形图补充完整； （2）捐款金额的众数是___________，平均数是___________； （3）若八年级名学生中，捐款元及以上（含元）的学生估计有多少人？ 【答案】（1）， 补全条形统计图图形如下： （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、众数和中位数、用样本估计总体等知识点，读懂统计图、从统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）由题意可知，捐款元的有人，占捐款总人数的，据此可得总人数，将捐款总人数减去捐款元的人数可得捐元的人数，然后再补全条形统计图即可； （）从条形统计图中可知，捐款元的人数最多，可知众数，将这组数据的捐款总数计算出来除以捐款总人数，即可计算出平均数． （）由抽取的样本可知，用捐款及以上的人数所占比例估计总体中的人数即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，捐款元的有人，占捐款总人数的， ∴本次抽查的学生有：（人）， 则捐款元的有（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 由条形图可知，捐款元人数最多，故众数是； 平均数是． 故答案为：，． 【小问3详解】 捐款元及以上（含元）的学生有：（人）． 答：捐款元及以上（含元）的学生估计有人． 24. 如图，在，，以为直径的分别交、于点D、E，且是的切线，交的延长线于F． （1）求证：．（2）若，，求和的长． 【答案】 （1）证明：连结，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2），． 【解析】 【分析】（1）连结．有是的直径可得，再有是的切线可得，利用同角的余角相等即可证明； （2）在中有三角函数可以求出，又有等腰三角形的三线合一可得，过点C作于点G．可求出，再在中，求出，，然后再在中求出，最后证出有相似的性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点C作于点G，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，， 在中，，， ∴， ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查直径所对的圆周角为直角、切线的性质、相似的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉圆的性质和解直角三角形． 25. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽．按如图所示建立平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，为保证安全，当水位达到距拱桥最高点时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1） （2）如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出船到达桥下水面的高度，再求出抛物线顶点坐标，进而得到船到达桥下时水面距离最高点的高度，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：． ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当船到达桥下时，此时水面距离拱桥最高点的距离为， ∴如果该船的速度不变，那么它能安全通过此桥． 26. （）提出问题： 如图，在中，，，则的外接圆的半径是___________． （）问题拓展： 如图，在等边中有一点，，，，求的度数？ （）问题应用： 某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图所示、睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形中有、两点，在内，在内，测量米、米、，，，在四边形中种植普罗旺斯薰衣草，每平方米的费用是元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？ 【答案】（）；（）；（）元 【解析】 【分析】（）设点为的外接圆圆心，连接，过点作于，由垂径定理得，由圆周角定理得，进而由等腰三角形的性质得，再解直角三角形即可求解； （）将绕点逆时针旋转到，连接，可得是等边三角形，即得，，再证明，得到，，由勾股定理的逆定理得，即得到，再根据全等三角形的性质即可求解； （）由勾股定理得，把顺时针旋转得到，连接，可得，，，，即得是等边三角形，得到米，得到平方米，又可得，作的外接圆，可知点在上运动（不含端点），连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大，由得到，可知当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值，据此求出的面积最大值进而即可求解． 【详解】解：如图，设点为的外接圆圆心，连接，过点作于， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的外接圆的半径是， 故答案为：； （）∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕点逆时针旋转到，连接， 则， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （）解：∵米，米，， ∴米， ∵，， ∴， ∵， ∴把顺时针旋转得到，连接，则，，，， ∴是等边三角形， ∴米， ∴平方米， ∵， ∴， ∴， 如图，作的外接圆， ∵米，， ∴点在上运动（不含端点）， 连接，设与相交于点，当时，取最小值，的值最大，此时的面积最大， ∵， ∴， ∴当的面积最大时，四边形的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值， 当时，如图，则米， ∵，， ∴， ∴， ∴米， ∴平方米， ∴种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值为元． 【点睛】本题考查了旋转的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $