浙江省杭州市萧山区第八高级中学2026届高三上学期期初考试数学模拟试题（2）

2026届高三上学期期初考试数学模拟试题（2） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，集合，则集合     A. B. C. D. 2.已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为     A. B. C. D. 3.已知复数z满足，则     A. B. C. D. 32 4.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是     A. 函数是奇函数 B. 在上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 5.若数列是公比为q的等比数列，且，则的最小值为    A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6.已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为    A. B. C. D. 7.已知圆柱的轴截面为矩形为下底面圆的直径，点E在下底面圆周上，为CE的中点，，则      A. 该圆柱的体积为 B. 该圆柱的表面积为 C. 直线AC与平面BCE所成角为 D. 二面角为 8.已知A，B是椭圆与双曲线的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA，MB分别交椭圆于C，D两点，若直线CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为(    ) A. B. 3 C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的是(    ) A. 若，且，则 B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位 C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 10.已知数列满足，若，记数列的前n项和为，则    A. B. C. D. 11.设定义在R上的可导函数和的导函数分别为和，满足，，且为奇函数，则下列说法正确的是(    ) A. B. 的图象关于直线对称 C. 的一个周期是4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在的展开式中，的系数为          . 13.已知函数，若，则m的取值范围是          . 14.在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X，则X的数学期望为___________. 四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， Ⅰ求角A的大小； Ⅱ已知，D为AB的中点，且，求面积． 16.本小题15分如图，已知三棱锥中，平面平面ABC，，， 证明：； 求直线AB和平面PBC所成角的正弦值． 17.本小题15分已知函数 若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数a的值； 若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数a的取值范围. 18.本小题17分已知抛物线的焦点到x轴的距离为，过点的直线与抛物线E交于A，B两点，设抛物线E在点A，B处的切线分别为和，已知与x轴交于点M，与x轴交于点N，设与的交点为 求抛物线E的标准方程； 证明：点P在定直线上； 若的面积为，求点P的坐标． 19.本小题17分在Python编程语言中，数组可以看作是m行、n列的数表，第i行、第j列的数记为，例如表示第2行、第3列的数.如果数组中存在，对任意的i，，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”. 若数组A与数组B以数表形式表示如下： 1 2 3 4 3 2                   数组 3 2 1 4 5 6 9 8 7                   数组 判断数组A与数组B是否为“数组”，如果是，求出它的“核”; 已知数组C是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组C是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率; 现将1，2，3，4，，，这个元素全部填入数组D中，满足是“数组”的全体构成一个集合M，从集合 M中任取一个元素，记它的“核”为 X，求随机变量 X的数学期望 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：对于集合A，，化简得，所以 所以集合 对于集合B，，根据指数函数的性质可得 所以集合 所以，即 故选： 2.【答案】A  【解析】解：因为向量在向量上的投影向量为， 则，即， 所以， 则， 又，得， 故向量与的夹角为 故选： 3.【答案】A  【解析】解：设，则，所以， 又，所以，解得，所以， 则，则 故选： 4.【答案】D  【解析】解：函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 故； 对于A，，故， 则函数是奇函数，故A正确； 对于B，当时，，故在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，，故的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，，故，故D错误. 故选：D 5.【答案】D  【解析】解：因为数列是公比为q的等比数列，则， 即，所以 又因为，，则 当且仅当，即时等号成立 则的最小值为 故选： 6.【答案】A  【解析】解：根据题意，圆，其圆心为，半径， 过点P作圆的切线PA， 则， 则， 设圆心C到直线l的距离为d， 则， 故， 所以的最大值为 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查圆柱的体积，圆柱的侧面积和表面积，直线与平面所成的角，二面角，线面垂直的性质，线面垂直的判定，属于中档题. 由几何关系结合圆柱的体积公式可得选项A错误；由圆柱的表面积公式可得选项B错误；由线面垂直得到线面角，再由正弦值可得选项C错误；由二面角的概念得到为二面角的平面角，再求其值可得选项D正确； 【解答】 解：对于A，因为底面ABE，底面ABE，所以， 又因为，平面BCE，所以平面BCE， 因为平面BCE，所以， 又因为，平面ACE， 所以平面ACE，即， 因为F为CE的中点，所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，AB为底面圆的直径，所以， 所以该圆柱的体积为，故A错误； 对于B，由A可得该圆柱的表面积为 ，故B错误； 对于C，因为底面ABE，底面ABE，所以， 又因为，平面BCE， 所以平面BCE，所以直线AC与平面BCE所成角， 因为，所以， 即，故C错误； 对于D，由C可得为二面角的平面角，因为为等腰直角三角形， 所以，即二面角为，故D正确. 故选： 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了双曲线与椭圆的综合应用，属于较难题． 由双曲线与椭圆的性质可得CD垂直x轴，进而得到 ，即可求解． 【解答】 解：由题意可知，， 设 ， ，可得直线MA，MB的斜率分别为  ，   因为点M在双曲线上，则  ，因此        设点 ， ，可得直 线CA，CB的斜率，， 因为点在椭圆上，则，整理得， 所以，即， 可得， 所以直线CB与DB关于x轴对称. 又因为椭圆也关于x轴对称，且C，D过椭圆右焦点，则轴，则， 则线段CD的长度为 9.【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断与应用，二项分布，回归直线方程以及线性关系性，正态分布的性质，属于基础题． 利用二项分布的期望，列出方程求解n判断A，回归直线方程的性质判断B；相关关系判断C；正态分布的性质判断 【解答】 解：若，且，可得，所以，所以A正确； 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位，满足回归直线的性质，所以B正确； 线性相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，所以C不正确； 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则，满足正态分布的性质，所以D正确． 故选： 10.【答案】ACD  【解析】解：对A，B选项，因为， 所以为等差数列，且公差为2， 又，故首项为， 所以， 即，故A正确，B错误； 对C，D选项，因为， 所以， ， 关于n单调递增，且， 所以，故C，D正确. 故选： 11.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查抽象函数的奇偶性，周期函数，函数的对称性，属于中档题． 利用抽象函数及导数的运算判断函数的图象关于点对称，从而可得的图象关于对称，所以是周期函数，4是一个周期，可判断A、B、C项；因为，且，所以，所以，可判断D项． 【解答】 解：因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称， 两边求导得：， 所以的图象关于对称， 因为，所以； 所以，又，所以， 所以函数的图象关于点对称； 所以的图象关于对称，故B正确； 所以，即， 又，所以，即， 所以，所以是周期函数，且4是一个周期， 又因为，所以， 所以是周期函数，且4是一个周期，故C正确； 因为为奇函数，所以过，所以， 令，代入，可得，故A错误； 令代入，可得， 令，代入，可得， 又因为的周期为4，所以，所以， 所以， 所以，故D正确． 故选： 12.【答案】60  【解析】解：展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数与不等式，属于中档题. 根据条件得到或，解不等式即可. 【解答】 解：若 则或， 即或， 解得，或 故答案为 ． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了离散型随机变量期望的求法，n次独立重复试验与二项分布公式的运用，概率的运算，考查了分析和运用能力，属于中档题. 根据题意先求出每人获奖的概率，然后代入二项分布期望公式求解即可. 【解答】 解：由题意，三个编号之和的区间范围为， 其中4的倍数为4，8，12， 则4的组合有， 8的组合为，，，， 12的组合为，，， 三个编号均不相同的情况有：种， 三个编号有2个相同的有：种， 三个编号均相同的情况有：1种， 所以总共有种， 则每个人获奖的概率， 易知三个人获奖情况服从二次项分布， 所以X的数学期望 故答案为： 15.【答案】解：Ⅰ，由正弦定理得：， ，， 又， Ⅱ，D为AB的中点，， ，， ，即， 而，，， 在中，由余弦定理有，解得   【解析】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． Ⅰ由正弦定理可得，然后求解 Ⅱ利用已知条件推出结合余弦定理求解b，然后求解三角形的面积． 16.【答案】方法一： Ⅰ证明： 取AC的中点E，PC的中点F，连接AF，ME，BE， ， ， 又，是CF的中点， ，，  又 ， ， 又 且交于，BE在平面ABC内， 且， 又 ，ME、BE在平面MBE内， 平面MBE， 又平面MBE， Ⅱ解：由Ⅰ知平面MBE，PC在平面PBC内， 平面平面PBC且交于MB，                                 过E作垂足为H，EH即是E到面PBC的距离，  ，    ， 又是AC的中点，到面PBC的距离， 与面PBC所成角的正弦值为 方法二： Ⅰ证明：取AC的中点E，连接ME、EB，  ，，，                 又平面平面ABC且交于AC，BE在平面ABC内， 平面PAC，且平面PAC，， ，，又， ，，， ，，又 ，ME、BE在平面MBE内， 平面MBE，且平面MBE， Ⅱ解： 过P作交其延长线于， 面面ABC且交于AC，PO在平面PAC内， 面ABC，连BO，可得， 又，， ，，，              又，， ， ， 令A到面PBC的距离为，则， ，， 与面PBC所成角的正弦值为 解法三： Ⅰ证明：取AC的中点O，建立如图所示的坐标系， 由已知可得， ，， ，， ， Ⅱ解：由Ⅰ可知， 设面PBC的法向量为， 则， 令，则，，， 与面PBC所成角的正弦值为   【解析】本题考查线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质，同时考查 线面角的求解及空间向量的应用. 方法一： Ⅰ取AC的中点E，PC的中点F，连接AF，ME，BE，通过证明面MBE，得 Ⅱ求出A到平面PBC的距离，然后利用AB与面PBC所成角的正弦值为求解即可; 方法二： Ⅰ取AC的中点E，连接ME、EB，结合已知和余弦定理得面MBE求解即可; Ⅱ通过等积法求出A到平面PBC的距离，然后利用AB与面PBC所成角的正弦值为求解即可; 方法三： Ⅰ建立空间坐标系，通过证明即可; Ⅱ求出平面PBC的法向量，利用公式求解即可. 17.【答案】解： 依题意得，即，解得 故， 在点处的切线方程为，即； 而在点处的切线方程为，这两条切线平行，故 函数的图象与的图象有两个公共点， 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 直线与函数 的图象有两个交点. 当时，单调递增；当时，单调递减. 有极大值，也是最大值为 当时，；当时， 可以画出的草图如图：   由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 即函数的图象与的图象有两个公共点，故    【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数求切线方程，函数零点，属于难题. 利用导数的几何意义和两直线平行即可求解; 所求转化为直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析单调性画出的草图，利用图像即可求解. 18.【答案】解：因为抛物线的焦点坐标为，且焦点到x轴的距离为， 所以，所以， 所以抛物线E的标准方程为 证明：由，得，， 设，，， 则和的斜率分别为， 所以方程为：，整理得：， 同理可得，方程为：， 联立与的方程，解得：，， 因为点T在抛物线内部，可知直线AB的斜率存在，且与抛物线必相交， 设直线AB的方程为， 与抛物线方程联立得：， 故，， 所以，，可知， 所以点P在定直线上； 在，的方程中，令，得，， 由知，，，， 所以面积， 故， 化简可得， 由于，则， 从而，故或， 所以点P的坐标为或   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解： 数组： 数组A的元素为： 第1行：1，2，最小值为1，位置； 第2行：4，3，最小值为2，位置 位置：第1列元素为行、行，最大值为4，而，不满足列最大值条件； 位置：第3列元素为行、行，最大值为3，而，不满足列最大值条件; 因此，数组A不是数组. 数组： 数组B的元素为： 第1行：3，2，最小值为1，位置； 第2行：4，5，最小值为4，位置； 第3行：9，8，最小值为7，位置 位置：第3行最小值为该行元素9，8，，第3列元素为行、行、行，最大值为7， 因此满足行最小值且列最大值条件. 因此，数组B是数组，核为 设数组C是“数组”为事件M，数组C的“核”是4为事件 若数组C是“数组”时，可设它的“核”为k，因为C的每行有2个元素，每列有3个元素，且，则 当时，此时“数组”的个数为：； 当时，此时“数组”的个数为：； 当时，此时“数组”的个数为：； 假设一个“数组”C中同时存在两不同个“核”和， 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾; 若和不同行也不同列时，不妨设，， 根据定义可得：，， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的. 所以 故C是“数组”的概率为 根据题意X的可能取值为n，，，，，共个取值 当时，此时“数组”的个数为：， 当时，此时“数组”的个数为：， 当时，此时“数组”的个数为：， 当时，此时“数组”的个数为：， 当时，此时“数组”的个数为：， 由这些计数无重复，故M的元素个数为， 注意到以上计数具有对称性， 即：， ， 所以利用“倒序相加”法我们有： ， ， 所以  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$