精品解析：2025年安徽省芜湖市第一中学高一自招试题数学试卷

2025年高一自主招生考试 数学试卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中） 1. 如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系 中，满足不等式的整数点坐标有（ ）个． A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 4. 如图，点 ， ， 均在二次函数的图象上，为线段 的中点，轴，且．设 ， 两点的横坐标分别为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 如图，为 的重心，点 在 延长线上，且，连接并延长交 于点 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程恰有3个解，则所有符合条件的 之和为（ ）． A. 70 B. 65 C. 50 D. 45 7. 如图， 为等腰直角三角形， ，若，则、 、 之间满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 8. 分解因式：________． 9. 已知，则多项式________． 10. 已知，， 为正数，，，则 与 的大小关系是________． 11. 如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为________． 12. 定义新运算：，其中为正整数．如果，则________． 13. 如图，已知是等边三角形，边长为3，以为顶点，作等边，边长为6，连接 、 ，若等边绕点在平面内旋转，则的最小值为________． 14. 如图，曲线是由函数在第一象限内的图像绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点、，则的面积为________． 三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 15. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）设，为实数，求的最小值． 16. 如图，在正方形 中，点 为 延长线上任一点，连接 ．过点 作，交 的延长线于点 ，过点 作于点 ． （1）求证：； （2）求的值． 17. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点 ，在轴上有一动点，过点 作轴的垂线交直线 于点，交抛物线于点 ，过点 作于点． （1）求 的值和直线 的函数表达式； （2）设 的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 18. 已知抛物线，直线交抛物线于 ， 两点，设，． （1），是否为定值，如果是定值则求出该值； （2）设直线与轴交于 点，求抛物线上的任意一点到点 的最小距离； （3）是否为定值，如果是定值则求出该值； （4）证明：以线段 为直径的圆与直线相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高一自主招生考试 数学试卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答题卡答题栏中） 1. 如果关于的方程有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】原方程已有一个根，方程有三个根要求二次式对应的一元二次方程有两个实根，则，再结合三角形三边关系列出不等式求解 的范围即可． 【详解】解：由方程，可得一个根， ∵方程有三个根， ∴有两个实根， ∴， 解得， 设一元二次方程的两个根为， ∴，， ∵三角形边长为正数，， ∴， ∵三个根可作为三角形三边，，已满足两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴， 代入，得，， 解得， 综上所述， 的取值范围为． 2. 若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，给代入不同特殊值，结合等式变形计算各选项的结果，然后再判断正误即可． 【详解】解：A．令，代入原式得，即，故A正确． B．令，得； 令，得，即； 得，整理得，故B正确． C．由的等式，移项得，故C正确； D．令，代入原式得 即，整理得，故D错误． 3. 在平面直角坐标系 中，满足不等式的整数点坐标有（ ）个． A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先对原不等式配方变形，根据平方的非负性确定x，y的可能取值，再列举所有满足条件的整数点，统计个数即可． 【详解】解： 移项得 配方得 整理得 ∵ 为整数， 和 均为非负整数． 满足和不超过1的情况有： 1． ，得整数点 ； 2． ，得整数点 ； 3． ，得整数点 ； 若两个平方都大于等于1，和最小为，不满足条件． 综上，满足条件的整数点共个． 4. 如图，点 ，， 均在二次函数的图象上， 为线段 的中点，轴，且．设 ， 两点的横坐标分别为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点坐标为，则，由 为线段 的中点，得到，，从而求出． 【详解】解：设点坐标为， 轴，， ， 、、 三点均在二次函数的图象上， ， 为线段 的中点， ，， ， ， ， ， ， ． 5. 如图， 为 的重心，点 在 延长线上，且，连接 并延长交 于点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交 于点 ，过点 作交 延长线于点 ，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交 于点 ，过点 作交 延长线于点 ， ∵G为 的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 6. 若关于的方程恰有3个解，则所有符合条件的之和为（ ）． A. 70 B. 65 C. 50 D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】本题可理解为求函数的图象与直线的交点个数问题，，画出函数图像，运用数形结合思想作答即可． 【详解】解：依题意，令， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，． 根据题意画出函数图像如下： ∵关于的方程恰有3个解， ∴与的图像有3个交点， 由图像可知：a的值为45或25． ∴所有符合条件的之和为． 7. 如图， 为等腰直角三角形， ，若，则、 、 之间满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，将绕点C逆时针旋转 得到，连接，过点作交延长线于点H，可得是等腰直角三角形，证明是 直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转 得到，连接，过点作交延长线于点H， 设，，，， 由旋转的性质得：， ∴ ，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， 即， 整理得，， ∴． 二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 8. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】把原式拆项可得：原式，再利用分组法分解因式． 【详解】解： ． 9. 已知，则多项式________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出x，再将两边平方得出，然后将多项式依次降幂代入以及计算即可． 【详解】解：∵ ∴． ∴， 两边平方得：，得， 整理得：， ∴， ． 10. 已知，， 为正数，，，则 与的大小关系是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查用点坐标表示两点之间距离、完全平方公式的应用和三角形三边关系等知识点，解题的关键是熟悉点坐标的表示和三角形三边关系应用．首先将A和B表达式构造成两点间距离公式的形式，再设点，点，点，则A可以写成点到点的距离和点到点的距离和，B可以写成点到点的距离，再次根据三角形三边关系可得，当点Q在线段上时取等号即可． 【详解】解： ， ， 设点，点，点，则 A可以写成点到点的距离和点到点的距离和，B可以写成点到点的距离， 根据三角形三边关系可得，当点Q在线段上时取等号， 那么，． 11. 如图为一个的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，给其中任意三个小正方形染色，染第一个小正方形时有25种选择，染第二个小正方形时有24种选择，染第三个小正方形有23种选择，故共有种情况．由于要求被染色的三个小正方形不同行不同列，所以染第二个小正方形时只有种选择，染第三个小正方形时只有种选择，故三个小正方形不同行也不同列的共有种情况，然后求概率即可． 【详解】解：由题意知，给其中任意三个小正方形染色共有种情况，其中三个小正方形不同行也不同列的共有种情况， ∵， ∴被染色的三个小正方形不同行也不同列的概率为． 12. 定义新运算：，其中为正整数．如果，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义得出，令，则，展开得出，建立关于x的一元二次方程，利用十字相乘法得出x，再验算即可得出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 令， 则 ， ∵， ∴，即， ∴ 解得，． 当，则，与为正整数不符舍去， 当，则，与为正整数符合． 13. 如图，已知是等边三角形，边长为3，以 为顶点，作等边，边长为6，连接 、 ，若等边绕 点在平面内旋转，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点 ，连接并延长至点 ，使得，用判定证明，进而用判定证明，所以可得，所以当三点共线时，最短，最短为，求出的长即可求出最终答案． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， 取的中点 ，连接并延长至点 ，使得， ， ， ，， ，即， 又，， ， ， ， ∴当且仅当三点共线时，最短，最短为， ∵点F为的中点， ， ， 因此的最小值为​． 14. 如图，曲线是由函数在第一象限内的图像绕坐标原点 逆时针旋转得到的，过点，的直线与曲线相交于点 、 ，则的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】作轴，作轴，根据题意可得，再根据勾股定理求出，然后以点O为原点， 所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立直角坐标系，可得点，接下来求出直线 的关系式，再将两个函数关系式联立求出解，可得点，最后根据得出答案． 【详解】解：如图，过点A作轴，于点C，过点B作轴，于点D， ∵点， ∴， ∴ 根据勾股定理，得， ∴， 以点O为原点， 所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立直角坐标系， ∴点， 设直线 的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线 的关系式为． 根据题意，可知曲线l的关系式为，将两个函数关系式联立，得 ， 解得或， ∴点， ∴． 三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 15. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）设，为实数，求的最小值． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）先整理、变形得，令，原方程可化为，解得或，从而或，求解检验即可； （2）将 展开计算并整理为，再根据平方的性质，可得 的最小值． 【小问1详解】 解：原方程可整理为，， ， 令，则原方程为， 解得或，即或， 或， 解得，或，， 经检验：，，，是原方程的解； 【小问2详解】 解： ， 当且仅当，时，即，时， 取得最小值． 16. 如图，在正方形 中，点为 延长线上任一点，连接 ．过点作，交 的延长线于点 ，过点 作于点 ． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）如图1，在上取一点 ，使得，连接、， ， ， 四边形 为正方形， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）在上取一点 ，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得； （2）连接 ，证明四边形是平行四边形，进而得出，，证明得出，进而根据等腰直角三角形的性质，得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ，如图2， 四边形 为正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， ． 17. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点 作轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线于点，过点作于点 ． （1）求的值和直线 的函数表达式； （2）设 的周长为，的周长为，若，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，将线段 绕点 逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1）， （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）把代入可得，进而根据抛物线解析式求得的坐标，最后运用待定系数法即可求解直线 的解析式； （2）先证明，，根据周长比可得，；再根据，，即，从而由勾股定理求得 ，进而代入比例式表示出，接着根据解析式表示出点P和点N的坐标，从而表示出，再代入得到方程求解即可； （3）如图2，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得，先根据两边对应成比例且夹角相等证得，得到，即，则当 ，，三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理求得即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得 ，解得， ， 令，则，即， 设直线 的解析式为， 把，代入，得 ，解得， 直线 的解析式为． 【小问2详解】 解：如图1，，， ，， ， ， ， ， ， ∴ ， ∵，， ∴，，即 ∴ ， ， ， ， ， ， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的根， ． 【小问3详解】 解：如图2，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 当 ，，三点共线时，， 此时最小，最小值为， 即的最小值为． 18. 已知抛物线，直线交抛物线于 ，两点，设，． （1），是否为定值，如果是定值则求出该值； （2）设直线与轴交于 点，求抛物线上的任意一点到点 的最小距离； （3）是否为定值，如果是定值则求出该值； （4）证明：以线段 为直径的圆与直线相切． 【答案】（1）是定值．， （2） （3）是定值，定值为 （4）线段 为直径， 圆心的坐标为， 圆心到直线的距离为， 由（1）知：，， ， ， ， ， ， ， 圆心到直线的距离等于半径， 以线段 为直径的圆与直线相切． 【解析】 【分析】（1）联立函数解析式，得到一元二次方程，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式求出，利用二次函数求值即可； （3）求出，，推出，结合（1）中结论，进行求解即可； （4）根据中点坐标公式得到圆心的坐标，进而得到圆心到直线的距离为，求出线段 的长，判断与的关系，即可得证． 【小问1详解】 ，是定值， 联立，则， 化简得， ，， ， ，； 【小问2详解】 直线与轴交于 点， ， 抛物线上的任意一点 则 令，则， 抛物线上的任意一点到点 的最小距离为； 【小问3详解】 是定值， ，，且， ， 同理：， ， 由（1）知：， 原式， 是定值，定值为2； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $