精品解析：广东省广州市第七中学东山学校2025年数学中考二模试题

广州市第七中学东山学校2025初三数学“二模” 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可． 【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和完全平方公式，根据合并同类项，单项式除以单项式，积的乘方和完全平方公式运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 【答案】B 【解析】 【分析】根据统计图所给的数据求出样本容量，中位数，众数和平均数即可得到答案． 【详解】解：A、本次抽取共调查了个学生，原说法正确，不符合题意； B、将阅读时间从低到高排列，处在第20名和第21名的阅读时间分别为5小时，6小时，则中位数是小时，原说法错误，符合题意； C、阅读时间为5小时的人数为14人，人数最多，即众数为5小时，原说法正确，不符合题意； D、平均数是小时，原说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，众数和平均数，正确读懂统计图是解题的关键． 4. 已知点在第三象限，则实数 的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．根据第三象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 实数 的取值范围在数轴上表示正确的为 故选：D． 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 当时， C. 函数值随自变量 的增大而减小 D. 图象与轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与性质的关系，逐一分析各选项的正误． 【详解】解： ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意 ， 函数值随自变量 的增大而增大， 当时， 选项B，C不符合题意； 当时，， 图象与轴交于点，选项D符合题意． 故选：D． 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°. 【详解】如下图，连接AD，BD， ∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°， ∵AB为直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°-20°=70°， ∴∠BCD=180°-70°=110°. 故选B 【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键. 7. 施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　） A. =2 B. =2 C. =2 D. =2 【答案】A 【解析】 【详解】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可． 详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米， 根据题意，可列方程：=2， 故选A． 点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 8. 如图，在 中，，垂足为D，BE平分 交AD于点E，则DE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据30°角所对直角边等于斜边一半，求出AD，再根据角平分线，得到AE=2ED即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵BE平分 ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的判定，解题关键是熟练运用30°角所对直角边等于斜边的一半这一性质，推导线段之间的关系． 9. 若关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于 的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 10. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在 轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. 1或11 D. 2或11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，菱形的性质，先求解，，可得菱形的边长为，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴菱形的边长为， ∴边向左平移1个单位或个单位， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 已知点，在抛物线上，且，则_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物线表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向下，当时， y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段 ，连接，则线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的旋转问题，涉及到勾股定理，全等三角形的性质和判定，熟练掌握旋转的性质，并学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键；先证，进而可得到，再由勾股定理求解即可 【详解】如图，作轴于点H，则， 由题意得，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：． 16. 已知函数与 轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与 轴的交点问题，配方法的应用、以及偶次方的非负性，根据一元二次方程的解找出是解题的关键． （1）根据二次函数与一元二次方程的关系求解； （2）将代入原方程即可得出，将代入中利用配方法将其变形为，再根据偶次方程的非负性即可得出的最小值． 【详解】解：（1）函数与 轴的一个交点坐标为 ∴方程有一个根为， ∵方程其中一个根为， ∴另一个根为； （2）为方程的一根， ，即． ． ． ， ． 的最小值是2． 故答案为：，2． 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据配方法求解方程． 【详解】解： ∴． 18. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的圆心角相等得，证明，再根据全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【详解】略 19. 已知： （1）化简； （2）若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为 ，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求解． （1）先通分，化成同分母，利用同分母分式的加减法求解即可； （2）根据题意得，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴原式． 20. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 【答案】（1）60，108°；（2）336；（3） 【解析】 【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案； （2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可； （3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率． 【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人）， 最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人）， 扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°， 故答案为：60，108°； （2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%， 估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数为：960×35%=336（人）； （3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁， 其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种， 故所求概率P==． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用列举法求概率，由图表获取正确的信息是解题关键． 21. 如图，点在菱形的对角线上，射线 交于 ，． （1）尺规作图：在延长线上找一点，使得四边形为平行四边形； （2）在（1）的前提下，交于点，若，求的长度． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）延长到，使得，连接即可； （2）证明，设，利用相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设． 四边形是菱形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， 解得或（舍去）， 经检验的分式方程的解． ． 【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 22. 描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． … … … … （1）求函数自变量 的取值范围； （2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）已知点是函数图象上的点，若，求 的取值范围． 【答案】（1）； （2） 描点，连线，图象如下， （3）若时， 的取值范围是． 【解析】 【分析】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，观察图象得出函数增减项是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件即可求解； （2）根据列表、描点、连线，作出图形即可； （3）根据函数的性质结合图形即可求解． 【小问1详解】 解：求函数自变量 的取值范围为； 【小问2详解】 解：列表： 0 1 2 3 2 1 0 【小问3详解】解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着 的增大而减小． 当时，，即当时，． 答：若时， 的取值范围是． 23. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，） （1）求车座 到地面的高度（结果精确到）； （2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得的长，利用正弦函数的定义即可得到结论； （2）设与 交于点，则有，得到△，利用相似三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：（1）设 与交于， ，，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 长为，且， ， ； 答：车座 到地面的高度是； （2）如图所示，，设与 交于点，则有， △，得． 即， ． 故． 车架中立管拉长的长度应是． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大． 24. 数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当时，，当时，，当时，____________； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论 为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求 的取值范围． 【答案】（1）①， ②如图所示 （2）正确，理由如下： ， 当时，， 此时， 不论 为何值，二次函数图象经过点． （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，画二次函数的图像，二次函数与一元二次方程， （1）将数值代入可得答案；画出图像即可； （2）将点代入关系式，判断可得答案； （3）①当时，；当时，，可得不等式组，求出解集； ②当时，；当时，，再得出不等式组，求出解集； ③由得，进而得出一元二次方程，根据有两个相等的实数根可得m，再根据自变量取值范围判断即可． 【详解】（1）①当时，； 故答案为：； ②略 （2）略 （3）①当时，；当时，； 即， 解得：； ②当时，；当时，； 即， 解得：； ③由得， 则， ， 当，解得：； 当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去． 综上，或或． 25. 如图所示，半径为1，点是上一点，弦垂直平分线段，点是弧上的任一点（与端点、 不重合），于点，以点为圆心， 的长为半径作，分别过点、 作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长； （2）判断 是否为定值，若是，求 的大小；否则，说明理由． （3）记 的面积为，若，求 的周长． 【答案】（1）；（2） 是定值，60°；（3） 【解析】 【分析】（1）连接OA， 取OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求出AF的长； （2）要判断∠ACB是否为定值，只需判断∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的平分线，因此只要∠DAE+∠DBE是定值，那么∠CAB+∠ABC的值就是定值，而∠DAE+∠DBA等于所对的圆周角，这个值等于∠AOB的一半； （3）由题中得，又因为，所以，由于，所属在中，，同理可得，又由于，所以，可得，解得，，代入AB+AC+BC=，即可求得周长为 【详解】解：（1）连接OA， 取OP与AB的交点为F，则有OA=1 ∵弦AB垂直平分线段OP ∴ 在R t△OAF中， ∴AB=2AF=； （2） 是定值， 理由是：连接， 由（1）得 ∴ ∴∠ ∴∠ ∵点D为△ABC的内心， ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ （3）记△ABC的周长为L，取AC，BC与的切点分别为点G，H，连接OD，DG，DC，DH，则有，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的切线， ∴∠ 在中， ∴ 由切线线长定理得， ∴ 解得： ∴△ABC的周长为 【点睛】此题主要考查了圆的综合知识，将垂径定理，勾股定理，内切圆，切线长定理，三角形面积等知识融合在一起，需要从前往后顺序解题，前面问题为解后面问题提供思路． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第七中学东山学校2025初三数学“二模” 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校为了了解本校学生课外阅读的情况，现随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下统计图，根据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小时）的选项中，错误的是（ ） A. 本次抽取共调查了40个学生 B. 中位数是6小时 C. 众数是5小时 D. 平均数是小时 4. 已知点在第三象限，则实数 的取值范围在数轴上表示正确的为（ ） A. B. C. D. 5. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第二、三、四象限 B. 当时， C. 函数值随自变量 的增大而减小 D. 图象与轴交于点 6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(　　) A. 100° B. 110° C. 115° D. 120° 7. 施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　） A. =2 B. =2 C. =2 D. =2 8. 如图，在 中，，垂足为D，BE平分 交AD于点E，则DE的长为（ ） A. B. 3 C. D. 6 9. 若关于 的方程有两个相等的实数根，则 的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，平面直角坐标系中，平行四边形的边在 轴上，．若将边向左平移，当四边形是菱形时，平移的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. 1或11 D. 2或11 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 计算：_______． 12. 三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 13. 因式分解：________． 14. 已知点，在抛物线上，且，则_______（填“”、“”或“”）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连接，则线段的长度为_________． 16. 已知函数与 轴的一个交点坐标为 （1）若方程其中一个根为，则另一个根为___________． （2）的最小值是___________． 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 解方程： 18. 如图，在中，为的中点，于点，于点．求证：． 19. 已知： （1）化简； （2）若两个相邻的整数的积为6，且其中较小的那个整数为 ，求的值． 20. 某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： 在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ； 依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢 套餐的人数； 现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率． 21. 如图，点在菱形的对角线 上，射线 交于 ，． （1）尺规作图：在延长线上找一点，使得四边形为平行四边形； （2）在（1）的前提下，交于点，若，求的长度． 22. 描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． … … … … （1）求函数自变量 的取值范围； （2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （3）已知点是函数图象上的点，若，求 的取值范围． 23. 如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，） （1）求车座 到地面的高度（结果精确到）； （2）根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到） 24. 数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究． 【特例分析】 （1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究． ①确定表达式： 当时，，当时，，当时，____________； ②画函数图象： 平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象； 【性质探究】 （2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论 为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由． 【性质应用】 （3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求 的取值范围． 25. 如图所示，半径为1，点是上一点，弦垂直平分线段，点是弧上的任一点（与端点、 不重合），于点，以点为圆心， 的长为半径作，分别过点、 作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长； （2）判断 是否为定值，若是，求 的大小；否则，说明理由． （3）记 的面积为，若，求 的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $