精品解析：湖南省长沙市湖南师范大学附属滨江学校2024-2025学年九年级下学期全真模拟数学试卷

湖南师范大学附属滨江学校2025年6月九年级全真模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分） 1. 下列各实数中，是无理数的为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的定义． 利用无理数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项是有理数，不符合题意； B. 该选项是有理数，不符合题意； C. 该选项是有理数，不符合题意； D. 该选项是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中是一个负整数，的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 3. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此可求解问题． 【详解】解：由题意得：B、C、D选项都不是轴对称图形，符合轴对称图形的只有A选项； 故选：A． 4. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数3 D. 方差是2.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可 【详解】A. 3，3，0，4，5众数是3，此选项正确； B. 0,3,3,4,5中位数是3，此选项错误； C. 平均数=(3+3+4+5)÷5=3，此选项正确； D. 方差S2= [(3−3)2+(3−3)2+(3−0)2+(3−4)2+(3−5)2]=2.8，此选项正确； 故选B 【点睛】本题考查了方差， 加权平均数， 中位数， 众数，熟练掌握他们的概念是解决问题的关键 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的合并，同底数幂的除法，同类项的合并，积的乘方和幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用同类二次根式的合并，同底数幂的除法，同类项的合并，积的乘方和幂的乘方等运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，不是同类二次根式，无法合并，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，不是同类项，无法合并，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的解析式，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限，此题得解． 【详解】解：∵一次函数，k=-1＜0，b=1＞0， ∴一次函数图象一定经过一、二、四象限， ∴一次函数的图象不经过第三象限 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0则y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键． 7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握锐角三角函数． 利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ， ∴， 故选：B． 8. 已知，满足方程组，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，解题关键是利用整体思想求解，不需要计算出的值． 将两式相加先求出的值，再求． 【详解】解：， 由得， ， 故选：B． 9. 在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，进而得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比． 【详解】如图所示， ∵点D、E分别为边AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴. 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出DE∥BC是解题的关键． 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（ ）寸 A. 5 B. 12 C. 13 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．连接，设的半径为寸，则寸，寸，先根据垂径定理可得，寸，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为寸，则寸，寸， ∵寸， ∴寸， ∵为的直径，弦，寸， ∴，寸， ∴在中，，即， 解得， ∴（寸）， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 已知a，b为两个连续整数，且，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得：a，b的值，进而即可求解． 【详解】解：∵， 又∵、为两个连续整数，， ∴，， ， 故答案为：7． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 13. 将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为． 故答案为：． 14. 如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5， ∴△OCD的周长=5+4+5=14， 故答案为14． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 15. 如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆锥． 根据三视图确定该几何体是圆锥，再计算圆锥的侧面积． 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径是，母线长是． ∴该几何体的侧面积． 故答案为． 16. 诚诚、勤勤、立立、达达四人中有一个人打碎了花瓶．老师问：“谁干的？”诚诚说：“不是我干的．”勤勤说：“是达达干的．”立立说：“是勤勤干的．”达达说：“不是我干的．”这四人中只有一个人没说真话，那么花瓶是________打碎的． 【答案】勤勤 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理，根据题意可知勤勤和达达两人种有一人说的真话，有一人说的假话，那么诚诚、立立说的都是真话，据此可得答案． 【详解】解：因为勤勤说：“是达达干的，达达说：“不是我干的．”， 所以勤勤和达达两人种有一人说的真话，有一人说的假话， 又因为四人中只有一个人没说真话， 所以诚诚、立立说的都是真话， 所以花瓶是勤勤打碎的， 故答案为：勤勤． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：﹣（3.14﹣π）0﹣|3﹣|﹣2cos30°． 【答案】﹣1． 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行化简后，进行计算即可. 【详解】原式＝3﹣1﹣（3﹣）﹣2× ＝3﹣1﹣3+﹣ ＝﹣1． 【点睛】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.在计算时，需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则计算. 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题关键． 19. 如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线． （1）由作图可知，射线是的______； （2）若，求证：． 【答案】（1）角平分线 （2） 证明：，， ， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接、，根据作图过程可得，，即可证明，即可得出结果； （2）根据、，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，连接、， 由作图过程可得：，， 在和中， ， ， ， 平分， 故答案为：角平分线； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查基本作图−角平分线、角平分线的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． 20. 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 最受欢迎的校本课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作． 校本课程 频数 频率 A 36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计 a 1 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的a＝　　，b＝　　； （2）“D”对应扇形的圆心角为　　度； （3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 【答案】（1）80，0.20；（2）36；（3）500人；（4） 【解析】 【分析】（1）根据A的频数和频率求出a的值，再用C的频数除以总数即可求出b； （2）用360°乘以“D”所占的百分比即可； （3）根据题意列出算式，再求出即可； （4）先列出表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：（1）a＝36÷0.45＝80， b＝16÷80＝0.20； （2）“D”对应扇形的圆心角的度数为： 360°×＝36°； （3）估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数为：2000×0.25＝500（人）； （4）列表格如下： A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一门校本课程的结果有3种，所以两人恰好选中同一门校本课程的概率为： ． 【点睛】本题考查了列表法或树形图、用样本估计总体、频数分布表、扇形统计图等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键． 21. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【答案】 （1）∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； （2）连接DF， ∵AF∥CD，AF=CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC， ∴四边形ADCF是矩形． 【解析】 【详解】【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等； （2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案． 【答案】（1）的值为10，的值为14 （2）共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜 【解析】 【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用=430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用=212元，再列二元一次方程组解答； （2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解． 【小问1详解】 解：依题意，得：， 解得：． 答：的值为10，的值为14． 【小问2详解】 解：依题意，得：， 解得：． 又∵x为正整数， ∴可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 23. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据，得出，即，得出，进而计算即可得出答案； （2）连接，根据圆周角定理，得出，再根据中点的定义，得出，再根据同弧或同弦所对的圆周角相等，得出，再根据正切的定义，得出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得出，进而即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴的直径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、圆周角定理及其推论、锐角三角函数、含角的直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 24. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过作于E ， ， ， ； 由（1）， 平分； ， ， 是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果； （2）连接，证明平分即可；过作于E，由角平分线性质可，即可得出结论； （3）过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，，，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，由此求出比值即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ，即； ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点，过点作于点， 则，， 设，， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键． 25. 对于给定的两个函数和，我们把叫做这个两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线． （1）直接写出函数和的积函数； （2）点在(1)中的抛物线上，过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点（点不重合），设点的横坐标为，求时的值； （3）已知函数和． ①当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求的值以及这个积函数的最小值； ②当它们的积函数自变量的取值范围是时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标与之间的函数关系式． 【答案】（1）；（2）或；（3）①3，-7，②当时，；当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】（1）利用积函数的定义直接得出结论，最后令y=0，解方程即可求出与x轴的交点坐标； （2）设出点P的坐标，进而表示出点M，N的坐标，即可求出PM，PN，最后用PM=PN建立方程求解即可得出结论； （3）①先确定出积函数，利用此函数的增减性，判断出x=2时，y最大求出n，最后将x=-1代入抛物线解析式即可确定出最小值； ②分三种情况，自变量范围内的图象全在对称轴左侧，或右侧或对称轴介于自变量的分之内，最后用函数增减性，代入即可得出结论． 【详解】解：（1）∵函数和， ∵函数和的积函数为. （2）由（1）知，抛物线解析式为，设， ∵函数和， ∴， ∴ ， ∵ ∴， ∴ （此时点和重合，舍去）或； （3）①∵函数和， ∴函数为和积函数为， ∵积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8， ∴当时，， ∴， ∴积函数的解析式为， 当时，. ②由①知，积函数的解析式为， ∴此积函数的对称轴为直线，且对称轴左侧随的增大而增大，对称轴右侧随增大而减小， ∵积函数自变量的取值范围是， Ⅰ.当时，即， 此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式 Ⅱ.当时，即， 此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式； Ⅲ.当时，即， 此时，当时，最高点的纵坐标与之间的函数关系式. 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义，抛物线的性质，绝对值方程的解法，用分类讨论是思想和方程的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师范大学附属滨江学校2025年6月九年级全真模拟考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，请先将自己的姓名、班级、考场号、座位号填写清楚； 2．必须在答卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题号后面的答题提示； 4．请注意卷面，保持字体工整、笔迹清晰、卷面清洁； 5．答卷上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本试卷时量120分钟，满分120分． 一、选择题（共12小题，每小题3分，共计36分） 1. 下列各实数中，是无理数的为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 生物学家发现了某花粉直径约为毫米，该数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深远．下列四个选项中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分别为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　） A. 众数是3 B. 中位数是0 C. 平均数3 D. 方差是2.8 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱的高为，已知，冬至时长沙的正午光入射角约为，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即的长）约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足方程组，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 9. 在中，点、分别为边、的中点，则与的面积之比为　　 A. B. C. D. 10. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思为：现有圆柱状的木材，埋在墙壁里．不知道其宽度的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，当量得深度为一寸的时候；锯开的宽度为一尺（一尺等于十寸），问木材的直径是多少？如图所示，用数学语言可表示为：“如图，为的直径，弦，垂足为线段上的一点E，寸，寸，求直径的长．”那么直径的长为（ ）寸 A. 5 B. 12 C. 13 D. 26 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. 已知a，b为两个连续整数，且，则的值为______． 12. 因式分解：__________． 13. 将二次函数图象抛物线向上平移3个单位长度，可得到抛物线解析式为_______． 14. 如图，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为_____． 15. 如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是_________（结果保留）． 16. 诚诚、勤勤、立立、达达四人中有一个人打碎了花瓶．老师问：“谁干的？”诚诚说：“不是我干的．”勤勤说：“是达达干的．”立立说：“是勤勤干的．”达达说：“不是我干的．”这四人中只有一个人没说真话，那么花瓶是________打碎的． 三．解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：﹣（3.14﹣π）0﹣|3﹣|﹣2cos30°． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在中，按以下步骤作图：①延长到D；②以A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；③分别以点M和点N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；④作射线． （1）由作图可知，射线是的______； （2）若，求证：． 20. 某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程，为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表． 最受欢迎的校本课程调查问卷 您好！这是一份关于您最喜欢的校本课程问卷调查表，请在表格中选择一个（只能选一个）您最喜欢的课程选项，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作． 校本课程 频数 频率 A 36 0.45 B 0.25 C 16 b D 8 合计 a 1 请您根据图表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的a＝　　，b＝　　； （2）“D”对应扇形的圆心角为　　度； （3）根据调查结果，请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数； （4）小明和小亮参加校本课程学习，若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率． 21. 如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 22. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x正整数），求有哪几种购买方案． 23. 如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． （1）求的度数； （2）若，求直径的长． 24. 如图1，在锐角内找一点，过点作于点，以为直径作，过点作于点，延长交于点，连接． （1）若，则___________； （2）如图2，若，点在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，连接，若于点，且，求的值． 25. 对于给定的两个函数和，我们把叫做这个两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线． （1）直接写出函数和的积函数； （2）点在(1)中的抛物线上，过点垂直于轴的直线分别交此抛物线的母线于两点（点不重合），设点的横坐标为，求时的值； （3）已知函数和． ①当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求的值以及这个积函数的最小值； ②当它们的积函数自变量的取值范围是时，直接写出这个积函数的图象在变化过程中最高点的纵坐标与之间的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $