3.1列代数式表示数量关系（第2课时）（培优教学课件）数学人教版2024七年级上册

人教版2024·七年级上册 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系 （第二课时） 学习目标 会判断在一个数学问题或者实际问题中所涉及的变量与变量之间是正比例关系还是反比例关系； 理解并掌握正比例关系和反比例关系； 会用适当的字母表示复杂数学问题和实际问题的量，再列代数式表示它们之间的数量关系； 新课导入 在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式 . 新知思考 思考： 如何用代数式表示两数的和与差的积？ 可以按下面的步骤列代数式： 两数的和 两数的差 它们的积 在本套书中，如无特别说明，两数的差，与的差，都指“” 所以，两数的和与差的积为 典例训练 例3 用代数式表示 （2）把元钱存入银行，存期年，年利率为，到期时的利息是 多少元？ 分析：总钱数个面包的总价瓶饮料的总价 分析：利息 本金积年利率 存期 （1）购买个单价为元的面包和瓶单价为元的饮料所需的钱数 . 解：购买个单价为元的面包和瓶单价为元的饮料所需的 钱数为 元 . 解：根据题意可得 所以 典例训练 例3 用代数式表示 分析：现在的售价原来的标价降价数 （3）某商品的进价为元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出 售，现在的售价是多少？ 解：现在的售价为 元 . 同一问题中不同的数量要用不同的字母表示； 不同的问题中不同的数量可以用相同的字母表示，但字母的含义不同； 典例训练 例4 甲、乙两地之间公路全长，汽车从甲地开往乙地，行驶 速度为 分析：本题包含路程、速度和时间三个量，它们之间具有关系： （1）汽车从甲地到乙地需要行驶多少个小时？ （2）如果汽车的形式速度增加，那么汽车从甲地到乙地需 要行驶多少个小时？汽车加快速度后可以早到多少个小时？ 解：（1）汽车从甲地到乙地需要行驶 典例训练 解：（2）如果汽车的形式速度增加，那么汽车从甲地到乙地 需要行驶 （2）如果汽车的形式速度增加，那么汽车从甲地到乙地需 要行驶多少个小时？汽车加快速度后可以早到多少个小时？ 分析：早到的时间原来需要行驶的时间加快速度后需要行驶的时间 . 汽车加快速度后可以早到 从上面的例子可以看出，用字母表示数，字母可以和数一样参与运算，从而可以用代数式把数量或者数量关系简明地表示出来，更具有一般性. 随堂训练 解：这个月内销售这种商品的收入为增加元 . 1. 用代数式表示： （1）比的倍大的数； （2）的相反数与的一半的差； （3）的平方除以的商； 某种商品每袋元，一个月内销售了袋. 用代数式表示这个月内 销售这种商品的收入 . 随堂训练 解：根据题意得， 有两块棉田，一块面积为 （公顷， ）, 平均每公顷产棉花另一块面积为，平均每公顷产 棉花，用代数式表示两块棉田的棉花总产量 . 分析：棉花总产量 一块棉田的产量 另一块棉田的产量. 两块棉田的棉花总产量为： 随堂训练 解：根据题意得， 在一个大正方形铁皮中挖去一个小正方形铁皮，大正方形的边长 是 ，小正方形的边长为 . 用代数式表示剩余铁皮的 面积. 分析：剩余铁皮的面积大正方形的面积小正方形的面积 剩余铁皮面积为： 再来看本章引言中的问题（1）. 机器人平均每秒可以完成范围内苹果的识别，那么机器人 能识别的范围是， 新知讲解 也就是说， 机器人能识别的范围(与所用的时间是(的比值总是一定的. 因此机器人能识别的范围与所用时间是成正比例的量，它们成正比例关系 . 比值固定 工作时间 工作总量 工作效率 新知总结 3. 正比例关系： 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系； 比值固定 变大 变大 变化相同 例如：对于工程问题，当工作效率保持不变时： 工作效率（固定值） 此时它们成正比例的关系 问题探究 如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间又是什么样的关系？先来看一个实际问题. 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市. 在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 . 解答下列问题： （1）根据每天的造雪量，计划所需的造雪天数，填写下表： 每天造雪量/ 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 问题探究 （1）根据每天的造雪量，计划所需的造雪天数，填写下表： 每天造雪量/ 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 解析：此问题中包含三个量：造雪总量、每天的造雪量和造雪天数， 根据它们之间的关系： (造雪总量固定 260 000 每天造雪量为 时，造雪天数 每天造雪量为 时，造雪天数 每天造雪量为 时，造雪天数 问题探究 （2）每天的造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 解析：由（1）中得 每天造雪量/ 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小， 而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是. 例如，. 此时，造雪天数与每天的造雪量成反比例的关系 新知总结 4. 反比例关系： 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系； 例如：问题中的“造雪天数×每天的造雪量 = 260 000（造雪总量）” 乘积固定 变大 变小 变化相反 新知辨析 （1）在本章引言的问题（1）中，工作效率一定的情况下： 工作效率（一定） 工作总量与工作时间成正比例关系； （2）而在“造雪”问题中，工作总量一定的情况下： 工作效率×工作时间=工作总量（一定） 工作效率与工作时间成反比例关系； （1）在本章引言的问题（1）中，工作效率一定的情况下： 工作效率（一定） 工作总量与工作时间成正比例关系； （2）而在“造雪”问题中，工作总量一定的情况下： 工作效率×工作时间=工作总量（一定） 工作效率与工作时间成反比例关系； 请问这三个量之间还有其他的关系吗？ （3）当工作时间一定时： 工作时间（一定） 工作总量与工作效率成正例关系； 新知总结 5. 区分正比例关系和反比例关系： 如果用字母和表示两个相关联的量，用表示一个确定的值，且 正比例关系可以用 来表示； 正比例关系可以用 来表示； 两个量变化趋势相同，如变大，也变大； 变小，也变小 两个量变化趋势相反，如变大，则也变小； 变小，则变大 典例训练 例5 如图，四个圆柱形容器内部的底面积分别为 ，分别往这四个容器中注入的水. （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米? 分析：此问题中涉及圆柱的体积、底面积 及 高 三个量，它们之间具有关系： 圆柱的体积= 底面积×高， 解：（1）四个容器中水的高度分别为： 典例训练 （2）分别用（单位： ）和表示容器内部的底面积和水的高度，用式子表示 与的关系，与成什么比例关系？ 所以，这四个容器中水的高度分别为30 cm、10 cm、10 cm、5 cm； 解：根据题意可得 所以成反比例关系. 随堂练习 1. 如果汽车行驶的路程一定，那么汽车行驶的平均速度与时间是否成反比例关系？为什么？ 解：平均速度与时间成反比例关系，理由如下： 因为 汽车的平均速度×平均时间 = 路程（一定） 所以 汽车的平均速度与平均时间成反比例关系 2. 判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由. （1）一批水果质量一定，按每箱质量相等的规定分类，装箱数与每箱 的质量； 解：成反比例关系，理由如下： 所以 装箱数与每箱的质量成反比例关系 因为 装箱数×每箱的质量=总质量（一个定值） 随堂练习 （2）长方体的体积一定，长方体的底面积与高； （3）购买荧光笔和中性笔的总费用一定，荧光笔的费用和中性笔的费用. 解：成反比例关系，理由如下： 所以 长方体的底面积与高成反比例关系 因为 长方体底面积×高=体积（一个定值） 解：不成反比例关系，理由如下： 所以荧光笔的费用和中性笔的费用不成反比例关系 因为荧光笔的费用+中性笔的费用=总费用 随堂练习 某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的 关系如下表所示. 每天运输的吨数 500 250 100 50 … 运输的天数 1 2 5 10 … （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ （3）用t表示运输的天数，用表示每天运输的吨数，用式子表示t与的关系，与成什么比例关系？ 解：这批货共有500×1=500（吨） 解：运输的天数随着每天运输的吨数的减小而增大 解： 所以 成反比例关系 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $$