精品解析：江苏省无锡市江阴市青阳中学2024-2025学年八年级下学期5月月考数学试题

2024-2025学年第二学期初二数学6月份作业检查 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图所示城市地铁图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平行四边形对角线互相平分 B. 等腰三角形是中心对称图形 C. 购买一张福利彩票，中一等奖 D. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 3. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A. 500名学生 B. 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C. 50名学生 D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有　　 A. 12个 B. 20个 C. 24个 D. 40个 8. 下列关于反比例函数的描述，正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 图像的两支分别在第一、三象限 C. 当时， D. 时，y随x的增大而减小 9. 下列四个命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结四边形四边中点得到的四边形是平行四边形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使有意义，则x必须满足的条件是______． 12. 当_________时，分式的值为0． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 14. 已知三角形的三边长分别为、、，则顺次连接三边中点所得的三角形的周长是_________． 15. 如图，在中，，若，则的度数是______． 16. 若关于x的分式方程有增根，则_______． 17. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为____． 18. 如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为____. 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） ． 20. 解方程： （1）； （2） ． 21. 先化简代数式，再求当时M的值． 22. 用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． （1）求※的值； （2）若※※，求的值． 23. 垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避免垃圾围城的有效途径．某城市环保部门为了提高居民垃圾分类的意识，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，按A：可回收物，B：厨余垃圾，C：有害垃圾，D：其他垃圾进行了统计，并绘制了以下统计图： 根据统计图解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为______度； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.5吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为1000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 24. 如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 25. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 26. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 27. 如图1，矩形的顶点A、C在坐标轴上，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）直接写出B点坐标； （2）D为线段上一点，将沿直线翻折，使点A恰好落在对角线上的点E处．在图1中用无刻度的直尺和圆规画出点D和E（保留作图痕迹），并求出点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点P是平面内任意一点，点Q是y轴上的动点，是否存在点Q，使得O、E、P、Q四点组成的图形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期初二数学6月份作业检查 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图所示城市地铁图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形：一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由中心对称图形的概念知，前三个选项中的图形，均找不到一点，使得图形绕该点旋转后能够与原来的图形重合，故它们都不是中心对称图形；选项D中的图形，则可找到一点，图形绕着该点旋转后能够与原来的图形重合，故是中心对称图形； 故选：D． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平行四边形对角线互相平分 B. 等腰三角形是中心对称图形 C. 购买一张福利彩票，中一等奖 D. 在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查事件分类，根据事件发生可能性大小分析判断即可． 【详解】解：A.平行四边形对角线互相平分是必然事件； B.等腰三角形是中心对称图形是不可能事件； C.购买一张福利彩票，中一等奖是随机事件； D.在一个仅装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件； 故选C． 3. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A. 500名学生 B. 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C. 50名学生 D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况． 故选：B． 【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 4. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念，求解即可.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】详解：由=3，可知不是最简二次根式，故不正确； 由=，可知不是最简二次根式，故不正确； 由=，可知不是最简二次根式，故不正确， 因此只有是最简二次根式. 故选B. 5. 下列条件中，能使菱形为正方形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】根据有一个角是90°的菱形是正方形，以及对角线相等的菱形是正方形进行判断即可． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可， （1）有一个内角是直角（2）对角线相等． 即∠ABC=90°或AC=BD． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 6. 下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．而如果分式的分子、分母同时加上或减去同一个非0的数或式子，分式的值改变． 【详解】A.无法进行运算，故A项错误. B.当c=0时无法进行运算，故B项错误. C. 无法进行运算，故C项错误. D. ,故D项正确. 故答案为D 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质定理是解题的关键. 7. 在不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，则袋中白球有　　 A. 12个 B. 20个 C. 24个 D. 40个 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】设袋中白球有x个，根据题意得： ＝0.6， 解得：x＝24， 经检验：x＝24是分式方程的解， 故袋中白球有24个． 故选C． 【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键． 8. 下列关于反比例函数的描述，正确的是（ ） A. 它的图像经过点 B. 图像的两支分别在第一、三象限 C. 当时， D. 时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】A选项点坐标代入即可确定；B选项由反比例函数的k值可判断图象所在的象限；C选项根据图象可确定时的y取值范围；D选项可通过图象来判断． 【详解】A：当时，，故不符合题意； B：反比例函数位于二、四象限，故不符合题意； C：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，且当时，，所以当时，，故符合题意； D：反比例函数的图象在各个象限内，随的增大而增大，所以当时，随的增大而增大． 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键． 9. 下列四个命题：①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结四边形四边中点得到的四边形是平行四边形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、正方形、中点四边形的性质以及轴对称图形和中心对称图形的定义；通过分析和判断四个命题的真假，加深对这些几何概念的理解． 【详解】①一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，因为等腰梯形也满足一组对边平行且另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形；因此命题①错误． ②举反例说明，如图，菱形对角线互相垂直且相等，但不是正方形；因此命题②错误． ③如图，设四边形，分别是的中点，连接，，   连接，在中，因为是中点，是中点， 根据三角形中位线定理，，且. 同理可得：， 且， ∴，且， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形；所以命题③是真命题，因此命题③正确． ④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；因此命题④错误． 综上所述正确的命题：③． 故选：A． 10. 如图，四边形是平行四边形，点C的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上．若点A、D在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，由平行四边形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，可得，作轴于，由题意可得点A、D关于原点对称，即可得出，由等边三角形的性质可得，，即，从而得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点C的坐标为， ∴，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴点A、D关于原点对称， ∴， ∴， ∵轴于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 要使有意义，则x必须满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数非负是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”得到一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件：①分子；②分母．结合题目所给分式分别满足这两个条件列出相关方程和不等式，求解即可． 【详解】解： 分式的值为0， ，由可得： ；由可得：， 综上可知，， 故答案为． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，该题型比较容易漏掉分母不为0的条件．根据分式值为0的条件，准确求解相关方程与不等式是解决问题的关键． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 已知三角形的三边长分别为、、，则顺次连接三边中点所得的三角形的周长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理． 根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．据此得到各中位线长后即可求新三角形的周长． 【详解】解：根据三角形中位线定理可得： 该三角形三边中位线长分别为，，， 顺次连接三边中点所得的三角形的周长为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识． 16. 若关于x的分式方程有增根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 由分式方程有增根，得到， 解得：， 把代入，可得：， 解得：． 故答案为：． 17. 如图，过y轴正半轴上一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数和的图象相交于点A和点B，C是x轴上一点．若的面积为4，则k的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．由此即可得到，即可求出的值． 【详解】解：连接，， 轴， 的面积的面积， 的面积，的面积， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的特征，关键是掌握反比例函数的几何意义． 18. 如图，菱形的对角线长度为6，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合中位线定理得，取的中点，根据“三角形的三边关系”即可求出长度的最大值． 【详解】解：连接，交于点，连接 由题意得： ∵N为中点，为中点 ∴ 取的中点，连接 则，， ∴当三点共线时，长度最大为： 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、中位线定理、勾股定理的应用、三角形的三边关系等知识点．综合性较强，需要学生具备严密的逻辑推理能力． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2） ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算，二次根式的化简，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 20. 解方程： （1）； （2） ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，一元二次方程的解法，掌握相关的解法是解题的关键． （1）先求解，再利用公式法解方程即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解：， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解． 21. 先化简代数式，再求当时M的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式化简求值，对括号内进行通分，进行加减运算，然后再进行乘除运算，最后把数值代入进行计算即可得. 【详解】解： ， 当时，． 22. 用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． （1）求※的值； （2）若※※，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）按照运算法则计算即可； （2）根据题意可得关于的一元一次方程，解方程即可得的值． 【小问1详解】 解：∵对于实数、，都有※， ∴※ 【小问2详解】 解：∵对于实数、，都有※， ∴※， ∴※※※， ∵※※， ∴， ∴． 23. 垃圾分类是实现垃圾减量化、资源化、无害化，避免垃圾围城的有效途径．某城市环保部门为了提高居民垃圾分类的意识，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，按A：可回收物，B：厨余垃圾，C：有害垃圾，D：其他垃圾进行了统计，并绘制了以下统计图： 根据统计图解答下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，产生的有害垃圾C所对应的圆心角为______度； （3）调查发现，在可回收物中塑料类垃圾占，每回收1吨塑料类垃圾可获得0.5吨二级原料．假设该城市每月产生的生活垃圾为1000吨，且全部分类处理，那么每月回收的塑料类垃圾可以获得多少吨二级原料？ 【答案】（1） 补全条形图如下： （2） （3）27 【解析】 【分析】（1）首先根据条形图和扇形图求出垃圾总数，即可得出厨余垃圾B的数量，进而即可补全条形图； （2）先求出有害垃圾C所占的百分比，然后即可得出其所对的圆心角； （3）先求出可回收物中塑料类垃圾的数量，然后即可得出二级原料的数量. 【小问1详解】 解：由题意，得 垃圾总数为：（吨） ∴厨余垃圾B的数量为：（吨） 【小问2详解】 解：有害垃圾C所占的百分比为： ∴有害垃圾C所对应的圆心角为； 【小问3详解】 解：由题意，得吨 答：每月回收的塑料类垃圾可以获得27吨二级原料. 【点睛】此题主要考查条形统计图和扇形图相关联的信息求解，熟练掌握，即可解题． 24. 如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 25. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元 （2）该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； 【小问2详解】 解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： ， 解得：， 设总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w最a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 26. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ． 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式，并写出自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；②是定值 【解析】 【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可． （2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可； ②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可． （3）①根据定义，得，整理表示y即可． ②根据，变形得即，变形解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得， ∴矩形的周长为，面积为，不相等， ∴点不是“美好点”； ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得． 故答案为：不是；4． （2）①解：∵点是“美好点”（）， ∴， 解得， ∴点， 把代入解析式中，得， 解得； ②解：∵， ∴双曲线的解析式为， ∵点在上， 解得， 故点， 过点F作轴于点H，交的延长线于点G， 设，直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）①解：∵点是第一象限内的“美好点”． ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． ②解：是定值，且为．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， 故是定值，且为． 【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点与象限，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键． 27. 如图1，矩形的顶点A、C在坐标轴上，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）直接写出B点坐标； （2）D为线段上一点，将沿直线翻折，使点A恰好落在对角线上的点E处．在图1中用无刻度的直尺和圆规画出点D和E（保留作图痕迹），并求出点E的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，若点P是平面内任意一点，点Q是y轴上的动点，是否存在点Q，使得O、E、P、Q四点组成的图形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质结合点A的坐标为，点C的坐标为，可得答案； （2）先作的角平分线交于，再过作于，可得即为所求；证明，可得，，进一步利用勾股定理与等面积法可得的坐标； （3）由O、E、P、Q四点组成的图形是菱形，分三种情况讨论：当时，当，四边形为菱形，可得关于轴对称；当时，设，由勾股定理可得，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵矩形的顶点A、C在坐标轴上，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，，， ∴. 【小问2详解】 解：由作图可得：平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴即为所求；，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 过作于， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：∵O、E、P、Q四点组成的图形是菱形， 当时，如图， ∴或，即或； 如图，当，四边形为菱形， ∴关于轴对称； ∴， 如图，当时，设， ∴， 解得：， ∴即； 综上：或或或. 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，作角平分线，作垂线，坐标与图形，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $