专题23.3 旋转几何模型（模型梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（人教版）

专题23.3 旋转几何模型 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【模型引入】 1 【题型1】旋转产生等腰三角形求值 2 【题型2】旋转产生等腰三角形证明 2 知识点（一）等边三角形旋转模型 3 【题型3】等边三角形旋转模型求值 3 【题型4】等边三角形旋转模型证明 4 知识点（二）正方形旋转模型 5 【题型5】正方形旋转模型求值 5 【题型6】正方形旋转模型证明 6 知识点（三）等腰直角三角形旋转模型 7 【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值 7 【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明 8 二. 同步练习 9 【基础巩固（18题）】 9 【能力提升（20题）】 15 一．知识梳理与题型分类精析 【模型引入】 如图1，线段绕点旋转一定角度后得到线段，连接、，由旋转性质可以得到：等腰和等腰，这样我们就可以得到一个旋转结论： 有旋转就有等腰三角形，旋转角是产生等边三角形，旋转是旋产生等腰直角三角形. 【题型1】旋转产生等腰三角形求值 【例题1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【题型2】旋转产生等腰三角形证明 【例题2】（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图：中，，，将绕点C顺时针旋转一个角度后，点D正好落在上，求．    【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好在线段上，且平分，记线段与的交点为．下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2022·天津河西·二模）如图，将绕点B逆时针旋转60°得到，点A的对应点为D，交于点P，连结，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 知识点（一）等边三角形旋转模型 如图1，在等边中，点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使得AB与AC重合，经过这样的变化，将图 1中的PA、PB、PC三条线段集中于图2的一个中，同时也是一个等边三角形.这就是等边三角形旋转模型 【题型3】等边三角形旋转模型求值 【例题3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，且若将绕点A逆时针旋转后，得到．求： （1）的长度； （2）的度数 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则 ． 【题型4】等边三角形旋转模型证明 【例题4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点为等边三角形内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，求证：． 【变式1】（2024·安徽·一模）如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且ADAB，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（    ） A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形 C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在等边中有一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 知识点（二）正方形旋转模型 如图4，在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样的旋转变化，将图4中的PA、PB、PC三条线段关系集中于图5中中，此时为等腰直角三角形. 【题型5】正方形旋转模型求值 【例题5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 【题型6】正方形旋转模型证明 【例题6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，P是正方形内一点，线段绕着点B顺时针旋转至，连接，，求证：． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. （1）旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，说明. 【变式2】（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 知识点（三）等腰直角三角形旋转模型 在等腰中，，点为内一点，如图6，将绕C点按逆时针方向旋转，使得AC与BC重合。经过这样的旋转变化，线段、、三边关系就转化到如图7中的中，同时得到是一个等腰直角三角形. 【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值 【例题7】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P是等腰直角三角形内的一个点，且，若将绕点C逆时针旋转后得到，则 ， ． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明 【例题8】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 【变式1】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在等腰直角中，，，点为斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【变式2】（2023·天津河西·二模）如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B．是等腰直角三角形 C． D． 二. 同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（22-23八年级上·广东河源·期末）如图，是等腰直角三角形，是斜边，现将绕点逆时针旋转后，能与重合，已知，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，旋转角，连接并延长至点F，使，连接，则的度数是（  ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山西临汾·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，将绕点顺时针旋转后得到．若，，则的周长为（    ） A．10.8 B．11.4 C．11.8 D．12 6．（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，且．则 ． 10．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是 ． 12．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接， ． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段、连接．若求三角形的面积．请将下面的证明过程补充完整． 证明：由旋转的性质可得 是等边三角形．（   ） 是等边三角形， 即 则在和中 ∴（   ）； ∴． ∴． ∴是直角三角形，且． 16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长． 18．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，是边长为4的等边三角形，点D在边的延长线上且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（   ） A．2 B． C． D．1 6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 7．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在正方形中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，延长交的平分线于一点F，O为对角线的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A．2 B． C． D．3 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，，，绕点在平面内自由旋转，当、、三点共线时，的长是 ． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 11．（23-24九年级上·北京·期中）如图，等腰直角三角形中，，绕点A逆时针旋转，得到，连接，则 ． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为 ． 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，． 15．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，延长交直线于点． （1）如图1，试猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若是等边三角形，判断的形状，并说明理由． 18．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 19．（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求证：． （2）如图2，将绕点顺时针旋转至，，三点共线，为的中点，连接，． ①的度数为________． ②试探究线段与的数量关系，并说明理由． 20．（24-25八年级下·山东威海·期中）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数，爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、， ，，是等边三角形， ，． 是等边三角形，，， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.3 旋转几何模型 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【模型引入】 1 【题型1】旋转产生等腰三角形求值 1 【题型2】旋转产生等腰三角形证明 4 知识点（一）等边三角形旋转模型 6 【题型3】等边三角形旋转模型求值 7 【题型4】等边三角形旋转模型证明 10 知识点（二）正方形旋转模型 13 【题型5】正方形旋转模型求值 13 【题型6】正方形旋转模型证明 16 知识点（三）等腰直角三角形旋转模型 19 【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值 19 【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明 22 二. 同步练习 25 【基础巩固（18题）】 25 【能力提升（20题）】 41 一．知识梳理与题型分类精析 【模型引入】 如图1，线段绕点旋转一定角度后得到线段，连接、，由旋转性质可以得到：等腰和等腰，这样我们就可以得到一个旋转结论： 有旋转就有等腰三角形，旋转角是产生等边三角形，旋转是旋产生等腰直角三角形. 【题型1】旋转产生等腰三角形求值 【例题1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，依据旋转的性质得到相等的边或角是解题的关键． 由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 解：证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，，， ∵ ， ，即． 在和中， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解． 解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 【题型2】旋转产生等腰三角形证明 【例题2】（23-24九年级上·湖南长沙·期中）如图：中，，，将绕点C顺时针旋转一个角度后，点D正好落在上，求．    【答案】 【分析】本题考查了旋转性质，易得，，，结合等边对等角以及三角形内角和，得，即可作答． 解：由旋转可得：， 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴．    【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好在线段上，且平分，记线段与的交点为．下列结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角，能够综合运用旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角是解题的关键． 根据旋转的性质，可判定A选项； 根据题意，可证与并不全等，可判定B选项； 根据三角形外角的性质，可判定C选项； 根据全等的性质，可判定D选项，由此即可求解． 解：A 、点是旋转后点的对应点，，故A正确； B、由旋转可知，但与并不全等，故B不正确； C、由旋转可知旋转角，，， 又平分， ， ， ，， 故C正确； D、由旋转可知， ，， 平分， ， 在和中， ， ，故D正确； 故选：B． 【变式2】（2022·天津河西·二模）如图，将绕点B逆时针旋转60°得到，点A的对应点为D，交于点P，连结，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】D 【分析】由题意可知，将△ABC旋转60°后得到△DBE，根据等边三角形的判定方法确定D正确，其他三项逐项进行排除即可； 解：A、由题意可知，DE=AC不一定等于CB，故A选项错误； B、由于D、B、C不一定在同一个直线上，故∠EBA不一定等于60°，故B选项错误； C、由题意可知，AD≠PD，故∠CAD≠∠APD，故，C选项错误； D、由旋转的性质可知，△ABD为等边三角形，故D选项正确； 故选D． 【点拨】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转60°后所形成的等边三角形是解决本题的关键． 知识点（一）等边三角形旋转模型 如图1，在等边中，点是内一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使得AB与AC重合，经过这样的变化，将图 1中的PA、PB、PC三条线段集中于图2的一个中，同时也是一个等边三角形.这就是等边三角形旋转模型 【题型3】等边三角形旋转模型求值 【例题3】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，且若将绕点A逆时针旋转后，得到．求： （1）的长度； （2）的度数 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，旋转前后对应边相等，对应角相等． （1）根据旋转的性质可得，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得； （2）根据等边三角形的性质可得，利用勾股定理逆定理求出，然后求解即可． 解：（1）∵绕点逆时针旋转后，得到， ∴是等边三角形， ； （2）解：∵绕点逆时针旋转后，得到， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ∴是直角三角形，， ． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，得到，，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用进行计算即可． 解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转后，得到， ，，， 为等边三角形， ，， 在中， ∵，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，点P是等边三角形内的一点，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，将绕点旋转得到，过点作于点，可证是等边三角形，由勾股定理的逆定理可得，求得的长，利用三角形的面积公式求解即可，添加恰当的辅助线，构造特殊三角形是解决问题的关键． 解：将绕点旋转，根据等边三角形中，故可得到，过点作于点， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型4】等边三角形旋转模型证明 【例题4】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点为等边三角形内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，根据证明可得结论． 解：证明：绕点顺时针旋转到， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ． 【变式1】（2024·安徽·一模）如图，点D为等边△ABC的边AB上一点，且ADAB，将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE，连接DE交BC于点F，则下列结论不成立的是（    ） A．BE∥AC B．△CDE为等边三角形 C．∠BFD＝∠ADC D．DF＝4EF 【答案】D 【分析】由旋转的性质可得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝60°，可证△CDE是等边三角形，BE∥AC，由外角的性质可证∠BFD＝∠ADC，即可求解． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°， 由旋转的性质得：∠DCE＝60°，△ACD≌△BCE，AC＝BC，AD＝BE，∠A＝∠ABE＝60°， ∴△CDE是等边三角形，∠A＋∠ABE＝180°， ∴BE∥AC，故A，B结论正确，但不符合题意； ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴∠ABC＝∠CDF＝60°， ∵∠BFD＝∠CDF＋∠DCF＝60°＋∠DCF， ∠ADC＝∠ABC＋∠DCF＝60°＋∠DCF， ∴∠BFD＝∠ADC，故C结论正确，但不符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在等边中有一点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连接．给出下面四个结论：；是等边三角形；；若，则．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得，，由旋转的性质得，，可得是等边三角形，，即可证明，由此可判断；由已知条件无法得出，即无法得出，由此可判断；由全等三角形的性质得，再由勾股定理得，由此可判断． 解：是等边三角形， ，， ， 由旋转得：，， 是等边三角形，， ， ， 故正确； 是等边三角形， ， 由已知条件无法得出， 即无法得出， 故不正确； ， ， ， 为直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 故正确； 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 知识点（二）正方形旋转模型 如图4，在正方形中，点是正方形内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样的旋转变化，将图4中的PA、PB、PC三条线段关系集中于图5中中，此时为等腰直角三角形. 【题型5】正方形旋转模型求值 【例题5】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 解：连接如图： 是正方形， ，， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质等，正确构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则，即可解答． 解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 【答案】 /90度 10 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案． 解：四边形是正方形， ， ∵绕点B顺时针旋转与重合， ∴，， ∴， ． 故答案为：，10． 【题型6】正方形旋转模型证明 【例题6】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，P是正方形内一点，线段绕着点B顺时针旋转至，连接，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可得解． 解：证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵线段绕着点B顺时针旋转至， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. （1）旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若，说明. 【答案】（1）点，90；（2）等腰直角三角形，理由见分析；（3）见分析 【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可； （2）由旋转的性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形； （3）由旋转可得，进而得到，从而证明结论． 解：（1）解：∵是正方形， ∴， ∵经逆时针旋转后能与重合， ∴旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）解：是等腰直角三角形，理由为 四边形是正方形， ， 由旋转，得，， 是等腰直角三角形； （3）证明：由旋转，得， ， ， ． 【变式2】（23-24九年级上·广东潮州·期末）如图，已知正方形的边长为，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接、． （1）求证：； （2）当为何值时，的面积最大？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的性质，利用二次函数的最值求解是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，，可得，由三角形面积公式和二次函数的性质可求解． 解：（1）证明：绕点顺时针旋转至的位置， ，， ∵正方形， ，， ， 即， ∴在与中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 在正方形中，， 由（1）知， ，， 设， ∵正方形的边长为， ∴， ， ， 当，的面积最大， 即当时，的面积最大． 知识点（三）等腰直角三角形旋转模型 在等腰中，，点为内一点，如图6，将绕C点按逆时针方向旋转，使得AC与BC重合。经过这样的旋转变化，线段、、三边关系就转化到如图7中的中，同时得到是一个等腰直角三角形. 【题型7】等腰直角三角形旋转模型求值 【例题7】（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，再根据勾股定理即可解答． 解：∵绕点逆时针旋转后，能与重合，，， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P是等腰直角三角形内的一个点，且，若将绕点C逆时针旋转后得到，则 ， ． 【答案】 /135度 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理及其逆定理等知识，求得，，进而推导出是解题的关键．由旋转得，，，求得，，而，则，所以，则，于是得到问题的答案． 解：△是等腰直角三角形， ，， 将△绕点逆时针旋转后得到△， ，，， ，， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 故答案为：，． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）（1）如图1，在中，，，以为边作等边三角形，将斜边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接并延长交于点F．则的度数为______； （2）如果将等腰直角三角形改为任意直角三角形（如图2），其他条件不变，猜想的度数，并加以证明． 【答案】（1）（2），证明见分析 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，证明，得到，8字形图，得到，即可得出结果； （2）同法（1）即可得出结果． 解：（1）∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； （2），证明如下： ∵等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设交于点， ∵， ∴； 【题型8】等腰直角三角形旋转模型证明 【例题8】（23-24九年级上·湖北鄂州·阶段练习）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断， ③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断， ④由，，在中，应用勾股定理，即可判断， ②根据与的关系，判断与的关系，即可判断， 本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质． 解：由旋转的性质可得：， ，， ， ，故①正确， ， ，即：平分，故③正确， ， ， 在中，，即：，故④正确， 与不一定相等， 与不一定相等，故②不正确， 综上所述，①③④正确， 故答案为：①③④． 【变式1】（24-25九年级上·天津西青·期末）如图，在等腰直角中，，，点为斜边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则下列说法错误的是（   ） A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，由，，可得，由旋转可得，再逐个选项判断即可． 解：∵，， ∴． ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，，， 故选项A正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形， 故B正确，不符合题意； ∴，， ∴中，， ∴， 故C错误，符合题意； ∵，且， ∴， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2023·天津河西·二模）如图，在等腰直角中，，点为斜边AB上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B．是等腰直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】由，，可得，由旋转的性质可知，，，可判定A正确，B正确；根据，可得，即可得，判断C错误；由且对顶角相等，可判断D正确． 解：，， ． 由旋转的性质可知，，， 故A正确，不符合题意； 是等腰直角三角形， 故B正确，不符合题意； ，， ， ， ， ， 故C错误，符合题意 ∵，且对顶角相等， ∴， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（18题）】 一、单选题 1．（22-23八年级上·广东河源·期末）如图，是等腰直角三角形，是斜边，现将绕点逆时针旋转后，能与重合，已知，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转前后的图形全等，即可得出等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可． 解：∵是由绕点A逆时针旋转后得到的， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴． 故选：A． 【点拨】此题考查了旋转的性质，勾股定理，解答本题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等． 2．（24-25九年级上·重庆荣昌·期中）如图，正方形中，绕点A逆时针旋转到，旋转角，连接并延长至点F，使，连接，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质，等腰三角形的性质， 根据正方形的性质得，，再结合旋转的性质求出 ，即可得出，然后根据等腰三角形的性质求出，即可得 ，接下来求出，最后根据等腰三角形的性质得出答案. 解：四边形是正方形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， . ， ，， ， ， ∴. 故选：A． 3．（22-23八年级上·山西临汾·期中）是等边三角形，点P在内，，将绕点A逆时针旋转得到，则的长等于（    ）    A．4 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质推出 ， ，根据旋转的性质得出 ，推出，，求出，得出是等边三角形，即可求出答案； 解：∵ 是等边三角形 ∵将绕点 逆时针旋转得到 即 ∴ 是等边三角形 故选：A 【点拨】本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出是等边角形，注意“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于． 4．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，为等边三角形，D是内一点，将经过旋转到的位置，则旋转角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得，由旋转的性质可得旋转角为． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵将经过旋转到的位置， ∴旋转角为， 故选：D． 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，将绕点顺时针旋转后得到．若，，则的周长为（    ） A．10.8 B．11.4 C．11.8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中有，证明是等边三角形得到，再证明，从而得到，继而得到，从而得解，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 解：∵是等边三角形，， ∴，， 又∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 6．（24-25八年级下·陕西·期中）如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，三角形的三边关系，熟练掌握是解答本题的关键． 根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据是等边三角形，即可得到，即可判断A；进而得出，即可判断C；根据三角形三边关系即可判断D选项． 解：是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转到的位置， ， ，，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ，即是直角三角形，故B正确； 是等边三角形， ，故A正确； ，故C正确； 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 在中，， 即，故选项D错误． 故选：D． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，根据旋转的性质，等边对等角得到，再证明，，即可求解． 解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵边绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A ． 【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 二、填空题 8．（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，推出是等腰直角三角形，推出，推出当的值最大时，的值最大，利用三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题． 解：将绕点顺时针旋转，得，如图：    由旋转不变性可得：，， 且， 是等腰直角三角形， ， 最大，只需最大，而在中，， 当且仅当、、在一条直线上，即不能构成时，最大，且最大值为， 此时， 故答案为：． 【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，将正方形中的绕点顺时针旋转到的位置，且．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相等及勾股定理求边长．观察图形可知，旋转中心为点，点的对应点为，点的对应点为，故旋转角，根据旋转性质可知，可根据勾股定理求． 解：由旋转的性质可知，旋转角，， 在中，由勾股定理得， ． 故答案为：． 10．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得，结合旋转性质得出，，则为等腰直角三角形，因为点共线，即可列式进行计算作答． 解：∵四边形为正方形， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点共线， ∴， ． 故答案为： 11．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，为正方形内一点，，将绕点逆时针旋转得到，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．根据旋转的性质，绕点B顺时针旋转得到，则可知旋转角度是，，是等腰直角三角形，由勾股定理求出即可． 解：∵绕点C顺时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为． 12．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，点F是等边三角形内一点，．将绕点B顺时针旋转得，连接， ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的性质，得到是等边三角形是解决问题的关键． 根据已知条件可得到是等边三角形，从而得到． 解：将绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ∴， ∴ ∴ 是等边三角形， ， 故答案为：． 14．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，P为等边三角形内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】将绕点B逆时针旋转得，根据旋转的性质得，，，则为等边三角形，得到，，在中，，延长，作于点F，，，根据勾股定理的逆定理可得到为直角三角形，且，即可得到的度数，在直角中利用三角函数求得的长，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：∵为等边三角形， ∴， 可将绕点B逆时针旋转得， 连，且延长，作于点F，如图， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． ∴， ∴在直角中，，． ∴在直角中，， 则的面积是， 故答案为：9． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 三、解答题 15．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段、连接．若求三角形的面积．请将下面的证明过程补充完整． 证明：由旋转的性质可得 是等边三角形．（   ） 是等边三角形， 即 则在和中 ∴（   ）； ∴． ∴． ∴是直角三角形，且． 【答案】；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；；； 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，旋转的性质，全等三角形的判定，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．先证明是等边三角形，再由等边三角形的性质得到，，再得，再利用即可证明；再利用勾股定理的逆定理证明，据此利用三角形面积公式求解即可． 解：证明：由旋转的性质可得 ，， ∴是等边三角形，（有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形） ， ， 即， 则在和中 ∴； ∴． ∴． ∴是直角三角形，且． 16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ，点 在 上，将 绕点 顺时针旋转后得到． 求的度数； 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰三角形的性质，旋转的性质是解题的关键． 根据题意，，由旋转的性质可得与重合，，，由即可求解． 解：∵是等腰直角三角形，,， ∴， ∵将 绕点 顺时针旋转后得到， ∴与重合，， ∴， ∴， ∴ 的度数为． 17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，是等边三角形，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后，能与重合，如果，求的长． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，再根据旋转的角度为和等边三角形的判定得出为等边三角形；即可根据等边三角形的性质得出结论．本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．同时考查了等边三角形的判定和性质． 解：是等边三角形， 绕点逆时针旋转后与重合， ，， ， ∴为等边三角形， ． 18．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知：如图，在中，，以为边向外作等边三角形，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，且，，三点共线，若，，求的度数与的长． 【答案】；5 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的性质，通过图形旋转得到等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可得出，，进而可得出为等边三角形以及，可得出；由点，，在一条直线上可得出，根据旋转的性质可得出，结合，可得出的长度，再根据等边三角形的性质即可得出的长度． 解：绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ，， 为等边三角形， ， ， 点，，在一条直线上， ， 绕着点D按顺时针方向旋转后得到， ， ， 为等边三角形， ． 【能力提升（20题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，是边长为4的等边三角形，点D在边的延长线上且，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作于点，根据旋转的性质推出是等边三角形，即可求解． 解：如图，过点作于点， 是边长为4的等边三角形， ， ， ， ， ， 将线段绕点D顺时针旋转得到线段， 是等边三角形， ， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，由旋转的性质得，推出，，，，进而求出，推出为等边三角形，即可判断①；再根据已知求出，即可判断②；由，求出，得到，利用勾股定理即可求出，即可判断③；取中点Q，连接，则，证明，易得，即可判断④． 解：由旋转的性质得， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴，故③正确； 取中点Q，连接， 则， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵Q点是中点，， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，点D是等边三角形内一点，，，，是由绕点A逆时针旋转得到的，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴， ， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ， 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 4．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，是等边三角形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质以及图形的旋转等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明，由全等三角形的性质可知；再证明为等边三角形，可得，然后利用两角之差即可求解． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 故选C． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，是等边三角形，点在内，，将绕点逆时针旋转得到，则的长等于（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，根据等边三角形的性质推出，，根据旋转的性质得出，推出，，从而求出，得到是等边三角形，即可得到答案． 解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ， 故选：． 6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，点是等边三角形内一点，，，是由绕点逆时针旋转得到的，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由旋转的性质可证明是等边三角形，得，，再由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形得出，进而求出，利用等边对等角求出，从而可得出结论． 解：连接，如图： ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，解本题的关键是判断出是等边三角形． 7．（2025·重庆垫江·模拟预测）如图，在正方形中，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，延长交的平分线于一点F，O为对角线的中点，连接．若，，则的长度为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】连接，记的交点为，设，证明，求解，证明，，可得，，可得，再进一步求解即可. 解：连接，记的交点为， 设， ∵正方形， ∴，，， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A 【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 8．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点P是正方形内一点，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理即逆定理． 利用旋转法构造全等三角形，根据勾股定理得到，证明，即可解决问题． 解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，，，， ， 根据勾股定理得，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且， ． 故选：A． 二、填空题 9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期中）如图，和均为等腰直角三角形，，，，绕点在平面内自由旋转，当、、三点共线时，的长是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质（三线合一、斜边与直角边的数量关系 ）以及勾股定理．解题关键是根据题意，画出两种不同位置关系的图形（射线在直线上方和下方 ），分类讨论计算的长度．本题需分两种情况讨论：当射线在直线上方和下方时，通过作构造直角三角形，利用等腰直角三角形性质和勾股定理，求出、、的长度，进而得到的长． 解：情况一：射线在直线上方，作于H， ∵是等腰直角三角形，，，（等腰直角三角形三线合一），． 根据等腰直角三角形斜边与直角边关系， ∴ ． ∴． 又∵是等腰直角三角形，，，． 由， ∴ ． 在中，根据勾股定理． 把，代入，得 ． ∴ ． 情况二：射线在直线下方 同样，∵是等腰直角三角形， ∴；是等腰直角三角形， ∴ ． 在中，由勾股定理得（计算过程同情况一）． ∴ ． 综上，的值为或， 故答案为或 ． 10．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，已知点P是等腰直角三角形中一点，连接；线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，连接；若， ，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由旋转的性质得，，证明，进而可证，从而，，求出，然后利用勾股定理求解即可． 解：由旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：3． 11．（23-24九年级上·北京·期中）如图，等腰直角三角形中，，绕点A逆时针旋转，得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题关键．由等腰直角三角形可得，由旋转的性质可得，，从而证明是等边三角形，得到，即可求出的度数． 解：等腰直角三角形中，， ， 绕点A逆时针旋转，得到， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，是等边三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转到位置．连接，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用．首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理得出，可求的度数，由此即可解决问题． 解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海·阶段练习）设O是等边三角形内一点，已知，，求以线段、、为边构成的三角形的各角的度数分布为 ． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质， 可通过旋转将旋转至，则可得是等边三角形，再根据旋转的性质得出线段三边构成的三角形为，进而求出各个角的大小即可． 解：将逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形． ∴ 又∵ ∴， 故以线段三边构成的三角形为 ∴ 故答案为：，， 14．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）为等边三角形，D为平面内一点，连接，将绕点D顺时针旋转，得到线段，连，．当，，时，． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理，分两种情况：当在的左侧时；当在的右侧时；分别计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：如图，当在的左侧时， 由题意可得：， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， 延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴； 如图：当在的右侧时， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， 此时， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 15．（2025·天津·模拟预测）如图，点是正方形的对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，若正方形的边长为4，取的中点，连接，求的最小值 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，图形与坐标，解题关键是建立平面直角坐标系． 以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，可得出，，，先求出直线的解析式，再设出点的坐标为，然后证明，从而可得出点的坐标，再求出点的坐标，然后利用两点间的距离求出用表示出，再求出最小值即可． 解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 设点的坐标为，其中， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， 过点作于点，过点作的延长于点，过点作， 则四边形是矩形，，， 所以，又， 所以， 所以，， 因为四边形是矩形， 所以，， 因为四边形是正方形，是对角线， 所以平分， 所以点到的距离等于它到的距离为， 所以到轴的距离为，即点的横坐标为， 所以，所以到的距离为，即点的纵坐标为， 所以点的坐标为， 因为点是的中点， 所以点的横坐标为， 所以，当时，有最小值2， 故答案为：2． 16．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查旋转的基本性质和全等三角形基本性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握基本性质是解题关键； 连接，先通过旋转性质是等腰直角三角形．再通过勾股定理得到，进而通过勾股定理逆定理得到是直角三角形，进而可求出． 解：连接． ∵绕点顺时针旋转到， ， 是直角三角形． ∵由旋转性质可知，与全等， ，． ． ∵，，， ， 是直角三角形， ， ． 故答案为：135． 三、解答题 17．（24-25八年级下·山东东营·期中）如图，点是正方形内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，延长交直线于点． （1）如图1，试猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，若是等边三角形，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），理由见分析；（2）为等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）设与交于点，根据正方形性质得出，根据旋转的性质得出，，从而，从而利用“”证明，根据全等得出，根据对顶角得出，从而说明； （2）根据等边三角形的性质得出，则，再求出，然后根据得出，从而得出答案． 解：（1） 证明：如图，设与交于点，    四边形是正方形， ， 由旋转的性质得出，， ， ， 在和中， ， 又， ， ； （2）解：为等腰直角三角形． 理由如下：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ∵， ， 为等腰直角三角形． 【点拨】本题考查旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用以及等腰直角三角形的判定，综合性强，较难．利用数形结合的思想是解题关键． 18．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 【答案】（1）直角三角形；（2）①135度；② 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用旋转的性质得，，则为等边三角形，所以，由已知可得，，接着利用旋转的定义可把绕点逆时针旋转得到，于是得到，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，； （2）①将绕点顺时针旋转得到，如图②，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以； ②利用为等腰直角三角形得到，再判断点、、共线得到为直角三角形，然后利用的面积进行计算． 解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； （2）①连接， ∵将绕点顺时针旋转得到，如图②， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ； ②为等腰直角三角形， ， 而； ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 19．（24-25八年级下·山西大同·期中）综合与探究 如图1，和都是等边三角形，连接，． （1）求证：． （2）如图2，将绕点顺时针旋转至，，三点共线，为的中点，连接，． ①的度数为________． ②试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）①②，理由见详解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，，求得．根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）①由（1）知，，得到，求得， ②如图，延长至点G，使得．由F为的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，．根据全等三角形的性质得到，，求得．根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 解：（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ∴； （2）解：①与（1）同理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：如图，延长至点G，使得． ∵F为的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． 由（1），得， ∴，， ∴， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25八年级下·山东威海·期中）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数，爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解决这道问题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、， ，，是等边三角形， ，． 是等边三角形，，， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，，，求的度数． 【答案】（1）见分析，（2） 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，可证是等边三角形，得到，，证明可得，，运用勾股定理逆定理得到，则，由，即可求解； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，，可证是等腰直角三角形，得到，，再证，得到，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，由，即可求解． 解：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （2）如图1， 将绕点顺时针旋转至，连接，， ，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题主要考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$