专题3.2 图形的旋转（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（浙教版）

专题3.2 图形的旋转 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）旋转定义 1 【题型1】旋转图形的识别 2 知识点（二）旋转三要素 2 【题型2】旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 3 小结：找旋转中心和旋转角方法： 3 知识点（三）旋转的性质 4 【题型3】旋转性质辨析 4 【题型4】利用旋转性质求值 5 【题型5】利用旋转性质证明 6 知识点（四）利用旋转性质作图 7 【题型6】利用旋转性质作图 7 知识点（五）利用旋转性质与几何综合 8 【题型7】旋转与几何性质综合——线段问题 8 【题型8】旋转与几何性质综合——角度问题 9 【题型9】旋转与几何性质综合——面积问题 10 【题型10】旋转与几何性质综合——规律问题 11 【题型11】旋转与几何性质综合——坐标系中的旋转问题 12 二. 同步练习 13 【基础巩固（16题）】 13 【能力提升（18题）】 17 【中考真题12题】 23 一．知识梳理与题型分类精析 观察上面两幅“风车”图形，进行旋转时图形上各部分有什么特点？ 知识点（一）旋转定义 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运算叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心. 【题型1】旋转图形的识别 【例题1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 知识点（二）旋转三要素 旋转三要素：旋转中心，旋转的方向（顺时针或逆时针）和旋转的角度. 如图1：绕点逆时针方向旋转，得到，这样我们就得到了其旋转中心为点，旋转方向为逆时针方向，旋转角为. 【题型2】旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 【例题2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【变式1】（23-24九年级上·河南·期末）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 小结：找旋转中心和旋转角方法： （1）找旋转中心方法：对应点连线垂直平分线交点就是旋转中心；（2）找旋转角方法：对应点和旋转中心连线的夹角就是旋转角. 知识点（二）旋转的性质 旋转性质：（1）图形旋转所得的图形和原图形全等.（2）对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 如图2：绕点逆时针方向旋转一定角度后我们可以得到： （1） ； （2） （3） 【题型3】旋转性质辨析 【例题3】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型4】利用旋转性质求值 【例题4】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【题型5】利用旋转性质证明 【例题5】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，使得点落在边上，的延长线交于，连接，． （1）求证：平分； （2）求证：与互相平分． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．   （1）求证：； （2）试说明四边形为菱形． 知识点（四）利用旋转性质作图 旋转作图步骤：（1）明确旋转中心、方向和角度；（2）找图形关键点，连接关键点与旋转中心；（3）按方向和角度画出对应射线，截取等长线段得对应点；（4）连接所有对应点即得旋转后图形. 【题型6】利用旋转性质作图 【例题6】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为． （2）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 知识点（五）利用旋转性质与几何综合 1. 充分利用只要旋转就要产生等腰三角形；同时准确的找到与旋转角相关的角、线段； 2. 利用转化后图形的性质，建立已知量与待求量的关系，完成证明或计算。 【题型7】旋转与几何性质综合——线段问题 【例题7】（2023·北京朝阳·二模）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【变式1】（2023·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    【题型8】旋转与几何性质综合——角度问题 【例题8】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． （1）若，，求的度数． （2）连接，若，求线段的长． 【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【题型9】旋转与几何性质综合——面积问题 【例题9】（21-22九年级上·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为． （1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； （2）当旋转角为时，连接，求的值． （3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 【变式1】（2023·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【题型10】旋转与几何性质综合——规律问题 【例题10】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    【题型11】旋转与几何性质综合——坐标系中的旋转问题 【例题11】（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为． （1）将绕点D旋转得到，画出； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【变式2】（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 2．（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 5．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 8．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 9．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ． 10．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． （1）旋转中心是点 ，的长为 ； （2）求的度数． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． （1）写出相等的角：________，________________； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，将绕点A逆时针方向旋转得到，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·四川乐山·阶段练习）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 9．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到．点的对应点在边上（不与点、重合）．若，则的度数为 ． 10．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 12．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 13．（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 14．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 18．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 二、填空题 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 6．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 8．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 三、解答题 9．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 10．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 11．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 12．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． （1）如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； （2）如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 图形的旋转 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）旋转定义 1 【题型1】旋转图形的识别 2 知识点（二）旋转三要素 3 【题型2】旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 3 小结：找旋转中心和旋转角方法： 6 知识点（三）旋转的性质 6 【题型3】旋转性质辨析 6 【题型4】利用旋转性质求值 8 【题型5】利用旋转性质证明 11 知识点（四）利用旋转性质作图 14 【题型6】利用旋转性质作图 14 知识点（五）利用旋转性质与几何综合 17 【题型7】旋转与几何性质综合——线段问题 17 【题型8】旋转与几何性质综合——角度问题 21 【题型9】旋转与几何性质综合——面积问题 23 【题型10】旋转与几何性质综合——规律问题 28 【题型11】旋转与几何性质综合——坐标系中的旋转问题 31 二. 同步练习 35 【基础巩固（16题）】 35 【能力提升（18题）】 48 【中考真题12题】 70 一．知识梳理与题型分类精析 观察上面两幅“风车”图形，进行旋转时图形上各部分有什么特点？ 知识点（一）旋转定义 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运算叫做图形的旋转.这个固定的点叫做旋转中心. 【题型1】旋转图形的识别 【例题1】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合,以及旋转对称图形的旋转特点进行判断．本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 解：A、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； B、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； C、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． D、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·全国·假期作业）下列运动属于旋转的是（   ） A．踢毽子 B．钟摆的摆动 C．气球升空的运动 D．传送带上物体的运动 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定． 根据旋转的定义，判断各选项的运动类型． 解：A． 踢毽子：毽子运动轨迹为抛物线，整体以平移为主，虽有翻转但非绕固定点旋转，不符合题意． B． 钟摆的摆动：钟摆绕悬挂点做圆弧运动，符合绕固定点的旋转定义，符合题意． C． 气球升空：气球垂直上升，属于平移运动，无旋转，不符合题意． D． 传送带上的物体：物体随传送带水平移动，各点运动方向、距离相同，属于平移，不符合题意． 综上，只有选项B是旋转． 故选：B． 知识点（二）旋转三要素 旋转三要素：旋转中心，旋转的方向（顺时针或逆时针）和旋转的角度. 如图1：绕点逆时针方向旋转，得到，这样我们就得到了其旋转中心为点，旋转方向为逆时针方向，旋转角为. 【题型2】旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 【例题2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，在三角形中，，D是边上的一点，三角形经过旋转后到达三角形的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）如果M是的中点，那么经过上述的旋转后，点M到了什么位置？ 【答案】（1）旋转中心是点A；（2）逆时针旋转了；（3）点M到了的中点处． 【分析】本题主要考查的是旋转变换后图形所具有的性质，等边三角形的性质和判定，关键在于明确旋转中心，旋转角度和旋转位置． （1）观察图形，经旋转后到达的位置，可得出旋转中心； （2）观察图形，线段旋转后，对应边是就是旋转角，可得出旋转角； （3）因为旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点． 解：（1）解：∵经旋转后到达，它们的公共顶点为， ∴旋转中心是点； （2）解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 线段旋转后，对应边是就是旋转角，也是等边三角形的内角，是， ∴逆时针旋转了； （3）解：旋转前后是对应边，故的中点，旋转后就是的中点， ∴点转到了的中点． 【变式1】（23-24九年级上·河南·期末）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求． 解：如图， 由图可知，点； 故选：B． 【变式2】（2025·辽宁沈阳·三模）在如图所示的方格纸（格长为个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕某点按顺时针方向旋转得到，点、、的对应点分别是点、、，使各顶点仍在格点上，则其旋转中心是 ，旋转角是 ． 【答案】 点 【分析】连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点，可知绕点顺时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 解：连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点， 则绕点顺时针旋转得到， 旋转中心是点，旋转角是． 故答案为：点；． 小结：找旋转中心和旋转角方法： （1）找旋转中心方法：对应点连线垂直平分线交点就是旋转中心；（2）找旋转角方法：对应点和旋转中心连线的夹角就是旋转角. 知识点（三）旋转的性质 旋转性质：（1）图形旋转所得的图形和原图形全等.（2）对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 如图2：绕点逆时针方向旋转一定角度后我们可以得到： （1） ； （2） （3） 【题型3】旋转性质辨析 【例题3】（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，将四边形绕点按顺时针方向旋转得到四边形，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，依次分析可得答案． 解：由旋转知：，， 故选项A错误； 由旋转知， ∴是等腰直角三角形，， 故选项B正确； 由旋转知， ∴， 即， 故选项C错误； 由旋转的性质可得四边形四边形， ∴，无法得出， 故选项D错误； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·阶段练习）下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质即可解答． 解：∵绕点D顺时针旋转，旋转角为，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴和不平行． 故A不正确，符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 【题型4】利用旋转性质求值 【例题4】（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转度后，得到，点D刚好落在边上． （1）求n的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转的性质，证明是等边三角形，即可求得旋转角n的度数； （2）易得是含角的直角三角形，则可求得． 解：（1）解：∵将绕点C按逆时针方向旋转n度后得到， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点拨】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则 ． 【答案】/度 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【题型5】利用旋转性质证明 【例题5】（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，使得点落在边上，的延长线交于，连接，． （1）求证：平分； （2）求证：与互相平分． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）首先利用矩形的性质可以得到，然后利用旋转的性质和等腰三角形的性质可以证明结论． （2）连接，利用矩形的性质与旋转的性质证明，然后利用全等三角形的性质证明四边形为平行四边形即可求解． 解：（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， 平分． （2）证明：连接， 四边形为矩形， ， ． ，， ， ． ， ． ． 四边形为平行四边形， 与互相平分． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点D为等边边中点，点P为上一动点，连接，将绕点C逆时针旋转得，连接，求证：为定角． 【答案】见分析 【分析】本题考查的等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转，三线合一，掌握知识点是解题的关键． 首先确定，，由将绕点C逆时针旋转得，可推导出，继而证明，则，即可解答． 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为定角． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．   （1）求证：； （2）试说明四边形为菱形． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，菱形的判定，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形的判定，涉及知识点较多． （1）根据旋转的性质可得，，，然后根据垂直可得出，继而可根据证明； （2）根据（1）以及旋转的性质可得，，继而得出四条棱相等，证得四边形为菱形． 解：（1）证明：是由在平面内绕点旋转而得， ，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， 是由旋转而得， ， ，， 又， ， 四边形为菱形． 知识点（四）利用旋转性质作图 旋转作图步骤：（1）明确旋转中心、方向和角度；（2）找图形关键点，连接关键点与旋转中心；（3）按方向和角度画出对应射线，截取等长线段得对应点；（4）连接所有对应点即得旋转后图形. 【题型6】利用旋转性质作图 【例题6】（24-25八年级下·内蒙古包头·阶段练习）（1）画出平移后的图形，使点的对应点坐标为． （2）画出以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转后的． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了旋转变换以及平移变换，解题的关键是正确得出对应点位置． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 解：（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求． 【变式1】（2025·山东青岛·一模）如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移和旋转．根据平移和旋转的性质作图后即可得到答案． 解：如图，即为所求， 将先向左平移4个单位后坐标为，再绕原点O顺时针旋转得到点的坐标是 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 知识点（五）利用旋转性质与几何综合 1. 充分利用只要旋转就要产生等腰三角形；同时准确的找到与旋转角相关的角、线段； 2. 利用转化后图形的性质，建立已知量与待求量的关系，完成证明或计算。 【题型7】旋转与几何性质综合——线段问题 【例题7】（2023·北京朝阳·二模）在中，，，点D在边上（不与点B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）过点C作的平行线，交于点F，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）补全图形见分析，证明见分析；（2），证明见分析． 【分析】（1）根据旋转的方向和角度补全图形，再根据已知和旋转的性质求出，，进而可得结论； （2）作于点M，与直线交于点N，利用证明，可得，，然后求出，可得，再利用证明即可． 解：（1）补全的图形如图所示：    证明：∵， ∴， 由旋转的性质可知，即， ∴； （2）； 证明：如图，作于点M，与直线交于点N，    ∴， 由旋转的性质可知， 由（1）可知， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了画旋转图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，能够作出合适的辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2023·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 解：∵点C，和三点共线， ∴， ∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 故选：A．    【点拨】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解． 【变式2】（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    【答案】 相等且垂直 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出，求出，证出，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果． 解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴EF与DC的关系是相等且垂直， 故答案为：相等且垂直； （2）∴，， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 【题型8】旋转与几何性质综合——角度问题 【例题8】（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． （1）若，，求的度数． （2）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 解：（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【点拨】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 【变式1】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用旋转的性质和三角形内角和定理即可求解． 解：∵将绕点顺时针旋转得到，且点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点拨】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，比较简单． 【变式2】（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 【题型9】旋转与几何性质综合——面积问题 【例题9】（21-22九年级上·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为． （1）当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； （2）当旋转角为时，连接，求的值． （3）在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为6 【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论． （2）过点作于，由勾股定理可求出答案； （3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论． 解：（1）过点作于，    由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式1】（2023·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 【点拨】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的判定和性质等知识点，解答时需注意阴影部分面积的转换是解答该题的重要技巧，解题的关键是熟练运用这些知识点． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 解：如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 【点拨】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形，勾股定理，解题关键是利用分类讨论思想解答． 【题型10】旋转与几何性质综合——规律问题 【例题10】（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，得出规律是解此题的关键．首先确定点的坐标，得出每4次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 解：正六边形的边长为2，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， 点的坐标为， 第1次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第2次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第3次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， 每4次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，点的坐标为，第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；第二次：作点关于轴的对称点；第三次：将点绕点逆时针旋转得到；第四次：作点关于轴的对称点，然后按这四次规律重复，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转、点的坐标变化规律及关于轴、轴对称点的坐标，根据所给变换方式，依次求出点，…，的坐标，发现规律即可解决问题．能根据题意得出从点开始，所得点的坐标按循环是解题的关键． 解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，如图所示： ∵点的坐标为， ∴． 由旋转可知，． 又∵轴，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∵点和点关于轴对称， ∴点的坐标为． 依次类推： 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 则从点开始，所得点的坐标按循环， ， 点的坐标是． 故选：D． 【变式2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形．．直角边在x轴上，且．将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将，绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为    【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、 ∴点， 故答案为：． 【题型11】旋转与几何性质综合——坐标系中的旋转问题 【例题11】（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为． （1）将绕点D旋转得到，画出； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）10 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 解：（1）解：如图，即为所求．    （2）由图可得， （3）的面积为． 【变式1】（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，的斜边在轴上，，，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，根据旋转求得角和线段相等是解题的关键． 根据题意，先利用含30度角的直角三角形的性质求得，再根据已知条件及勾股定理求得的长，根据已知，以及旋转的性质可知，，进而可知的坐标． 解：如图， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 由旋转可知，， ， ， 在轴上， 轴， ． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移m个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，我们把这样的图形运动叫做图形的变换．如图，等边三角形的顶点A在第一象限，顶点B与原点O重合，顶点C在x轴的正半轴上，是经过变换所得的图形，其中点的坐标为，则n的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题是材料阅读理解题，关键是能正确理解图形的变换的定义后运用，关键是能发现连续变换后出现的规律，过点作轴于点，先求得点的坐标为，再求出，据此求解即可． 解：如图，过点作轴于点． ∵是经过变换所得的图形，其中点的坐标为， ∴将向右平移个单位长度后，点的对应点的坐标为，， ∵是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ∴． 故选：C． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）下列选项中的运动，属于旋转变换的是（） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【分析】本题考查了旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质，不改变图形的形状与大小．根据旋转变换的定义即可作出判断． 解：A．钟表上的时针运动，属于旋转变换； B．升国旗的上升过程，不属于旋转变换； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转变换； D．电梯的升降，不属于旋转变换， 故选：A． 2．（2025·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点绕点原点旋转得点，则此时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中中心对称点的坐标特征，根据题意，理解将点绕点原点旋转得点，就是说点与点关于原点对称，由关于原点对称的两个点的坐标特征求解即可得到答案．熟记关于原点对称的两个点的坐标特征是解决问题的关键． 解：将点绕点原点旋转得点， 点与点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 解：根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 5．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 8．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点 ，绕中心逆时针旋转了 ． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 9．（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，中，，将绕点O顺时针旋转得到，边与边交于点C（不在上），则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质．根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得，根据旋转角求出，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可得解． 解：绕点顺时针旋转得到，， ，， 在中，． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·宁夏中卫·期末）如图，在中,，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得，由，于是可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得，然后利用进行计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 【答案】 /90度 10 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案． 解：四边形是正方形， ， ∵绕点B顺时针旋转与重合， ∴，， ∴， ． 故答案为：，10． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】3 【分析】以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点Q在射线上运动，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∵， ∴， ∵垂线段最短， ∴点Q在点H处时，最小， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴最小值为3． 故答案为：3． 【点拨】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 三、解答题 13．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，将逆时针旋转一角度后与重合，且点D恰好是的中点． （1）旋转中心是点 ，的长为 ； （2）求的度数． 【答案】（1）A，；（2） 【分析】本题考查了旋转的相关知识点． （1）由“顺时针旋转一定角度后与重合”可得旋转中心点，根据旋转的性质得出，，据此可求得； （2）根据旋转的性质得出． 解：（1）解：在中，，， ∴， 即， ∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴，， ∵点D恰好成为的中点， ∴， ∴； 故答案为：A，； （2）解：∵顺时针旋转一定角度后与重合， ∴旋转中心为点A，旋转的度数为； ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． （1）写出相等的角：________，________________； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），，；（2），证明见分析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 解：（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】如图①，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到（点A的对应点为点C），延长交于点F． 【猜想证明】 （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）四边形是正方形，详见分析；（2），详见分析 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， （1）先证明四边形是矩形，即可证明结论； （2）过点D作于H，结合正方形性质证明，得出，根据即可证明结论． 解：（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，． 又∵， ∴四边形是矩形． 又∵， ∴四边形是正方形． （2）；理由如下： 如图，过点D作于H， ∵，， ∵，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴（）， ∴． ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·广东河源·期末）问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图（1），点D为等边的边上一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． 【猜想证明】 （1）试猜想与的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 （2）如图（2），点D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； 【拓展提升】 （3）如图（3），若是边长为2的等边三角形，点D是线段上的动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．当点D运动到什么位置时，的周长最小，并求最小值． 【答案】（1）与，见分析；（2）见分析；（3）当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，最小值为 【分析】对于（1），由旋转的性质，根据“边角边”证明，即可得出答案； 对于（2），先说明是等边三角形，进而得，再由（1）中，可得，接下来说明，则结论可得； 对于（3），当点D在运动到的中点位置时，的周长最小，由前两问可得，可知当最小时，的周长最小，此时， 再结合勾股定理求出，可得答案. 解：（1）解：. 理由是：由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ； （2）证明：平分 理由是：∵绕点A逆时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ． 由（1）的证明可得，， ， ， ， 即平分； （3）解：当点D在运动到的中点位置时，的周长最小 连接AE，由（1）的证明可得，， . 是等边三角形， ， ， ∴当最小时，的周长最小，此时， 是等边三角形，边长为2， ， 的周长最小值为． 即当点D在运动到BC的中点位置时，的周长最小，最小值为． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，确定最小值是解题的关键. 【能力提升（18题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，将绕点C顺时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和平行线的性质． 利用旋转的性质得出，再利用等腰三角形的性质得出，可得． 解：由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故选B． 3．（24-25八年级下·福建福州·期末）把边长为5的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、，由正方形的性质得，，则，，由旋转得，，，则点在上，所以，，则，可证明，则，所以，求得四边形的周长是，于是得到问题的答案． 解：连接、， 四边形是边长为5的正方形， ，， ， ， 把正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点E， ，，， ，点在上， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长是， 故选：D． 4．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，将绕点A逆时针方向旋转得到，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故选：A． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，将绕点A逆时针旋转得到．当点B，C，在同一直线上，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转变换的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握旋转变换的性质是解题的关键． 根据图象旋转的性质，得，，从而得，结合，，即可求解． 解：∵将绕点A逆时针旋转得到． ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选：B 6．（24-25九年级下·广东东莞·自主招生）如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，将绕点顺时针旋转到，连接，由旋转性质可知，，，，则有，都是等边三角形，所以，，从而可得，，故有，，，在一直线上，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 解：将绕点顺时针旋转到，连接， 由旋转性质可知，，，， ∴，都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，，，在一直线上， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 7．（24-25九年级下·四川乐山·阶段练习）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得，且轴，从而求得的纵坐标为，代入求得的解析式即可求得的坐标，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：∵的顶点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线为， ∵点， ∴点， ∴， ∵绕点顺时针旋转，得到， ∴点点在y轴上，且， ∴， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标为， 令，得， 解得：， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为：， 故选：． 二、填空题 8．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． （1）旋转中心是 ， （2）旋转角为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了旋转的性质；①当点的对应点为点时，②当点的对应点为点时，根据网格的特点得出旋转中心与旋转角，即可求解． 解：①当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为； 根据网格可得 ②当点的对应点为点时，连接、，分别作线段、的垂直平分线交于点，如图所示， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为． 根据网格可得 综上所述：这个旋转中心的坐标为或，旋转角为 故答案为或；． 9．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到．点的对应点在边上（不与点、重合）．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】根据旋转的性质，得，，，继而得到，结合，利用角的和差计算解答即可． 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角的和差计算，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据旋转的性质，得，，，故， 由， 故． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，，点D为的中点，点E在的延长线上，将绕点D顺时针旋转α度（）得到，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】10或 【分析】此题考查旋转的性质，勾股定理，根据勾股定理可求出，则，然后进行分类讨论：①当时，②当时，据此解答． 解：∵， ∴根据勾股定理可得： ∵， ∴， ∵将绕点D顺时针旋转α度（）得到， ∴， ∵点D为的中点， ∴ ， ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， 在中，， 在中，， 综上：的长为10或． 故答案为：10或． 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，点D为外一点，连接，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，含度角的直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得到，易证得是直角三角形，根据勾股定理求得，作于，得到解直角三角形即可求得． 解：将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 作于， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江西宜春·期中）如图，已知点，将线段绕点A逆时针旋转至，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点A的坐标即可解决问题． 解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13．（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 【答案】 / 【分析】（1）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解； （2）先确定点在过点且垂直的直线上运动，由矩形的性质可求解． 解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴，   ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值，   ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 14．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，为等腰直角三角形，，，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，当最小时，此时长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，解题的关键是通过构造全等三角形将的长度转化为与已知条件相关的线段． 通过构造辅助线，使用角角边的判定方法证明与全等，即可得，再使用勾股定理表示出与的关系，由完全平方公式求解最小值，即可求解的值，结合勾股定理即可求解． 解：过点M作交的延长线于点N，如图， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴≌， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理可得： ， 即当时，取得最小值，即取得最小值， ∴， ∵， 在中，， ∴当最小时，此时长为． 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），证明见分析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质，垂直定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可得，，则，则有，从而得证； （）由旋转性质可得，，，则，，然后通过角度和差即可求解． 解：（1）证明：∵是由旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：，理由： 由旋转的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级下·甘肃白银·期末）如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 解：（1）证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． （2）由得：， ，， ， ． 17．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）如图①，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结线段，，试判断的形状． （2）点是以为斜边的等腰直角三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，如图②，且，，． ①求的度数； ②求的面积． 【答案】（1）直角三角形；（2）①135度；② 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质． （1）利用旋转的性质得，，则为等边三角形，所以，由已知可得，，接着利用旋转的定义可把绕点逆时针旋转得到，于是得到，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，； （2）①将绕点顺时针旋转得到，如图②，根据旋转的性质得，，，，则可判断为等腰直角三角形，所以，，然后根据勾股定理的逆定理可判断为直角三角形，；则，所以； ②利用为等腰直角三角形得到，再判断点、、共线得到为直角三角形，然后利用的面积进行计算． 解：（1）线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； （2）①连接， ∵将绕点顺时针旋转得到，如图②， ，，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， 而， ， 为直角三角形，； ， ； ②为等腰直角三角形， ， 而； ， 点、、共线， 为直角三角形， 的面积 ． 18．（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见分析，；（2）；（3） 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点拨】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 3．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D．点E连接．点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（2024·四川广安·中考真题）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 6．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在和中，，，将绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的性质与角的和差运算可得答案； 解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 8．（2024·江苏南京·中考真题）如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题 9．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点． （1）如图1，，点与点重合，求证：； （2）如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； （1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证； （2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证． 解：（1）证明：∵， ∴ ∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合 ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； （2）， 证明：如图，在上取一点，使得 ∵ ∴ ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 10．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为：；（2） 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 解：（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 11．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 解：（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 12．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究． （1）如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）； （2）如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识； （1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果； （2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形． 解：（1）解：如图，过点D作于H， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 由旋转知， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$