精品解析：湖北省十堰市第二中学2024-2025学年九年级6月份中考适应性考试数学试卷

十堰市二中2025年九年级第二学期6月诊断性检测数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（ ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A. 水银 B. 酒精 C. 水 D. 乙醚 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为，则（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 在湖北“三九四九冰上走”是必然事件 B. 对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D. 在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 6. 我国的长征二号运载火箭将神舟十三号载人飞船送入太空，在此次发射任务中，若火箭静止时对发射台的压力，则此时压力F用科学记数法表示为（ ）N． A. B. C. D. 7. 汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 9. 为迎接学校运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们跑动的路程（单位：m）与时间（单位：）之间的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲在乙之前到达终点 C. 前，甲比乙每分钟快 D. 后，乙跑在甲的前面 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则______度． 13. 如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为_____cm． 14. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______． 15. 如图，在中，，以点为旋转中心将顺时针旋转，点的对应点为，点的对应点为点，连接． （1）当三点在同一直线上时，的长为______． （2）当点在的中线所在直线上时，的长为______． 三、解答题（75分） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，分别与相交于点．连接． （1）根据作图过程，判断与的位置关系是_______； （2）求证：四边形是菱形． 18. 我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：） 19. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围： （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 21. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线． （1）求证：是圆的切线； （2）若，，求优弧的长． 22. 郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． （1）若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． （2）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 23. 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接．已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 24. 抛物线与轴交于，与轴交于点，为抛物线上的动点．设点的横坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）如图，若为直线上方抛物线上的动点，连，，，求的值． （3）如图，若为轴上方抛物线上一动点，过点作轴交于点．设线段的长为． 求与的函数关系式； 记上问的函数图象为，若直线与图象有三个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰市二中2025年九年级第二学期6月诊断性检测数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 几种液体的凝固温度（标准大气压）如下表：其中凝固温度最低的是（ ） 液体 水银 酒精 水 乙醚 凝固温度（℃） 0 A. 水银 B. 酒精 C. 水 D. 乙醚 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，熟练掌握比较有理数大小原则“正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小”是解题的关键． 把四种液体的凝固温度进行比较，即可解答． 【详解】解：∵ ，，， 又∵ ∴， ∴凝固温度最低的是乙醚， 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，关键是掌握中心对称图形、轴对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 若分式的值为，则（ ） A. 或 B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件和分式有意义的条件，熟练掌握分子为零，且分母不为零是解题的关键． 根据分式的值为，则，然后求出的值即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴，解得：， 故选：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算法则，包括同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法以及幂的乘方，解题的关键是熟练掌握各项运算法则，准确计算并判断每个选项的正确性． 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加判断选项A；依据积的乘方，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘判断选项B；按照同底数幂相除，底数不变指数相减判断选项C；根据幂的乘方，底数不变指数相乘判断选项D． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D正确． 故选：D． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 在湖北“三九四九冰上走”是必然事件 B. 对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D. 在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类、调查方式、频率估计概率、平均数等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．在湖北“三九四九冰上走”是随机事件，故选项错误，符合题意； B．对“神舟十九号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项正确，不符合题意； C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，故选项正确，不符合题意； D．在“吾辈当自强，唯我少年郎”的演讲比赛计分中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，故选项正确，不符合题意． 故选A． 6. 我国的长征二号运载火箭将神舟十三号载人飞船送入太空，在此次发射任务中，若火箭静止时对发射台的压力，则此时压力F用科学记数法表示为（ ）N． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，据此解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 7. 汉十高铁全长约400千米，动车运行后的平均速度是原来火车的倍，这样由十堰到武汉的行驶时间缩短了3小时．设原来火车的平均速度为千米/时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据路程、速度和时间的关系，分别表示出两种交通工具的行驶时间，再依据时间差列出方程． 根据路程除以速度等于时间，分别求出原来火车行驶全程的时间和动车行驶全程的时间；由于动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，即原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，据此列出方程． 【详解】解：设原来火车的平均速度为x千米/时，则动车运行后的平均速度为2.5x千米/时．原来火车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 动车行驶汉十高铁全长400千米所需的时间为小时． 因为动车行驶时间比原来火车缩短了3小时，所以原来火车的行驶时间减去3小时等于动车的行驶时间，即． 故选：D． 8. 以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 9. 为迎接学校运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们跑动的路程（单位：m）与时间（单位：）之间的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲在乙之前到达终点 C. 前，甲比乙每分钟快 D. 后，乙跑在甲的前面 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，一次函数的应用，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息． 根据纵轴表示他们长跑的路程可得两人练习的长跑路程是，可判断A；根据交点坐标可知甲、乙两人同时达到终点，可判断B；根据图象分别求出两人的速度可判断C；根据图象可判断D． 【详解】解：由图象可知： 甲、乙两人练习的长跑路程是，故选项A说法错误，不符合题意； 甲、乙两人同时达到终点，故选项B说法错误，不符合题意； 前2.5分钟，甲的速度是（米/分）， 乙的速度是（米/分））， （米）， 前2.5分钟，甲比乙每分钟快，故选项C说法正确，符合题意； 2.5分钟至4分钟前，甲跑在乙的前面，故选项D说法错误，不符合题意． 故选：C． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象开口向下，对称轴为直线可得抛物线与轴另一交点坐标在，之间，从而判断①；由对称轴为直线可得与的关系，将代入函数解析式根据图象可判断②；由有两个相等实数根可得，从而判断③；由函数最大值为可判断④． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 图象与轴的一个交点在，之间， 图象与轴另一交点在，之间， 时，， 即， 故①错误，不符合题意． 抛物线对称轴为直线， ， ， 时，， 故②正确，符合题意． 抛物线顶点坐标为， 有两个相等实数根， ， ， 故③正确，符合题意． 的图象的开口向下，最大函数值为， 又 ∴抛物线与直线有两个交点， 有两个不等实数根， 故④错误，不符合题意． 综上，②③正确，共有2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键； 根据同分母分式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质．由平行线的性质推出，，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 13. 如图，工人师傅准备从一块斜边AB长为40cm的等腰直角△AOB材料上裁出一块以直角顶点O为圆心的面积最大的扇形，然后用这块扇形材料做成无底的圆锥（接缝处忽略），则圆锥的底面半径为_____cm． 【答案】5 【解析】 【分析】首先求得扇形的半径，然后利用弧长公式求得弧长，然后利用圆周长公式求得底面半径即可． 【详解】 解：作OC⊥AB于点C， ∵△OAB是斜边长为40cm的等腰直角三角形， ∴OA＝OB＝20cm， ∴OC＝＝20cm， ∴扇形的弧长为＝10π， 设底面半径为r，则2πr＝10π， 解得：r＝5， 故答案为5． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是能够求得扇形的弧长，难度不大． 14. 人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，属于概率基础知识，比较简单． 利用概率公式求解即可． 【详解】解：一对夫妇的第一个孩子有女孩和男孩两种情况， 所以一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点为旋转中心将顺时针旋转，点的对应点为，点的对应点为点，连接． （1）当三点在同一直线上时，的长为______． （2）当点在的中线所在直线上时，的长为______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】（1）当三点在同一条直线上时，画出图形，根据等腰三角形性质求出结果即可； （2）根据直角三角形性质得出，证明，得出，求出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，当三点在同一条直线上时， ，， ， ． 故答案为：12； （2）如图2， ∵， ∴， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， 根据旋转可知：， ∴， 即， ∵， ∴， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 三、解答题（75分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和零指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ． 17. 如图，在平行四边形中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，分别与相交于点．连接． （1）根据作图过程，判断与的位置关系是_______； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）垂直平分 （2） 证明：由作图可知：直线是线段的垂直平分线， ，，，， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． （1）由作图可得垂直平分，即可得到结果； （2）根据垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：由作图可得垂直平分， ∴与的位置关系是:垂直平分； 【小问2详解】 略 18. 我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达处时，地面处的雷达站测得距离是，仰角为．，火箭直线到达处，此时地面处雷达站测得处的仰角为．求火箭从到处的平均速度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】火箭从到处的平均速度为 【解析】 【分析】根据题意得出，，，，分别解，，求得，进而根据路程除以时间即可求解． 【详解】解：依题意，得，，，， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴火箭从到处的平均速度为， 答：火箭从到处的平均速度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 19. 联合国新闻部将中国传统节气“谷雨”这一天定为中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉造字的贡献．某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（用表示，百分制）分成四组：；；；，将所得数据进行收集、整理、描述和分析： 收集数据： 七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100 八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91 整理数据： 分析数据： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 　　　年级 统计量 七年级 八年级 平均数 91.5 92 中位数 91.5 众 数 99 100 应用数据： 根据以上信息，解答下列问题： （1）的值为 ，补全频数分布直方图； （2）若该中学七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动． ①估计参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为 分； ②估计参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多？并说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）94； 补全条形统计图如下： （2）①91.7；②580人 （3） 八年级学生对“中文的历史发展”知识了解的更多． 理由：八年级所抽学生的平均成绩大于七年级的平均成绩．（从中位数或者从众数的角度分析均可．） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，中位数的定义，加权平均数的定义，用样本估计总体即可．以及利用平均数作决策即可． （1）根据中位数的定义求解m．先算出七年级D组的人数，然后补全条形统计图即可． （2）①根据加权平均数的定义求解即可；②用样本估计总体即可． （3）利用平均数作决策即可． 【小问1详解】 解：人， 则八年级的中位数位于C组的第10位和11位的平均数： ∴， 七年级D组的人数为：(人)； 【小问2详解】 解：①（分） 则参加此次竞赛活动学生获得成绩的平均分为（分） ②（人） 则参加此次竞赛活动学生获得优秀(90分以上)成绩的总人数为580人． 【小问3详解】 略 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时x的取值范围： （3）过线段上的动点，作轴的垂线，垂足为点，其交函数的图象于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数的图象即可求解； （3）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ，解得：， ，解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得， 观察图象，得：时，的取值范围为或， 时，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：设， 轴， ，， ，解得：， ． 21. 如图，点是的内心，的延长线和的外接圆圆相交于点，过作直线． （1）求证：是圆的切线； （2）若，，求优弧的长． 【答案】（1）证明：连接交于，如图， ∵点是的内心， ∴平分， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是圆的切线； （2）优弧的长＝． 【解析】 【分析】（1）连接OD交BC于H，如图，利用三角形内心的性质得到∠BAD=∠CAD，则，利用垂径定理得到OD⊥BC，BH=CH，从而得到OD⊥DG，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）连接BD、OB，如图，先证明∠DEB=∠DBE得到DB=DE=6，再利用正弦定义求出∠BDH=60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以∠BOD=60°，OB=BD=6，则∠BOC=120°，然后根据弧长公式计算优弧的长． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，如图， ∵点是的内心， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， 在中，， ∴， 而， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴优弧的长＝ ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的判定和弧长公式． 22. 郑钦文是我国网球运动员．她在一次击球过程中，在点处发球，将网球从点正上方的点发出，球的运行轨迹是一条抛物线，网球运行的水平距离为时，网球达到最大高度，以点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，已知球网与原点的水平距离约为，球网高度为，球场的边界距原点的水平距离约为．设网球运行的高度与运行的水平距离． （1）若时； 求与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）． 判断球能否过网，若能过网，求它的落点离边界的距离；若不能过网，说明理由． （2）若球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），直接写出的取值范围． 【答案】（1）与的关系式为；球能过网，它的落点离边界的距离为米； （2）的取值范围为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元一次不等式，掌握待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数解决实际问题是解题关键． （）利用待定系数即可解答； 令二次函数解析式函数值，求出的值，即可得出结论； （）根据球一定能越过球网（不接触球网），又不出边界（可压边界），列出不等式组即可求出结论． 【小问1详解】 解：由题意得，当时，可得顶点坐标为， 设， ∵在抛物线上， ∴，解得：， ∴与的关系式为； 当时，， ∴球能过网； 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴它的落点离边界的距离为（米）； 【小问2详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 由于球能越过球网， ∴当时，， 则， 由于不出边界（可压边界）， ∴当时，， 则， ∴的取值范围为． 23. 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3）如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接．已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】 （1），，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）18 【解析】 【分析】（1）由，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据垂直的定义得到； （2）根据相似三角形的判定定理得到，求得，，得到，根据垂直的定义得到； （3）连接交于O，由（1）知，，，求得，得到，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，推出四边形是正方形，根据正方形的面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）连接交于O， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， ∵， ∴y的最小值为18． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质．正确地作出辅助线是解题的关键． 24. 抛物线与轴交于，与轴交于点，为抛物线上的动点．设点的横坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）如图，若为直线上方抛物线上的动点，连，，，求的值． （3）如图，若为轴上方抛物线上一动点，过点作轴交于点．设线段的长为． 求与的函数关系式； 记上问的函数图象为，若直线与图象有三个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线解析式为； （2）的值为或； （3）；的取值范围为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数面积问题，二次函数与一次函数交点问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则，然后得出直线解析式为，如图，过作轴于点，交于点，设，则，所以，则，然后解方程即可； （）由直线解析式为，抛物线解析式为，设，因为，所以纵坐标相同，故有，解得，从而有， 当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点，分别求出的值，从而可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵与轴交于，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得，抛物线解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， ∴的值为或； 【小问3详解】 解：由上得，直线解析式为，抛物线解析式为， 设， ∵， ∴纵坐标相同， ∴，解得， ∴， ∴， ∴当时，；当，； ∴； 如图，当直线与只有一个交点时，即直线与图象有两个交点， ∴，整理得， ∴，解得：， 如图，当直线经过点时，即直线与图象有两个交点， ∴， ∴直线与图象有三个交点，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $