精品解析：2025年辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学中考模拟预测数学试题

2024－2025学年度第二学期九年级第六次模拟 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A B. C. D. 2. 东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 3. 2025年春节后，的下载量迅速飙升，达到了6300万次，数63000000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为尺，绳子长为尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C D. 9. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长度是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 13. 如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则______． 14. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 17. 为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 18. 为增强同学们的环保意识，某校九年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知九年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ：，：，：，：，：，： 随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 乙 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，并补全图中的频数分布直方图； （2）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是__________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照图的权重计入总成绩，总成绩不低于分，并且成绩更高的同学获得“环保之星”称号．图为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 19. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 20. 图1是停车场入口处的升降杆，当汽车牌照框进入时，升降杆就会从水平位置升起，图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大是（结果精确到0.1，参考数据：）． （1）求故障时A点距离地面最高多少； （2）若一辆箱式小货车宽1.8，高2.4，请问这辆车能否升降杆故障时进入停车场？说明理由． 21. 如图，内接于，为的直径，弦平分，交于点E，以，为邻边作平行四边形，延长交延长线于点G． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 22. 综合与探究 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，．，的平分线与的延长线相交于点F，过点C作于点M． （1）【问题发现】 判断的形状，并说明理由； （2）【问题探究】 过点F作交的延长线于点G，根据题意在如图②中补全图形；探究线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 在（2）条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中的函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期九年级第六次模拟 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看到的图形即为俯视图进一步分析判断即可. 【详解】从上面看第一排是三个小正方形，第二排右边是一个小正方形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三视图的判断，熟练掌握相关方法是解题关键. 2. 东北四城市年月份平均气温如下表所示，其中气温最低的城市是（ ） 城市 沈阳 大连 哈尔滨 长春 月份平均气温 A. 沈阳 B. 大连 C. 哈尔滨 D. 长春 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴气温最低的城市是长春， 故选：． 3. 2025年春节后，的下载量迅速飙升，达到了6300万次，数63000000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 4. 如图，在矩形的边上方作等边三角形，连接，，若是以为底边的等腰三角形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质以及等边三角形的性质得，结合是以为底边的等腰三角形，得，运用三角形内角和性质得，即可作答． 【详解】解：∵在矩形的边上方作等边三角形， ∴，， 则， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， 则， ∴， 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 6. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮 小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 7. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产．下列图案中是既是中心对称又是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？设井深为尺，绳子长为尺，所列方程组正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了古代问题的列二元一次方程组，理解题意，找到等量关系是解题的关键；根据“将绳三折测之，绳多四尺”，即绳长的减去4尺等于井深，得方程；根据“将绳四折测之，绳多一尺”，即绳长的减去1尺等于井深，得方程；由此即得结果． 【详解】解：由题意得：； 故选：D 9. 如图，中，，，将绕点C逆时针旋转，得到，连结，则的长度是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定，准确把握旋转的性质是解题的关键． 如图，连接，由题意得：，，得到为等边三角形，根据，，得出垂直平分，于是求出，，最终得到答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，， ∴为等边三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为点E，点B在y轴正半轴上，点C的横坐标为10，，若反比例函数的图象同时经过C、D两点，则D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合．涉及菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 由菱形的性质结合题意可知，设，则．根据勾股定理可求出，从而可求出，即得出，再代入反比例函数解析式即可解出k的值，即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意可知，设． ∵菱形的边轴， ∴轴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的步骤：（1）去分母；（2）求出整式方程的解；（3）检验；（4）得出结论．按照解分式方程的步骤进行计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向上平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，，，利用比例的性质得到，证明得到，，进而推出，再利用图形面积之间的比例关系即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作轴，交该图像于点D．若、，则的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解． 【详解】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点， ∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称， ∵D（6，4）， ∴点C坐标为（0，4）， ∴抛物线对称轴为直线x=3， 由B（8，0）可得点A坐标为（-2，0）， ∴S△ABC=AB•OC=×10×4=20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质． 15. 如图，矩形的对角线交于点O，E是边上一点，连接．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，以点O为圆心，长为半径作弧，交于点Q，以点Q为圆心，长为半径作弧，在下方交前面的弧于点P，作射线交于点F．已知矩形的面积是60，E是边的三等分点，且，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据矩形及尺规作图得，进而得是的垂直平分线，则，由此得，证明是的中位线，得，再根据点E是边的三等分点，则分以下两种情况：时，时，利用勾股定理可进一步求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由尺规作图得：， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 是的中位线， ，． 当时，如图1． 是边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 当时，如图2． 是BC边的三等分点， ，． 矩形的面积是60， ， ， ， ． 综上所述，的值为或． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，三角形的中位线定理，勾股定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）本题是一个包含二次根式、零指数幂、负整数指数幂、绝对值以及特殊三角函数值的实数混合运算题．解题思路是分别根据相关运算法则计算各项，再按照实数运算顺序进行加减运算． （2）本题是一个分式的混合运算题．解题思路是先对括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分等运算得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，其中涉及二次根式、零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊三角函数值等知识点，熟练掌握这些知识点的运算法则以及运算顺序是解题的关键． 17. 为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）137个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意，得． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：根据题意得：（个） 答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个． 18. 为增强同学们的环保意识，某校九年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知九年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分分，实际得分用表示）： ：，：，：，：，：，： 随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 乙 已知笔试成绩中，组的数据如下：，，，，，，，，． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，并补全图中的频数分布直方图； （2）在笔试阶段中，名学生成绩的中位数是__________分； （3）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照图的权重计入总成绩，总成绩不低于分，并且成绩更高的同学获得“环保之星”称号．图为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【答案】（1），见解析； （2）； （3）乙同学，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数和加权平均数，解题的关键是准确找出相关数据，利用数形结合的思想解答． （）利用展演成绩中：的人数除以所占百分比求出，然后由求出展演成绩中：的人数，再补全频数分布直方图即可； （）根据中位数的定义即可求解； （）根据加权平均数的计算方法即可得出答案． 【小问1详解】 解：（人）， 展演成绩中：的人数为（人）， 补全图2中的频数分布直方图： 故答案为：； 【小问2详解】 解：将抽取的名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为（分）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下： 甲同学的总成绩为（分）， 乙同学的总成绩为（分）， ∵， ∴乙同学能获得“环保之星”称号． 19. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 20. 图1是停车场入口处的升降杆，当汽车牌照框进入时，升降杆就会从水平位置升起，图2是其示意图，其中四边形是矩形，，现由于故障，不能完全升起，最大是（结果精确到0.1，参考数据：）． （1）求故障时A点距离地面最高多少； （2）若一辆箱式小货车宽1.8，高2.4，请问这辆车能否在升降杆故障时进入停车场？说明理由． 【答案】（1）3.2米 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，当故障时点最高时，在利用锐角三角函数计算出，进而可得出此时点离地面的高度； （2）在上取点，使得，过点作，交于点，交于点，可得出、，在中利用锐角三角函数可计算出长，进而可得出，根据长度与2.4的大小关系即可进行判断． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， 当故障时点最高时，， 在中，，即， ， 此时点离地面长为； 【小问2详解】 解：上取点，使得，过点作，交于点，交于点，则由题意得：，， 在中，， 即， ， ， 一辆箱式小货车宽，高不能在升降杆故障时进入停车场． 21. 如图，内接于，为的直径，弦平分，交于点E，以，为邻边作平行四边形，延长交延长线于点G． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理及角平分线的定义，，再根据平行四边形的性质得到，继而得到，即可得证； （2）证明得到，在中，求得，由勾股定理可得，由得，，最后在中根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， 平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即， 为的半径． 与相切； 【小问2详解】 四边形是平行四边形，，， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点．掌握切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 22. 综合与探究 如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，．，的平分线与的延长线相交于点F，过点C作于点M． （1）【问题发现】 判断的形状，并说明理由； （2）【问题探究】 过点F作交的延长线于点G，根据题意在如图②中补全图形；探究线段与线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 在（2）的条件下，，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析 （2），见解析 （3）3或4 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由，，再根据平分得到，根据，，即可得出结论； （2）过点作交延长线于点，证明，即可得证； （3）当，过点作于点，连接，证明，进而证明，得出，即可求解；当时，设，，，则，进而解直角三角形得出，即，即可求解． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， 为等腰直角三角形． 【小问2详解】 补全图形如图： ，理由如下： 过点作交延长线于点， 由（1）知：中，得， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ①当，过点作于点， ； ②当时，则，如图， ； 或4． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点P坐标为，当时，点Q坐标为；当时，点Q坐标为，则称点Q为点P的a级变换点（a为常数）． 例如：点是点的0级变换点，点是点的1级变换点． （1）点的1级变换点在反比例函数的图像上，k值为__________； （2）点的1级变换点在直线上，求b值； （3）点M在函数的图像上，点N是点M的2级变换点． ①设点，求n与m的函数关系式； ②点，，线段AB与①中函数图像只有一个交点，请直接写出c的取值范围． 【答案】（1）2 （2）7 （3）①②或 【解析】 【分析】（1）根据定义可知点的1级变换点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当时，确定1级变化点，代入关系式求出答案；当时，求出1级变换点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当时，将点代入关系式即可；当时，将点代入关系式可得答案； ②先画出图象，观察图象可得取值范围． 【小问1详解】 解：点的1级变换点是， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得； 当时，即， 点的1级变换点是， ∵点在直线上， ∴， 解得，不符合题意舍去． 所以b的值是7； 【小问3详解】 ①当时，即， 则点在函数图象上， ∴， 即； 当时，即， 则点在函数的图象上， ∴， 即． ∴n与m的函数关系式为； ②如图所示，， 当时，； ， 当时，； 当时，线段与图象只有一个交点； ， 当时，； ， 当时，． 当时，线段与图象只有一个交点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数图象上的点，一次函数图象上的点，求二次函数关系式，二次函数的图象和性质，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $