精品解析：山东省济南泺口实验学校2024—2025学年下学期5月份月考七年级数学试题

2024 - 2025学年第二学期泺口实验学校七年级（下）6月期末前测数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. ； C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列不能成为直角三角形的三条边长的一组数是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，12，13 D. 6，8，10 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天会天晴”是随机事件 B. 射击运动员射击一次，命中八环是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 6. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，大于的长为半径画弧，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：______． 12. 客厅地面上铺了18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于_____． 13. 王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 14. 如果 ，那么______． 15. 如图，在中，平分若则____． 16. 如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为______． 三、解答题：（共 9 小题，86 分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，已知，，，求的大小． 请将下面的求解过程补充完整： 解：如图，过点作， ∴（ ）． ∵， ∴． ∵，， ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴ ． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 21. 一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． （2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 22. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送2m（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长 （2）直接写出将它往前推送1.5m（水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度___________m， 23. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 24. 数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； （2）林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 25. 阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，经过处理器得到． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，求． 【延伸】（2）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的一次多项式，且满足，求的值． 26. 兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长． 【问题拓展】 （3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024 - 2025学年第二学期泺口实验学校七年级（下）6月期末前测数学试卷 （满分150分 时间120分钟） 一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列数学符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查轴对称图形的判定，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义：轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，即可判定． 【详解】解：A选项，不符合轴对称图形的定义，故本选项不符合题意； B选项，不符合轴对称图形的定义，故本选项不符合题意； C选项，符合轴对称图形的定义，故本选项符合题意； D选项，不符合轴对称图形的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 月季是天津市的市花，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. ； C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、单项式除以单项式，合并同类项，同底数幂相乘，熟练掌握以上知识点是关键．据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、计算结果是，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、计算结果是，故该选项不符合题意； D、计算结果是，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 下列不能成为直角三角形的三条边长的一组数是（ ） A. 3，4，5 B. 5，6，7 C. 5，12，13 D. 6，8，10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理逆定理，熟记常见的勾股数，可以快速解题． 【详解】解：A、，能成为直角三角形的三条边长，不符合题意； B、，不能成为直角三角形的三条边长，符合题意； C、，能成为直角三角形的三条边长，不符合题意； D、，能成为直角三角形的三条边长，不符合题意； 故选B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “明天会天晴”是随机事件 B. 射击运动员射击一次，命中八环是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“明天会天晴”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“太阳从西方升起”是不可能事件，故选项错误，不符合要求； 故选：A． 6. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据三角形外角性质得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可知道内径的长度，此方案依据的数学定理或基本事实是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：A 8. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 9. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，大于的长为半径画弧，连接并延长交于点D，则下列说法：①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④．其中正确的个数是中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①根据作图的过程可以判定是的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数； ③利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由垂直平分线的判定定理可以证明点在的垂直平分线上； ④根据直角三角形的性质得出，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：①根据作图的过程可知，是的平分线．故①正确； ②如图，在中，，， ， 又是的平分线， ， ，即，故②正确； ③， ， 点在的垂直平分线上，故③正确； ， ， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握基本作图是解题的关键． 10. 如图1，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动．设点的运动时间为，的面积为，图2是点运动过程中与之间函数关系的图象，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．勾股定理的应用，根据函数图象，可知点表示时的面积为24，可以求出、的长，从而可以解答本题． 【详解】解：根据函数图象，可知点表示时的面积为24， ， ， ， 根据勾股定理． 故选：C． 二、填空题：（每小题 4 分，共 24 分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式乘多项式的法则计算即可． 本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 客厅地面上铺了18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的，小猫停留在任何一块地砖上的机会都相等，小猫停留在黑色地砖上的概率等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，先求出黑色地砖的块数，再求出黑色地砖与总地砖数的比值即可． 【详解】解：∵客厅地面上铺了大小形状完全相同的18块地砖，有12块是白色的，其余都是黑色的， ∴黑色地砖的块数（块）， ∴小猫停留在黑色地砖上的概率． 故答案为：． 13. 王师傅为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为，则A，B两地之间的路程是______． 【答案】350 【解析】 【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：350． 14. 如果 ，那么______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再比较等式两边即可求解． 【详解】解：， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，平分若则____． 【答案】1 【解析】 【分析】作于点F，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵平分，，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD中AC边上的高是解题的关键． 16. 如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】首先结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合“有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形”可得为等边三角形，进一步可知，可证明，即可判定结论②；证明，易得，结合三角形外角的定义性质可得，即可判定结论①；过作，垂足分别为，利用面积法证明，证明平分，即可判断结论③；在上取点，使得，证明为等边三角形，进一步证明，可知，进一步可得，即可判断结论④． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 如图，过作，垂足分别为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴平分，故结论③正确； 如图，在上取点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、角平分线的判定等知识，综合性较强，熟练运用相关知识是解题关键． 三、解答题：（共 9 小题，86 分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，负整数指数幂． （1）原式利用零指数幂、负整式指数幂法则，以及乘方运算法则计算即可求出值； （2）原式括号中利用单项式乘以多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式乘以多项式的计算法则去小括号，然后合并同类项后计算多项式除以单项式化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 如图，已知，，，求的大小． 请将下面的求解过程补充完整： 解：如图，过点作， ∴（ ）． ∵， ∴． ∵，， ∴（ ）． ∴（ ）． ∵， ∴． ∴ ． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；； 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得． 【详解】解：如图，过点作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴． ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；． 20. 如图，点，，，在一条直线上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】 ， ， 选择：， ， 在和中， ， ∴， ， ； 选择：无法求解； 选择： 在和中， ， ∴， ， ； 故答案为：或． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质求解即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】略 21. 一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． （1）在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． （2）在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】（1）4 （2）解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 22. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送2m（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直， （1）求绳索的长 （2）直接写出将它往前推送1.5m（水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度___________m， 【答案】（1）2.5m （2）1m 【解析】 【分析】（1）由题意得，，在Rt中根据勾股定理求解； （2）在Rt中,根据勾股定理求解得，进而求得，． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵ ∴ 设 则 ∵ ∴ 在Rt中根据勾股定理得 ∴ 解得 答：绳索的长是2.5米 【小问2详解】 在Rt中,根据勾股定理得 ∴，解得 ∴ ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形，理解直角三角形、扇形、矩形的组合图形中线段的数量关系解题的关键． 23. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点，，均在格点上． （1）在图中作出关于直线对称的（和对应，和对应，和对应）； （2）求的面积； （3）在直线上作点，使的值最小． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）3 （3） 则点即为所作． 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 24. 数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图1所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化，小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为0的全过程． （1）在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______； （2）林涵同学记录小球速度v与时间t的关系如下表，并根据表中数据，将速度v与时间t的关系用图象表示如图2． 时间 0 1 2 4 6 7 8 9 10 12 速度 0 2 4 8 12 11 10 9 8 0 ①小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______； ②点M表示的实际意义是______； （3）若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为0时，是否达到斜板顶端D．（在同一段路程中，路程，） 【答案】（1）小球滑行的时间；小球滑行的速度 （2）①4；②当小球的滑行时，小球的速度为 （3） 解：由图象知，当小球到达点C时速度为，速度为0时的，运动了， 故段的． 第一次在段运动时的路程． ， 达不到斜板顶端． 【解析】 【分析】本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际 意义，理解动点的完整运动过程． （1）熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量． （2）①由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为，即可求解；②由可知，，用时，所以点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为； （3）当小球上坡至速度为0时，求出平均速度，进而求出路程与20比较即可． 【小问1详解】 解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化． 故答案为：小球滑行的时间 ，小球滑行的速度． 【小问2详解】 解：①由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为， 小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为； ②， ，则用时， 点M表示的实际意义是当小球从C从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为； 【小问3详解】 略 25. 阅读理解 【方法】有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次项系数的和（和为非零数）作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项． 例如：，经过处理器得到． 【应用】若关于的二次多项式经过处理器得到，根据以上方法，解决下列问题： （1）若，求． 【延伸】（2）已知，是关于的二次多项式，若是经过处理器得到的一次多项式，且满足，求的值． 【答案】（1）；（2）15 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，代数式求值，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数． （1）根据题目所给的转化方法即可解答； （2）先根据二次多项式的定义，得出，再根据题目所给转化方法，得出m的值以及k的表达式，最后将m的值代入进行计算即可． 【详解】解：（1）因为， 所以； （2）因为，是关于的二次多项式， 所以，， 所以，； 因为是经过处理器得到的一次多项式，且， 所以， 所以． 26. 兴趣小组在活动时，王老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长到点，使，连接．根据_____可以判定，得出．就能把线段集中在中．利用三角形三边关系，可得出中线的取值范围是_____． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑把中线延长一倍，构造全等三角形，将分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，称为“中线加倍”法． 【问题解决】 （2）如图2在中，，，是的中线，，，且．求的长． 【问题拓展】 （3）如图3在中，，是边的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1）；； （2）8； （3）证明：如图，延长至点G，使，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵是边的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，连接，利用证明，可得，在中，利用三角形三边关系解答即可； （2）证明，即可解答； （3）延长至点G，使，连接，由（1）得：，可得，，再由垂直平分，可得，然后根据勾股定理证明即可． 【详解】解：（1）延长到点，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $