精品解析：湖北省黄石市阳新县实验中学2024-2025学年九年级下学期6月月考数学试题

2024-2025学年九年级下学期6月模拟检测 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，1，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．解答此题的关键是要明确：正实数0负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：， ∴在，0，1，这四个数中，最小的数是． 故选A． 2. 下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是熟知俯视图是从上边看得到的图形．根据俯视图的定义解答即可． 【详解】解：俯视图为： 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则、积的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故原运算错误，不符合题意； B．，故原运算错误，不符合题意； C．，原计算正确，符合题意； D．，故原运算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线a上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度计算，对顶角性质，平行线性质，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据三角板中角度计算，对顶角性质，推出，再结合平行线性质得到，最后利用三角形外角性质求解，即可解题． 【详解】解：如图： 三角板的直角顶点C放在直线a上，， ， ， ， ； 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是不可能事件 B. “掷一枚质地均匀的硬币正面向上”是随机事件 C. 检测一批汽车的抗撞能力用全面调查 D. 检测运载火箭零部件情况用抽样调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件，全面调查与抽样调查，根据随机事件、必然事件、不可能事件、全面调查与抽样调查的概念判断． 【详解】解：A、“守株待兔”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； B、“掷一枚质地均匀的硬币正面向上”是随机事件，说法正确，符合题意； C、检测一批汽车的抗撞能力用抽样调查，故本选项说法错误，不符合题意； D、检测运载火箭零部件情况用全面调查，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为， 故选C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7. 《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意合理列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设原表高x尺，影长y尺， 根据题意得：， 故选：A 8. 给出下列函数：①；②；③；④．符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数增减性，解题的关键在于熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的性质． 根据一次函数、反比例函数、二次函数的解析式，以及其函数性质逐个分析，即可解题． 【详解】解：①， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而增大； ②， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而减小； ③， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而减小； ④，对称轴为轴， 在函数中，当时，函数值y随自变量值x的增大而增大． 综上所述，符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是①④． 故选：C． 9. “打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的计算，勾股定理等知识，根据勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆的面积公式，扇形面积公式，矩形面积公式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得： 圆锥的母线长为：， ∴陀螺的表面积为：， 故选：D． 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程得，，再计算自变量为0对应的函数值得到，接着证明为等腰直角三角形，所以，即，然后把等式两边平方可得． 【详解】解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交， ∴，， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即， 整理，得 , ∵ ∴． 故选：A． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 2025年“五一”假期，湖北省实现旅游总收入243.6亿元，将数据243.6亿用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：243.6亿． 故答案为：． 12. 化简的结果是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算规则．熟练掌握同分母分式的减法运算规则是解题的关键． 因为这两个分式的分母相同，根据同分母分式的减法法则，分母不变，分子相减，得到，观察分子可以提取公因式2，即，最后化简得． 详解】解： ， 故答案为：2． 13. 中国古代四大名著《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》是四部古典章回体小说，是中国古代汉语文学的瑰宝，小华要从这四部著作中随机抽取两本借给朋友，则抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求等可能事件的概率，掌握相应方法是解题的关键．用画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好是《三国演义》和《水浒传》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》分别为、、、，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的结果有种， 抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是． 故答案为：． 14. 如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，点的坐标，代数式求值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作轴，过点作轴，过点作轴，先证，得出再根据点、、的坐标即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，过点作轴， ， 根据入射角等于反射角得， ， ，， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ， 故答案为：2． 15. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，且，连接并延长交于点G，过点A作于点H，交BC于点F．以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】连接，作交于点，由正方形性质得，则，由，证明垂直平分，所以，推导出，所以，则，所以，可判断①正确，再证明△△，，推导出，进而证明△△，可判断②正确；再证明△△，得，推导出，则，可判断③正确；再证明△△，得，所以，推导出，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交于点， 四边形是正方形，点为对角线上一点， ，，， ， ， ， 于点，交于点， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 在△和△中，， △△， ， ， ， 在△和△中，， △△，故②正确； ， △△， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ，， ， ， ， ， △△， ， ， ， ， ，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰三角形的“三线合一”、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、绝对值、负整数指数幂以及算术平方根的概念．熟练掌握零指数幂、绝对值、负整数指数幂以及算术平方根的概念是解题的关键． 根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂以及算术平方根的概念计算各项后再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，分别以B、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线分别交于点O，交、于点E、F．求证：． 【答案】 证明：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴， ， ． 【解析】 【分析】根据作图可知：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，最后根据线段的和差即可得证． 【详解】略 18. 某数学兴趣小组在操场上开展利用无人机测量教学楼高度的数学活动．如图，此时无人机在离地面28米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为，又经过人工测量得操控者A和教学楼的距离为53米．求教学楼的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 【答案】教学楼的高度约为15米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质； 过点D作于点E，过点C作于点F，在中，解直角三角形求出，可得，证明四边形是矩形，再在中，根据等腰直角三角形的性质可得，然后根据进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点C作于点F， 由题意得，． 在中，，， ， ， ∵， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， ， 答：教学楼的高度约为15米． 19. 在某校的“校园科技文化节”活动中，学校组织评委对七、八年级的所有参与科技小制作活动的作品进行了评分．现从七、八年级的参赛作品得分中分别随机抽取了20个得分（百分制且得分用x表示），然后对抽取的数据进行整理和分析，共分为四组： ，下面给出了部分信息． 抽取的七年级科技小制作的所有评分数据： 65，72，73，76，78，79，84，85，85，85，86，88，89，89，94，96，98，99，99，100． 抽取的八年级科技小制作的评分数据中C组包含的所有数据： 86，87，87，87，88，88，89，89． 抽取的七、八年级科技小制作的评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 86 85.5 b 94.5 八 86 a 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _________， _________， _________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的科技小制作的水平更高一些？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次七年级参与科技小制作并进行评分的同学有700名，八年级参与科技小制作并进行了评分的同学有800名，估计两个年级评分为优秀（）的学生总人数． 【答案】（1）87，85，20 （2）八年级的科技小制作的水平更高一些，见解析 （3）两个年级评分为优秀的学生总人数约为名 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，扇形统计图，用样本估计总体； （1）根据中位数和众数的定义求出a，b，计算出八年级中C组所占百分比，然后可得； （2）可以从中位数或方差进行判断； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵八年级中A，B组共有人， ∴第11，12名的成绩分别为87，87， ∴， ∵七年级中得85分的人数最多， ∴， ∵八年级中C组所占百分比， ∴， ∴， 故答案为：87，85，20； 【小问2详解】 八年级的科技小制作的水平更高一些； 理由：从中位数看，八年级的中位数比七年级高；从方差来看，八年级的成绩更稳定． 【小问3详解】 七年级评分为优秀的人大约为：（名）； 八年级评分为优秀的人大约为：（名）； 所以两个年级评分为优秀的学生总人数约为（名）． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求m、k的值； （2）把直线向上平移与反比例函数的图象交于点B，与y轴交于点D，连接、，当时，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，相似三角形的判定和性质； （1）把代入求出m可得，再把代入可求得k； （2）过点B作轴于点C，过点A作轴于点E，连接，证明，求出，可得，然后根据列式计算即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入得， ； 【小问2详解】 过点B作轴于点C，过点A作轴于点E，连接． ， ， ， ， ， ， ， 把代入得， ， ∴， ． 21. 如图，在中，，以为直径交于点D，于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长 交于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形． （1）连接，，根据圆周角定理得到，即，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到是的切线； （2）连接，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到． 【小问1详解】 证明：连接，， 为的直径， 即， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ （3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）； （2）A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用； （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）求出销售利润最大时两种礼盒的销量，再根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：； ； 【小问2详解】 设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元， 由题意得： ∴当时，元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，A种礼盒每天售出盒，B种礼盒每天售出盒， 则， ， ， ． 23. 小明复习了四边形后，对四边形的翻折进行了探究： 已知，点E为四边形边上一点，将沿折叠，点D的对应点为F，射线交四边形的边于一点P． （1）若点E是边的中点． ①如图1，若四边形为正方形，求证：； ②如图2，若四边形为菱形，，求的长； （2）若四边形为矩形时，，点E为的三等分点，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2）或1 【解析】 【分析】（1）①如图，连接根据菱形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到， ②如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质得到，求得，由翻折可知，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，设，则，，在△中，，根据勾股定理得到； （2）当时，如图，可知，，根据相似三角形的性质得到，即，根据勾股定理得到； 当时，如图．过点作，与，的延长线交于点，，设，求得，根据相似三角形的性质得到结论． 【小问1详解】 （1）①证明：如图，连接 四边形为正方形 ， 点为的中点， ， 将△沿折叠，点的对应点为， ，， ，， △△， ， ②解：如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点， 四边形为菱形， ， ， 由翻折可知， ， ， ，， ，， △△， ， ， 即， 设，则，， 在△中，， ， 在△中，由勾股定理可得， 即， 解得， ； 【小问2详解】 解：当时，如图，可知，， △△， ， 即， 在△中，， 即， 解得：； 当时，如图． 过点作，与，的延长线交于点，，设， ， 由“”字型相似可得△△， ， 即， 解得， 在△中，由勾股定理得， 解得（舍去）， ， ， 即， 解得， 综上所述，或1． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 24. 如图，抛物线经过两点，点在y轴上，P是抛物线上位于直线上方的一个动点． （1）求直线的解析式和抛物线的解析式； （2）如图1，过点P作直线于点C，交x轴于点D，过点P作直线轴于点E，交于点F，若，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，动点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，同时动点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段绕点N逆时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t秒，直接写出当一边与平行时t的值． 【答案】（1）直线AB的解析式，抛物线的解析式： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）证明△△，则，设点,，求出，，再由，解得，则； （3）分别求出，,，当时，，求得；当时，轴，求得；当时，过点N作轴于Q，则是等腰直角三角形，根据列式可求得． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， ； 设直线的解析式为， ∵直线过点， ， 解得， 直线的解析式：； 【小问2详解】 ，轴， ， ， ，即， ， △△， ， 设点， ，， ， 解得，， 不满足，舍去， ， ； 小问3详解】 点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动， ， 点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动， ， ,， ， 直线的解析式为， 当时，， ，解得； 当时，， ， 轴， ，解得； 当时， ， ， ∵， ∴， 如图，过点N作轴于Q，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得； 综上所述：的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级下学期6月模拟检测 数学试卷 （本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在，0，1，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线a上，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. “守株待兔”是不可能事件 B. “掷一枚质地均匀的硬币正面向上”是随机事件 C. 检测一批汽车的抗撞能力用全面调查 D. 检测运载火箭零部件情况用抽样调查 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》记载用“表”（标杆）测日影．若表高增加3尺，影长减少2尺，则表高与影长之和为18尺；若表高减少2尺，影长增加1尺，则表高与影长之差为4尺．求原表高和影长各多少尺？设原表高x尺，影长y尺，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 给出下列函数：①；②；③；④．符合条件“当时，函数值y随自变量值x的增大而增大”的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 9. “打陀螺”是人们喜爱的一项运动，如图所示是一个陀螺的结构图．已知底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，那么这个陀螺的表面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 2025年“五一”假期，湖北省实现旅游总收入243.6亿元，将数据243.6亿用科学记数法表示为_________． 12. 化简的结果是_________． 13. 中国古代四大名著《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》是四部古典章回体小说，是中国古代汉语文学的瑰宝，小华要从这四部著作中随机抽取两本借给朋友，则抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是_________． 14. 如图，一束光线从点出发，经过x轴上的点反射后经过点，则的值是_________． 15. 如图，正方形中，点E为对角线上一点，且，连接并延长交于点G，过点A作于点H，交BC于点F．以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，分别以B、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线分别交于点O，交、于点E、F．求证：． 18. 某数学兴趣小组在操场上开展利用无人机测量教学楼高度的数学活动．如图，此时无人机在离地面28米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为，又经过人工测量得操控者A和教学楼的距离为53米．求教学楼的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：） 19. 在某校的“校园科技文化节”活动中，学校组织评委对七、八年级的所有参与科技小制作活动的作品进行了评分．现从七、八年级的参赛作品得分中分别随机抽取了20个得分（百分制且得分用x表示），然后对抽取的数据进行整理和分析，共分为四组： ，下面给出了部分信息． 抽取的七年级科技小制作的所有评分数据： 65，72，73，76，78，79，84，85，85，85，86，88，89，89，94，96，98，99，99，100． 抽取的八年级科技小制作的评分数据中C组包含的所有数据： 86，87，87，87，88，88，89，89． 抽取的七、八年级科技小制作的评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 86 85.5 b 94.5 八 86 a 87 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： _________， _________， _________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的科技小制作的水平更高一些？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若此次七年级参与科技小制作并进行评分的同学有700名，八年级参与科技小制作并进行了评分的同学有800名，估计两个年级评分为优秀（）的学生总人数． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求m、k的值； （2）把直线向上平移与反比例函数的图象交于点B，与y轴交于点D，连接、，当时，求的面积． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长 交于点F，若，求的长． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每份礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ （3）在（2）的条件下，当每天的销售利润最大时，每售出一盒礼盒均捐赠a元（）给福利院，该商店每天的利润要想不少于6000元时，请直接写出a的取值范围． 23. 小明复习了四边形后，对四边形的翻折进行了探究： 已知，点E为四边形边上一点，将沿折叠，点D的对应点为F，射线交四边形的边于一点P． （1）若点E是边的中点． ①如图1，若四边形为正方形，求证：； ②如图2，若四边形为菱形，，求的长； （2）若四边形为矩形时，，点E为的三等分点，求的长． 24. 如图，抛物线经过两点，点在y轴上，P是抛物线上位于直线上方的一个动点． （1）求直线的解析式和抛物线的解析式； （2）如图1，过点P作直线于点C，交x轴于点D，过点P作直线轴于点E，交于点F，若，求点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，动点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，同时动点N从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，其中一个点到达终点时另一个点随之停止，将线段绕点N逆时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t秒，直接写出当一边与平行时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $