2024年下半年广西普通高中学业水平合格性考试-【学考一本通】2026年广西高中数学学业水平合格性考试

2024年下半年广西普通高中学业水平合格性考试 数学 (本卷满分100分,考试时间90分钟) 一、单项选择题(本大题共26小题,每小题2分,共52分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,错选、多选或未选均不得分.) 1.集合A={-2,2},B={a,-2},若A=B,则a= ( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 2.已知i是虚数单位,那么2(1+i)等于 ( ) A.2-i B.2+2i C.-1+i D.3i 3.函数y= 1x-5 的定义域为 ( ) A.{x|x≠0} B.{x|x≠1} C.{x|x≠5} D.R 4.某市为了解全市居民用户的月用水量,通过简单随机抽样的方法,抽取200户进行调查,得到 这200户月用水量的平均数为10吨,由此可以估计全市居民用户月用水量的平均数 ( ) A.一定为10吨 B.高于10吨 C.低于10吨 D.约为10吨 5. 4(3-π)4= ( ) A.0 B.π-3 C.3 D.π 6.下列几何体表示棱柱的是 ( ) A B C D 7.下列函数中,周期为2π的是 ( ) A.f(x)=x B.f(x)=x2 C.f(x)= x D.f(x)=cosx 8.若实数a,b,c满足a<b,c>0,则 ( ) A.ac>bc B.ac<bc C.a+c>b+c D.a-c>b-c 9.30°等于 ( ) A.π6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 10.已知那么cosα=13 ,那么cos(π+α)= ( ) A.-12 B.- 1 3 C.- 1 4 D.- 1 5 11.若函数y=f(x)为奇函数,且f(2)=2,则f(-2)= ( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 12.log3 -2= ( ) A.-2 B.0 C.1 D.4 —75— 13.函数y=1-sinx的最小值为 ( ) A.0 B.1 C.3 D.4 14.已知四棱柱的底面面积为1,高为3,则此四棱柱的体积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.角π3 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 16.已知向量a是单位向量,则向量2a的长度为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 17.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则它的解析式可能是 ( ) A.y=2x B.y=2x C.y=x+2 D.y=x2 18.将函数y=cosx的图像向左平移π6 个单位长度,得到函数y=f(x)的图像.则 函数f(x)的解析式为 ( ) A.f(x)=cosx-π4 B.f(x)=cosx+π5 C.f(x)=cosx+π6 D.f(x)=cosx-π7 19.不等式x2-4<0的解集是 ( ) A.{x|x<0} B.{x|x>5} C.{x|x<1} D.{x|-2<x<2} 20.如图,圆O的半径为2,点A、B 都在圆O 上,∠AOB=60°,则OA→·OB→= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 21.已知α是第一象限角,且cosα= 32 ,则cos2α= ( ) A.1 B.2 C.32 D. 1 2 22.甲、乙两人猜同一道谜语,他们猜对的概率分别是12 和1 3 ,则两人都猜对的概率是 ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 23.函数y=f(x)的图像如图所示,则f(2)= ( ) A.5 B.4 C.2 D.0 —85— 24.“x=1”是“x-1=0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 25.已知f(x)=2sinx,那么下列结论正确的是 ( ) A.f(0)=0 B.f(x)在区间(0,2π)上单调递减 C.f(x)是偶函数 D.f(x)的最大值为3 26.已知实数x、y满足xy=4,则x2+y2 的最小值是 ( ) A.8 B.12 C.13 D.15 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题满分3分,共6分.在每小题给出的四个选项中,有多项 是符合题目要求的,全部选对得3分,部分选对得2分,未选或有选错的得0分.) 27.已知i是虚数单位,下列说法正确的有 ( ) A.在复数集内,方程x2+1=0无解 B.已知2+i=x+2i,那么x=2-i C.复数z=1+3i的虚部为2 D.z=1+3i在复平面内对应的点位于第一象限 28.某校高一年级甲、乙两班进行了一次安全知识测试,两个班各有40人参加.现将测试成绩分 为A、B、C、D四个等级,并把甲、乙两班的成绩分别绘制成如图所示的统计图.根据统计图提 供的信息,下列说法正确的有 ( ) 甲班测试成绩等级条形图 乙班测试成绩等级扇形图 A.甲班D等级的人数最多 B.甲、乙两班B等级的人数相等 C.乙班A等级的人数最少 D.甲班C等级的人数比乙班C等级的人数多 三、填空题(本大题共4小题,每小题满分3分,共12分.) 29.已知向量a=(3,4),b=(3,2),则a-b= . 30.已知集合A={0,1},B={2,3},则A∪B= . 31.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,点E、F分别为AA1、CC1 的中点,则平面B1D1E 与平面 BDF的位置关系是 .(填“平行”或“相交”) 32.已知函数f(x)= 2x,x≤0, x+1,x>0, 那么f(1)= . —95— 四、解答与证明题(本大题共3小题,每小题满分10分,共30分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) 33.为了践行习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的理念,增强学生的环境保护意识,树 人中学组织高一年级1000名学生参加了环保知识竞赛.现将竞赛成绩(满分100分)分成6 组:[40,50),[50,60),…,[90,100],并绘制出如下的频率分布直方图. (1)求成绩在区间[90,100]上的学生人数; (2)先从成绩在区间[80,90)和[90,100]的学生中用分层随机抽样的方法选出6人,再从这6 名学生中随机选出2人参加以环保为主题的演讲,求选出的2人竞赛成绩都不低于90分的 概率. 34.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1=3,AB=4,AC=3 3,A1B=5,A1C=6. (1)判断AA1 与底面ABC是否垂直.若垂直,给出证明;若不垂直,请说明理由; (2)若三棱柱ABC-A1B1C1 的体积为6 11,求BC的长度. 35.已知△ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m= α,cosA2 ,n=(b,sinB),且m∥n. (1)求角A; (2)若△ABC为锐角三角形,且b=2,求△ABC面积的取值范围. —06— CD=OD,否则CD<OD,即CD≤OD,所以a+b2 ≥ ab(a>0,b>0).故选B. 27.BD 由图可知AB∩α=A,故AC错误,D正确; 因为矩形纸片CDEF 中,A,B 分别是边CF,DE 的中点,且矩形纸片竖直放在桌面上,所以AB⊥ AC,AB⊥AF,又因为AC∩AF=A,AC,AF⊂平 面α,所以AB⊥α,故B正确.故选BD. 28.BC 根据奇函数关于原点对称结合函数图象,符 合题意是B,C选项.故选BC. 29.答案:(2,0) 解析:2a=2(1,0)=(2,0).故答案为(2,0). 30.答案:1 解析:集合A={1},B={1,2},则A∩B={1},所 以A∩B 的元素个数为1.故答案为1. 31.答案:2+3i 解析:z1+z2=1+2i+1+i=2+3i.故答案为2+ 3i. 32.答案:1 解析:c2=a2+b2-2abcosC=1+2-2×1× 2× 2 2=1 ,故答案为1. 33.解:(1)连结 MP,因为 M,P 分 别是AB,BC 的中点, 所以 MP∥AC,且 MP=12AC , 因为点 N 是A1C1 的中点,所以 NC1∥AC,且 NC1= 1 2AC , 所以 NC1∥MP,且 NC1=MP, 所以四边形 MPC1N 是平行四边形, 所以C1P∥MN, 且C1P⊄平面 MNC,MN⊂平面 MNC, 所以C1P∥平面 MNC; (2)因为 AC=CB,M 为AB 的中点,所以CM⊥ AB, 由AA1⊥平面ABC,AA1⊂平面ABB1A1, 所以平面ABB1A1⊥平面ABC, 又平 面 ABB1A1∩平 面 ABC=AB,CM⊂平 面 ABC, 所以CM⊥平面ABB1A1. 34.答案:(1)中位数为88,极差为62 (2)100千克 解析:(1)将所有数据从小到大排列: 55,70,74,75,75,80,80,83,84,84,85,85,85,86, 87,89,91,93,94,94,96,97,99,99,101,102,104, 107,107,117, 中位数为第15,16个数的平均数,即(87+89)÷2 =88, 极差为117-55=62. (2)80%×30=24,数据从小到大排列,第24,25 个数据分别为99,101,99+1012 =100. 每天应该进100千克荔枝. 35.答案:(1)x|x=kπ2- π 8 ,k∈Z (2)12 解析:(1)若ω=2,a⊥b,则f(x)=a·b=sin2x +cos2x= 2sin2x+π4 =0, 则2x+π4=kπ ,k∈Z,解得x=kπ2- π 8 ,k∈Z, 则x的值的集合为 x|x=kπ2- π 8 ,k∈Z . (2)依 题 意 知 f(x)=sinωx+cosωx= 2sin ωx+π4 , 由2kπ-π2≤ωx+ π 4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z.解 得 2kπ-3π4 ω ≤x≤ 2kπ+π4 ω ,k∈Z. 由于函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,故 2kπ-3π4 ω ≤-ω 2kπ+π4 ω ≥ω 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,即 ω2≤-2kπ+3π4 ω2≤2kπ+π4 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,k∈Z. 当k=0时,上式成立,即ω2≤π4 ,结合ω>0得0< ω≤ π2 , 因为函 数y=f(x)的 图 象 的 一 个 对 称 中 心 为 -π2 ,0 , 则f -π2 = 2sinω· -π2+π4 =0, 则-πω2 + π 4=kπ ,k∈Z,解 得 ω=-2k+12 , k∈Z, 结合0<ω≤ π2 ,则ω=12. 2024年下半年广西普通高中学业水平合 格性考试 1.A 由集合相等知a=2. 2.B 2(1+i)=2+2i. 3.C 要使函数有意义,则x-5≠0,即x≠5. 4.D 由样本平均数估计总体平均数,可以推测全市 居民用水量的平均数约为10吨. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —09— 5.B ∵ n an=|a|= a,a≥0 -a,a<0 , ∴ 4(3-π)4=|3-π|=π-3. 6.C 由棱柱的结构特征知选C. 7.D ABC均不是周期函数,D是周期函数且周期为 2π 1=2π. 8.B ∵a<b,c>0 ∴ac<bc,故A错误,B正确;由不等式两边同时加 上或减去同一个实数不等式的符号不改变,∴a+c <b+c,a-c<b-c,故C,D错误 9.A 30°=30× π180rad= π 6rad. 10.B cos(π+α)=-cosα=-13 11.D ∵函数y=f(x)为奇函数,且f(2)=2, ∴f(-2)=-f(2)=-2. 12.A log3 -2=-2log33=-2×1=-2. 13.A ∵-1≤sinx≤1, ∴-1≤-sinx≤1, ∴0≤1-sinx≤2. 从而函数y=1-sinx的最小值为0. 14.C ∵棱柱的体积=底面面积×高 ∴此四棱柱的面积为1×3=3. 15.A ∵0<π3< π 2 , ∴角π3 是第一象限角. 16.C ∵|a|=1, ∴|2a|=2|a|=2. 17.B 由函数y=f(x)的图像可知它的解析式为y =2x. 18.C 函数y=cosx的图像向左平移π6 个单位长度 得 到 函 数 y=f(x)的 图 像,则 f(x)=cos x+π6 . 19.D 由x2-4<0得-2<x<2. 20.C OA→·OB→=|OA→||OB→|cos<AOB =2×2×cos60° =4×12 =2. 21.D cos2α=2cos2α-1=2× 3 2 2 -1=12. 22.D 设甲猜对谜语为事件 A,乙猜对谜语为事件 B,则P(A)=12 ,P(B)=13. 则甲、乙 两 人 都 猜 对 的 概 率 为 P(AB)=P(A) P(B)=12× 1 3= 1 6. 23.B 由函数y=f(x)的图像知f(2)=4. 24.C 由题意知“x=1”是“x-1=0”的充分必要条 件. 25.A 由函数f(x)=2sinx 知f(0)=2×0=0; f(x)的图像在 0,π2 ,3π2,2π 上单调递增,在 π 2 ,3π 2 上单调递减;∵f(-x)=2sin(-x)= 2(-sinx)=-2sinx=-f(x),∴f(x)是奇函 数;f(x)的最大值为2,故A正确,BCD错误. 26.A x2+y2≥2xy=2×4=8 即x2+y2≥8, 当且仅 当 xy=4 x=y 即 x=2y=2 或 x=-2y=-2 时,等 号 成 立. 从而x2+y2 的最小值是8. 27.BD 对于A,方程x2+1=0在复数集内有解,解 为x=i或x=-i,故A错误;对于B,由2+i=x +2i得x=2-i,故B正确;对于C,复数z=1+3i 的虚部为3,故C错误;z=1+3i在复平面内对应 的点为(1,3),位于第一象限,故D正确. 28.AC 对于A,甲班D等级的人数为14,比其它等 级都多,故A正确;对于B,甲班B等级的人数为 8,乙班B级的人数为40×35%=14,人数不相 等,故B错误;对于C,乙班 A等级的人数40× 10%=4,B等级的人数40×35%=14,C等级的 人数40×35%=14,D等级的人数40×20%=8, 所以A等级的人数最少,故C正确;对于D,甲班 C等级的人数13,乙班C等级的人数14,所以甲 班C等级的人数比乙班C等级的人数少,故D错 误. 29.答案:(0,2) 解析:∵a=(3,4),b=(3,2), ∴a-b=(3,4)-(3,2)=(0,2). 30.答案:{0,1,2,3} 解析:∵A={0,1},B={2,3}, ∴A∪B={0,1,2,3}. 31.答案:平行 解析:由面面平行的判定定理知 平面B1D1E∥平面BDF. 32.答案:2 解析:由题意知f(1)=1+1=2. 33.解:(1)由频率分布直方图知成绩在区间[90,100] 上的学生人数为:1000×(0.02×10)=200; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —19— (2)用分层抽样的方法选出6人中成绩在区间 [80,90)的学生数6× 0.40.4+0.2=6× 2 3=4 ,记为 a,b,c,d. 则成绩在区间[90,100]的学生有6-4=2,记为 1,2. 从这6名学生中随机选出2人,有以下可能 ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2, 12.共15种.设“6名学生随机选出的2人竞赛成 绩都不低于90分”为事件A, 则A 包含的事件有12,共1种,所以P(A)=115. 34.解:(1)AA1⊥平面ABC,证明以下: ∵AA1=3,AB=4,A1B=5, ∴AA21+AB2=A1B2, ∴AA1⊥AB. ∵AA1=3,AC=3 3,A1C=6, ∴AA21+AC2=A1C2, ∴AA1⊥AC. 又AB∩AC=A,AB⊂平 面 ABC,AC⊂平 面 ABC, ∴AA1⊥平面ABC. (2)∵VABC-A1B1C1=S△ABC·AA1, ∴6 11=S△ABC·3, ∴S△ABC=2 11. 又S△ABC= 1 2AB ·AC·sin∠BAC, ∴2 11=12×4×3 3 ·sin∠BAC, 解得sin∠BAC= 339 , ∴cos∠BAC= 1-sin2∠BAC=4 39 , 在△ABC 中, BC2 =AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC =42+(3 3)2-2×4×3 3×4 39 =11, ∴BC= 11. 35.解(1)∵m= a,cosA2 ,n=(b,sinB), 且m∥n, ∴asinB=bcosA2=0 , 即sinAsinB=sinBcosA2 , 又sinB≠0,∴sinA=cosA2 ∴2sinA2cos A 2=cos A 2 ∴sinA2= 1 2 又A 为△ABC 的内角, ∴A2= π 6 ,即A=π3 ; (2)S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2×2×C× 3 2= 3 2C , 由正弦定理得 b sinB= c sinC ∴c=bsinCsinB = 2sin π3+B sinB = 3cosB+sinB sinB = 3 tanB+1 , ∵△ABC 为锐角三角形,∴ 0<B<π2 0<C<π2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 , 即 0<B<π2 0<2π3-B< π 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,∴π6<B< π 2. ∴tanB> 33 ,∴1<C<4, ∴ 32 <S△ABC <2 3 ,即 △ABC 的 取 值 范 围 3 2 ,2 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —29—