2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试-【学考一本通】2026年安徽省高中数学学业水平合格性考试

存在α=π4 ,β∈= π 2 ,满足cos(α-β)=cosα-cosβ,② 正确; 对任意α,β,cos(α-β)=cosacosβ+sinαsinβ,③不正 确.cos(α-β)cosβ+sin(α-β)sinβ=cos[(α-β)-β]= cos(α-2β),④不正确. 答案:①② 22.解析:由题意可知f(1)=log21=0, f(f(1))=f(0)=30+1=2, flog3 1 2 =3-log312+1=3log32+1=2+1=3, 所以f(f(1))+flog3 1 2 =5. 答案:5 23.解:(1)由题意得,c=0,a(x+2)2+b(x+2)-ax2-bx =4ax+4a+2b=4x, 即a=1,b=-2, 所以f(x)=x2-2x. (2)g(x)=x2-2x-2mx+2,x∈[1,+∞), 对称轴方程为:x=m+1, ①当m+1≤1时,即m≤0,g(x)min=g(1)=1-2m, ②当1<m+1时,即 m>0,g(x)min=g(m+1)= -m2-2m+1, 综上,g(x)min= 1-2m,m≤0, -m2-2m+1,m>0. 24.解:记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成 功”为事件Bi(i=1,2,3), 依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且 Ai,Bi 相 互 独立. (1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件A1A2A3,且这 三次试跳相互独立. ∴P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.3×0.3×0.7 =0.063. (2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为 事件C. P(C)=1-P(A1)P(B1)=1-0.3×0.4=0.88. 25.证明:(1)由题意知,O 为AC 的中点, 因为 M 为BC 的中点,所以OM∥AB. 又OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD. 所以OM∥平面ABD. (2)由题意知,OM=OD=3,DM=3 2, 所以OM2+OD2=DM2, 所以∠DOM=90°,即OD⊥OM. 因为四边形ABCD 是菱形,所以OD⊥AC. 又OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC, 所以OD⊥平面ABC. 因为OD⊂平面 MDO, 所以平面ABC⊥平面 MDO. 2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试 1.D 根据并集运算A∪B={1,2,3},故选D. 2.B 根据命题的否定,􀱑p:∀x∈R,x-1<0,故选B. 3.C (1+ai)i=i+ai2=-a+i=5+i.∴a=-5,故选C. 4.A cos<a,b>= a ·b |a|·|b|= 10 2 5 = 22 ,∴a与b 的夹角为 π 4. 故选A. 5.A CD 与A1C1 所 成 角 为∠A1C1D1,tan∠A1C1D1= A1D1 C1D1 = 33 ,∴∠A1C1D1= π 6. 故选A. 6.C 根据奇偶性定义,故选C. 7.A 扇形的面积公式S=12R 2α=1cm2,故选A. 8.C p:a>b⇔q:a3>b3,∴p是q的充要条件,故选C. 9.A 根据众数的定义,这批零件直径的众数为5.40,故 选A. 10.A 根据图象的变换,选A. 11.B lg(x-2)=0,解得x=3,∴函数f(x)=lg(x-2)的 零点是3.故选B. 12.B ∵BO→=2OC→,∴AO→=AB→+BO→=AB→+23BC →=AB→ +23 (AC→-AB→),则AO→=13AB →+23AC →.故选B. 13.D M∪N 是必然事件,故选D. 14.D 根据二次函数和对数函数图象,选D. 15.B (a,b)的不同结果:(2,4),(4,2),(2,8),(8,2),(4, 8),(8,4)共6种,logab 为整数的结果(2,4),(2,8)共2 种,根据古典概型的概率 公 式,logab 为 整 数 的 概 率 是 1 3 ,故选B. 16.D 根据奇偶性和单调性定义,f(1)<f(2),故选D. 17.B 根据平行、垂直的判定定理和性质定理,选B. 18.C g(x)=2x+2-x≥2,当x=0时等号成立,故①正 确;f(x0)=3,2x0-2-x0=3和g(x0)=4,2x0+2-x0=4 无解,故②错误;f(x+y)+f(x-y)=2x+y-2-x-y+ 2x-y-2y-x,f(x)·g(y)=(2x-2-x)(2y+2-y)= 2x+y+2x-y-2y-x-2-x-y,故③正确.故选C. 19.解析:cos2π3=- 1 2 ,故答案为-12. 答案:-12 20.解析:∵a⊥b,∴a·b=0,2x-2=0,x=1,故答案为1. 答案:1 21.解析:根据分层抽样的原则: 100 1600= n 1440+1600+1760 ,n=300,故答案为300. 答案:300 22.解析:BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=400+ 900-2×20×30×12=700 ,∴BC=10 7,故答案为 10 7. 答案:10 7 23.解:(1)函数f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)f(x)=1+sin2x x∈ 0,π2 ,2x∈[0,π] 0≤2x≤π2 得0≤x≤π4 故函数f(x)在 0,π2 上的单调递增区间是 0,π4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —19— 24.解:(1)证明:∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=BC, D 为AC 的中点,∴BD⊥AC. 又∵CC1⊥平面ABC,BD⊂平面ABC, ∴BD⊥CC1. ∵AC∩CC1=C ∴BD⊥平面ACC1A1 ∵AC1⊂平面ACC1A1 ∴BD⊥AC1. (2)解:△BCD,△CC1B,△CC1D,△BC1D 均为直角三 角形,AB=2,AA1=2 2,BD= 3, ∴S△BCD= 1 2CD ·BD= 32 ,S△CC1B= 1 2BC ·CC1= 2 2. S△CC1D= 1 2CD ·CC1= 2,S△BC1D= 1 2BD ·C1D= 3 2 3 , ∴三棱锥B-DCC1的表面积为3 2+2 3. 25.解:(1)种植区域的面积: 72×54-72x-54x+x2 ∴x2-126x+3888≥3640 化简得x2-126x+248≥0 (x-2)(x-124)≥0 解得x≤2或x≥124 又∵1≤x≤3则1≤x≤2 ∴x的取值范围为[1,2]. (2)总费用:m(1199x-1188x )+(x2-126x+3888)· m x 化简得m 1200x+2700x -126 ≥m(2 1200x·2700x -126 )=3474m 当且仅当1200x=2700x 即x=32 时等号成立, 故当x=32 时,完成此计划所需要的总费用最低,最低费 用为3474m 元. 2025年安徽省普通高中学业水平合格性考试 1.D 2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.A 11.B 12.C 13.A 14.B 15.D 16.B 17.D 18.A 19.-1 20.> 21.2 3 22.15 23.解:(1)由三角函数定义知,角α的终边与单位圆☉O 交 点的横坐标为cosα. 由题意知,cosα=cos120°=-12 , 所以角α的终边与单位圆☉O 交点的横坐标为-12. (2)因 为 角α 构 成 的 集 合 为{β|β=120°+k·360°, k∈Z}, 所以角α 2 构成的集合为 β|β=60°+k·180°,k∈Z . ①当k=2n,n∈Z时,角α2 构成的集合为 β|β=60°+ n·360°,n∈Z , 故α 2 是第一象限角,此时sinα2=sin60°= 3 2. ②当k=2n+1,n∈Z 时,角α2 构成的集合为 β|β= 60°+180°+n·360°,n∈Z , 故α 2 是第三象限角,此时sinα2=sin (60°+180°)= -sin60°=- 32. 24.解:(1)证明:因为 PA⊥底面 ABCD,BD⊂平 面 ABCD,所 以PA⊥BD. 又底 面 ABCD 为 正 方 形,故 AC⊥BD. 由于PA∩AC=A,PA⊂平面 PAC,AC⊂ 平 面 PAC,所 以 BD⊥平面PAC. (2)设AC与BD 相交于点O,连接PO. 由(1)知,PO 为PB 在平面PAC 上的射影, 于是∠BPO 为PB 与平面PAC 所成的角. 因为BO=12 AB 2+AD2= 2, PB= AB2+PA2=2 2, 所以在Rt△POB 中,sin∠BPO=BOPB= 2 2 2 =12. 又由∠BPO∈ 0,π2 知,∠BPO=π6,即 PB 与平面 PAC 所成的角的大小为π6. 25.解:(1)连 接 OP,作 PD⊥ OA,垂 足 为 点 D,则 OP= 100,OD=y,AD=100-y. 在 Rt△ODP 中,PD2 = OP2-OD2=1002-y2, 在Rt△ADP 中, PD2=AP2-AD2 =x2-(100-y)2, 所以1002-y2=x2-(100-y)2,即y=100-x 2 200. 由P 不在端点知,0<x<100 2. 故y关于x 的函数解析式 y=100-x 2 200 ,0<x<100 2. (2)设文化走廊的总长为Lm,则L=x+y=-x 2 200+x +100=- 1200 (x-100)2+150. 由于0<x<100 2,所以当x=100时,L 取最大值150. 故当AP 的长为100m时,文化走廊的总长最大,最大总 长为150m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —29— 2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试 (时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题:本题共18小题,每小题3分,共54分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求. 1.已知集合A={1,2},B={1,3},则A∪B= ( ) A.{1} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3} 2.设命题p:∃x∈R,x-1≥0,则命题p的否定为 ( ) A.∀x∈R,x-1≤0 B.∀x∈R,x-1<0 C.∃x∈R,x-1≤0 D.∃x∈R,x-1<0 3.已知i为虚数单位,(1+ai)i=5+i,则实数a= ( ) A.-1 B.1 C.-5 D.5 4.已知|a|=2,|b|= 5,a·b= 10,则a与b的夹角为 ( ) A.π4 B. 3π 4 C. π 6 D. 5π 6 5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB= 3,则异面直线CD 与A1C1 所成的 角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.下列函数为奇函数的是 ( ) A.y=x2 B.y=ex C.y=tanx D.y=lnx 7.已知扇形的半径是1cm,圆心角为2,则该扇形的面积是 ( ) A.1cm2 B.2cm2 C.4cm2 D.8cm2 8.已知p:a>b,q:a3>b3,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.从一批零件中随机抽取若干个,测量其直径(单位:mm),得到频率分布直方图如图所示,据此 估计该批零件直径的众数为 ( ) A.5.40 B.5.42 C.5.44 D.5.46 —16— 10.为了得到函数y=cos 2x+π4 的图象,只要把函数y=cosx+π4 的图象上所有的点( ) A.横坐标缩短到原来的12 ,纵坐标不变 B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的12 ,横坐标不变 D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 11.函数f(x)=lg(x-2)的零点是 ( ) A.2 B.3 C.(2,0) D.(3,0) 12.如图,在△ABC中,BO→=2OC→,则AO→= ( ) A.13AB →+13AC → B.13AB →+23AC → C.23AB →+13AC → D.23AB →+23AC → 13.抛掷一枚质地均匀的骰子,设事件 M=“点数不大于2”,事件 N=“点数大于1”,则下列结论 中正确的是 ( ) A.M 是不可能事件 B.N 是必然事件 C.M∩N 是不可能事件 D.M∪N 是必然事件 14.函数y= x2+x,x≤0, log3x,x>0 的图象大致是 ( ) A B C D 15.从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则使logab为整数的概率是 ( ) A.14 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 16.设函数f(x)是定义域为R的偶函数,若f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则 ( ) A.f(-1)>f(-2) B.f(-1)<f(1) C.f(1)>f(-2) D.f(1)<f(2) 17.已知两条直线l,m 与平面α,则下列结论中正确的是 ( ) A.若l∥α,m∥α,则l∥m B.若l⊥α,m∥α,则l⊥m C.若l∥α,m⊥l,则m⊥α D.若l⊥α,m⊥l,则m∥α 18.已知函数f(x)=2x-2-x,g(x)=2x+2-x.下列关于函数f(x)和g(x)的三个结论: ①g(x)的值域是[2,+∞); ②存在x0∈R,使得f(x0)=3,g(x0)=4; ③任意x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=f(x)g(y). 其中所有正确结论的编号是 ( ) A.① B.①② C.①③ D.②③ —26— 二、填空题:本题共4小题,每小题4分,共16分. 19.cos2π3= . 20.已知a=(2,1),b=(x,-2),若a⊥b,则x= . 21.某高中高一年级有学生1440人,高二年级有学生1600人,高三年级有学生1760人.现用分 层抽样的方法,从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况,其中在高二年级抽取了 100人,则n= . 22.如图,城市A 在观察站B 的北偏东40°方向上且相距20km,在观察站C的北偏西20°方向上 且相距30km.则观察站B 和C 相距 km. 三、解答题:本题共3小题,每小题10分,共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 23.已知函数f(x)=1+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在 0,π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的单调递增区间. —36— 24.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1 中,D 为AC 的中点. (1)求证:BD⊥AC1; (2)若AB=2,AA1=2 2,求三棱锥B-DCC1 的表面积. 25.为美化校园环境,发展学生的科学文化素养,某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所 示,该空地长72米,宽54米,计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x米的观赏通道 (图中阴影部分),并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏,其中1≤x≤3. (1)若种植植物的区域面积不小于3640平方米,求x的取值范围; (2)若修建观赏通道的总费用为m 1199x-1188x 元,种植植物的费用为mx元/平方米(m 为 正常数).当x为何值时,完成此计划所需要的总费用最低? 并求出这个最低总费用(结果用 m 表示).(完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用) —46—