第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册

第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练 一、单选题 1．按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则第20幅图形中“●的个数为（　　） A．399 B．420 C．440 D．441 3．下列一串图案：△△□☆★△△□☆★△△□☆★…是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前第2024个图案中，共有（   ）个图案“△”． A．808 B．809 C．810 D．811 4．用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案．第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（　　）个白色正方形． A．24 B．27 C．31 D．40 5．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为（   ） A． B． C． D． 6．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按照一定规律排列的，那么这组数的第个数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，用黑白两色的三角形拼成下列图案，第①个图案有1个黑色三角形，第②个图案有3个黑色三角形，第③个图案有6个黑色三角形……按此规律，第⑦个图案中黑色三角形的个数是（   ）    A．21 B．28 C．36 D．45 8．数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．给定一列式子，并规定：，，（正整数）则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．乐乐用黑棋子摆点子图（如图），第1个图有1颗棋子，第2个图有5颗黑棋子，第3个图有9颗黑棋子，按此规律摆下去，第9个图有（ ）颗黑棋子． A． B． C． D． 10．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中图案①中有5个正方形，图案②中有9个正方形，图案③中有13个正方形，图案④中有17个正方形，…，按此规律排列下去，若图案中有2025个正方形，则的值为（   ） A．503 B．504 C．505 D．506 二、填空题 11．按一定规律排列的单项式：4m，，，，，…据此规律，第12个单项式为 ． 12．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有颜色．按照这样的规律，第个图案中有 个涂色的小正方形． 13．观察下面三幅圆点图，按照这样的规律，第10 幅图中有 个圆点，第 n 幅图中有 个圆点． 14．用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案．第1个图案有6个正三角形，第2个图案有10个正三角形，第3个图案有14个正三角形……按此规律摆下去，则第个图案有 个正三角形．（用含的代数式表示） 15．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，…按照这一规律，第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是62，则n的值是 ． 三、解答题 16．观察一组数：，…． (1)你认为这组数有可能是按什么规律排列的？用文字描述这组数可能的排列规律． (2)根据（1）中的规律，用代数式表示第n个数． 17．芳芳和亮亮玩一个数字游戏，游戏规则：任选一个三位数，其中；然后交换这个数的个位和百位上的数字，得到一个新的数；再作这两个数的差．只要知道和，就能立马得到这个差．爱钻研的芳芳和亮亮马上就分析其中蕴含的数学规律． (1)用“从特殊到一般”的数学思想方法分析该问题； ①计算下列各式，并观察每个算式的结果，有什么规律吗?你能再写出一个这样的式子吗? ；；_____；_____；…… 写出你的式子：_____． ②亮亮说：若这个三位数是，根据游戏规则运算结果一定是9的倍数．请你判断亮亮的说法是否正确，若不正确请举例说明，若正确请说明理由． (2)芳芳还发现，差的百位数字不仅与它的个位数字有关，并且与也有关，由此她写了以下这个算式，请你在空格上填上一个数字，使算式成立：82_____－__________． 18．观察式子中的规律，并回答问题． (1)观察发现 ①； ②； ③； ④；．．．．．． 式子④中_______，______； (2)规律提炼：写出第个等式（用含有字母的式子表示）； (3)问题解决：求的值． 19．如图1见2024年12月份的日历，小胡在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图1中的结果为__________；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为__________； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则__________． 所以，（__________）__________． (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择__________题． A．在日历中用“型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 20．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说：“数以形而直观，形以数而入微”，通过图形的直观特征发现数量之间的关系，达到化隐为显，以形助数的目的，使问题简捷地得以解决．请用数形结合的方法解决下面问题： 【观察分析】 用大小一样的正方形按如图方式拼成长方形．现用两种方法求解阴影部分黑色小正方形的个数： （1）填空： ①从图①中可以得到：，因此图①中共有________个黑色小正方形； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有________个黑色小正方形； ③从图③中可以得到：________________，因此图③中共有个黑色小正方形； 【规律总结】 （2）由此可以猜想：图中共有________个黑色小正方形，请你用图①~④检验你总结到的规律； （3）根据上面发现，我们还可以得到猜想：________； 【探究应用】（4）根据你发现的结论，计算：； 【拓展应用】（5）计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章整式的加减专题训练：规律探究型问题训练2025—2026学年人教版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C B D B D D D 1．C 【分析】本题考查单项式中的规律探究，根据所给的单项式的次数和系数，找出规律，根据规律求解即可． 【详解】解：观察可知，奇数位的系数为负，偶数位的系数为正，数值与序数相同，字母的指数为从1开始的连续的奇数， ∴第个单项式是； 故选C． 2．C 【分析】本题主要考查了图形类的规律．首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：∵，，，，…， ∴， ∴， 故选：C． 3．C 【分析】本题考查图形的规律问题，观察图案排列规律，确定周期为5个图案，每个周期含2个“△”．计算前2024个图案中的完整周期数和剩余部分，分别统计“△”的数量后求和． 【详解】解：观察可知图案按“△△□☆★”重复排列， 每个周期包含5个图案，其中“△”出现2次， 总图案数 周期长度5，得商404（完整周期数），余数4（剩余图案数）， 完整周期中“△”的数量：个， 则剩余4个图案为“△△□☆”，其中前2个是“△”， 故剩余部分含2个“△”， 808（完整周期）（剩余部分） 个． 前2024个图案中共有810个“△”． 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，能够根据图形的不同找出规律是解题的关键．对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形．因此第n个图中的白色正方形的个数是，即，据此求解． 【详解】解：根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是： ， 当时，， ∴第10个图中有31个白色正方形． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了图形类规律探索．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故选：B． 6．D 【分析】本题主要考查了数字类变化规律，解题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字； 分别观察所给分数的分母和分子及其符号，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 这列数中的第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，故这组数的第个数的符号为， 分数的分子为从开始的连续的奇数，故这组数的第个数的分子为， 分数的分母依次扩大倍，且第一个分数的分母是，故这组数的第个数的分母为， 这组数的第个数为， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了图形变化的规律，找出规律是解题的关键．根据所给出的图案找出规律即可求解． 【详解】解：第①个图案有个黑色三角形， 第②个图案有个黑色三角形， 第③个图案有个黑色三角形， …， 第⑦个图案黑色三角形的个数为， 故选：B 8．D 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律．通过递推公式计算前几项，观察数列是否呈现周期性，找到循环周期后，利用模运算定位目标项；将问题转化为二次函数的最小值问题，利用顶点公式求解． 【详解】解：根据递推公式计算前几项：， ， ， ， ， （周期开始重复） 由此可知，数列每5项为一个周期． 发现周期性：从开始，数列重复，，，，，周期为5． 余0，对应， 余1，对应 余2，对应， ∴， 转化为二次函数：，其最小值在顶点处取得．顶点横坐标为：， 代入得最小值：． 故选：D． 9．D 【分析】本题考查图形类规律探索，解题的关键是由图形的变化规律，把图形中的有关数量关系列式表达出来．观察图形可知，第1个图有1颗棋子，第2个图有5颗黑棋子，第3个图有9颗黑棋子……，发现后一个图比前一个图的黑棋子数量增加4颗，据此找到规律并解答． 【详解】第1个图有1颗棋子； 第2个图有5颗黑棋子，； 第3个图有9颗黑棋子，； …… 则第9个图有黑棋子：（颗）， 故选D． 10．D 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化规律得出第个图案中有个正方形，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知： 第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中有个正方形， ∴， 解得：， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了单项式的规律，从给定的单项式的系数和次数中提炼规律是解决本题的关键． 先分别找出单项式系数和字母部分的规律，即系数为观察可得第n个单项式的系数为；次数为为观察可得第n个单项式的次数为，由此可求第12个单项式． 【详解】根据题意可知，按一定规律排列的单项式：，，，，，…， ∴第n个单项式为：， ∴第12个单项式为：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加是解题的关键． 【详解】解：第一个图案中有涂色的小正方形（个）； 第二个图案中有涂色小正方形（个）； 第三个图案中有涂色小正方形（个）； ； 第个图案中有涂色的小正方形（个）； 故答案为：． 13． 33 【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．根据图形找出规律求解即可． 【详解】解：第1个点阵图中点的个数是：（个）， 第2个点阵图中点的个数是：（个）， 第3个点阵图中点的个数是：（个）， ……， 第n个点阵图中点的个数是：个， 所以第10个点阵图中点的个数是：（个）． 故答案为：33，． 14． 【分析】此题考查了图形类规律的探索问题，解题的关键是根据图形正确求得前几图形中正三角形的个数，总结出规律．先求出前四个图形的正三角形个数，总结出规律即可求解． 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， …… 则第个图形，正三角形的个数为： 故答案为：． 15． 【分析】根据所给图形，依次求出化合物的分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个． 令， 解得：． 故答案为：． 16．(1)每个数都是序号的5倍 (2) 【分析】本题考查了数字的变化规律、列代数式，解决本题的关键是找出数字变化的规律． （1）根据数字的变化规律即可求解． （2）根据数字的变化规律即可写出代数式． 【详解】（1）解：∵…． 由此可得到：每个数都是序号的5倍； （2）解：由（1）得第n个数为：． 17．(1)（1）①；②运算结果一定是9的倍数，见解析； (2)4,4,6 【分析】此题考查有理数的规律探究，读懂题目信息，理解交换后的三位数与原三位数的差是9的倍数是解题的关键． （1）①根据已知等式，找出一般性规律，写出即可； ②设原来的三位数是，交换位置后的三位数是，求出两数的差即可得出结论； （2）由被减数的百位数可以确定减数的个位数，减数的个位数确定被减数的百位数，相减即可． 【详解】（1）解：①；；；；； 故答案为：； ②正确，理由如下：设原来的三位数是，交换位置后的三位数是， ∴， 所以结果一定是9的倍数； （2）， 故答案为4,4,6． 18．(1)25；6； (2)； (3) 【分析】本题考查用代数式表示数或式子的规律，有理数的混合运算，解题的关键是能找到式子的规律． （1）观察已知算式即可得结果； （2）观察给出的算式，可得规律； （3）由（2）中的规律将式子中的每一项拆成两项，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：（1）④， ∴式子④中，， 故答案为：25；6； （2）由（1）给出的算式可得第n个等式：； （3）原式 ． 19．(1)0，0 (2)，，0 (3)A，的值均为0，见解析；B，的值均为，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，设，则，代入计算即可；选B时，设，则，，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 设中间的数为a，则，，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：设，则． 所以，， 故答案为：；；； （3）选A．的值均为0；理由： 设，则， ； ∴的值均为0． 选B．的值均为；理由： 设，则， ， ∴的值均为． 20．（1）①；②；③；；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查图形的变化规律， （1）①数出图①中黑色小正方形的个数即可； ②数出图②中黑色小正方形的个数即可； ③结合①、②的等式即可得出结果； （2）结合①、②、③等式右边的形式猜想出结果即可； （3）结合（1）和（2）可得结论； （4）利用（3）的结论进行计算即可； （5）将转化为，再利用（3）的结论进行计算即可， 找出规律并利用规律解决问题是解题的关键． 【详解】解：（1）①从图①中可以得到：，因此图①中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ②从图②中可以得到：，因此图②中共有个黑色小正方形， 故答案为：； ③从图③中可以得到：，因此图③中共有个黑色小正方形， 故答案为：；； （2）∵图①中黑色小正方形的个数为：（个）， 图②中黑色小正方形的个数为：（个）， 图③中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， 图④中黑色小正方形的个数为：可以得到：（个）， …… 由此可以猜想：图中共有个黑色小正方形， 故答案为：； （3）由（1）和 （2）可知：， 故答案为：； （4）； （5） ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$