第14讲 平面向量的数量积及其应用（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第14讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的数量积的定义 3 知识点2 平面向量数量积的运算 3 知识点3 平面向量数量积的坐标 4 知识点4 投影向量 4 题型破译 5 题型1 平面向量数量积的基本运算 5 题型2 向量的模 5 题型3 向量的夹角 5 题型4 向量的垂直 5 题型5 平面向量在几何中的应用 6 题型6 与数量积有关的最值问题 6 题型7 与模有关的最值问题 7 04真题溯源·考向感知 8 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）数量积的坐标表示 （2）数量积的运算 单选题 填空题 解答题 第12题垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 第20题向量夹角的坐标表示 / 第2题数量积的坐标表示 考情分析： 平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直接或间接涉及该知识点的题目年均 1-2 题，占分约 4-9 分。 填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。 选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。 解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。 复习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 知识点1 平面向量的数量积的定义 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  自主检测已知菱形的边长为，点为该菱形边上任意一点，则的取值范围是 ． 知识点2平面向量数量积的运算 1.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 自主检测已知向量、满足，，，则 ． 知识点3 平面向量数量积的坐标 1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 2.有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 知识点4 投影向量 a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 自主检测（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 . 题型1 平面向量数量积的基本运算 例1-1（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 例1-2（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【变式训练1-1】已知向量、满足，，，则 ． 【变式训练1-2】中，，若在上的投影为．则 ． 【变式训练1-3】已知点，将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则 题型2 向量的模 例2-1（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 例2-2已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 例2-3已知向量、满足，，，则 ． 【变式训练2-1】（24-25高三上·上海·期中）在平面四边形中，、 分别是、的中点.若，，且，则 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知向量的夹角为， 且，则 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ． 题型3 向量的夹角 例3-1（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 . 例3-2已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【变式训练3-1】在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 题型4 向量的垂直 例4-1（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 例4-2（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【变式训练4-1】已知空间向量，若，则 . 【变式训练4-2】已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 题型5 平面向量在几何中的应用 例5-1（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 例5-2已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【变式训练5-1】在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【变式训练5-2】平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 题型6 与数量积有关的最值问题 例6-1（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 例6-2已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【变式训练6-1】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为 . 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ． 题型7 与模有关的最值问题 例7-1在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ． 例7-2已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【变式训练7-2】（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 1．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 2．（2023·上海·高考真题）已知,，求 3．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 5．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 平面向量的数量积及其应用 目录 01 考情解码・命题预警 1 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 平面向量的数量积的定义 3 知识点2 平面向量数量积的运算 4 知识点3 平面向量数量积的坐标 4 知识点4 投影向量 5 题型破译 6 题型1 平面向量数量积的基本运算 6 题型2 向量的模 8 题型3 向量的夹角 10 题型4 向量的垂直 11 题型5 平面向量在几何中的应用 13 题型6 与数量积有关的最值问题 16 题型7 与模有关的最值问题 21 04真题溯源·考向感知 26 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）数量积的坐标表示 （2）数量积的运算 单选题 填空题 解答题 第12题垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 第20题向量夹角的坐标表示 / 第2题数量积的坐标表示 考情分析： 平面向量的数量积及其应用是核心考点之一，近年来的考查呈现出高频、综合、创新的特点。直接或间接涉及该知识点的题目年均 1-2 题，占分约 4-9 分。 填空题：侧重基础运算，如数量积计算、投影向量、夹角余弦值等。 选择题：常考查向量共线、垂直条件或几何意义。 解答题：综合题居多，需结合几何图形或实际情境。 复习目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 知识点1 平面向量的数量积的定义 1.向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 2.平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 3.平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  自主检测已知菱形的边长为，点为该菱形边上任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】为与在上的投影的乘积， 所以当在处时，投影最小为0， 在C处时，投影最大为， 所以的取值范围为. 故答案为： 知识点2平面向量数量积的运算 1.向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 2.平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. ②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 自主检测已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. 知识点3 平面向量数量积的坐标 1.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 2.有关向量夹角的两个结论 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 自主检测（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 知识点4 投影向量 a在b上的投影向量为·，a在b上的投影向量的模为. 自主检测（2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 题型1 平面向量数量积的基本运算 例1-1（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 例1-2（2025·上海青浦·模拟预测）向量在向量方向上的数量投影是 . 【答案】118 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，由数量投影的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 向量在向量方向上的数量投影公式为. 故答案为： 【变式训练1-1】已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，，，得， 所以. 故答案为： 【变式训练1-2】中，，若在上的投影为．则 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点， 因为向量在上的投影为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：.    【变式训练1-3】已知点，将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则 【答案】4 【知识点】用定义求向量的数量积、向量模的坐标表示 【分析】先求、、，再用向量的数量积公式计算即可. 【详解】 由题意，，， . 故答案为：4. 题型2 向量的模 例2-1（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 例2-2已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 【答案】 【知识点】向量的模、求投影向量 【分析】结合投影向量的模，即可得到答案. 【详解】由向量，，可得，所以在上的投影向量模为， 故答案为： 例2-3已知向量、满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】由，根据数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. 【变式训练2-1】（24-25高三上·上海·期中）在平面四边形中，、 分别是、的中点.若，，且，则 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】结合三角形中位线的性质，根据向量数量积的运算律可得，进而可得. 【详解】 如图所示，连接，取中点为，连接，， 则，， 则，， 整理可得， 则， 故答案为：. 【变式训练2-2】（24-25高三上·上海·期中）已知向量的夹角为， 且，则 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】根据条件，利用模长的计算公式，得到，利用数量积的定义，得到，从而可得，即可求解. 【详解】由，得到，又向量的夹角为，， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 【变式训练2-3】（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量，满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知模求数量积 【分析】把两边平方可得，计算可求. 【详解】由，可得，所以， 所以，又，所以， 所以. 故答案为：. 题型3 向量的夹角 例3-1（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 【详解】由题意可得： ， 故： ，即向量 与的夹角为 . 故答案为： 例3-2已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求. 【详解】设与的夹角为，则， 因为在上的投影向量为，可得， 故，即与的夹角为. 故答案为：. 【变式训练3-1】在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、复数的向量表示 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 【变式训练3-2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据投影数量可得，结合向量夹角公式运算求解. 【详解】因为在上的数量投影为， 则，解得， 可得， 且，所以. 故答案为：. 题型4 向量的垂直 例4-1（2025·上海嘉定·二模）已知向量，若，则 ． 【答案】8 【知识点】已知向量垂直求参数 【分析】由向量垂直的坐标表示，列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为：8 例4-2（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 故答案为： 【变式训练4-1】已知空间向量，若，则 . 【答案】1 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直数量积等于0即可得到结果. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：1 【变式训练4-2】已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 题型5 平面向量在几何中的应用 例5-1（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 例5-2已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 【变式训练5-1】在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】用向量解决线段的长度问题 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 故选：D. 【变式训练5-2】平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 题型6 与数量积有关的最值问题 例6-1（2025·上海杨浦·二模）已知、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，根据数量积的运算律得到，设，， ，再由数量积的坐标表示及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为、、是单位圆上的三个点，如图建立平面直角坐标系， 因为，即，所以， 所以，即， 不妨设，，设，所以，， 所以， 所以当，即时取得最大值，且. 故选：D    例6-2已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 【变式训练6-1】（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 【变式训练6-2】已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】向量与几何最值、向量在几何中的其他应用 【分析】取中点C，劣弧AB的中点D，将转化为，结合图形，得到P为劣弧AB的中点D时，，设，由垂径定理得到，从而得到，求出最小值. 【详解】取中点C，劣弧AB的中点D， ， 显然，P为劣弧AB的中点D时，最小， 记，由垂径定理可得：，即， 则， 当时，取最小值，最小值为. 故答案为： 【点睛】平面向量相关的几何最值问题，要结合题干信息，作出合适的辅助线，运用二次函数或基本不等式求解，或者建立平面直角坐标系，利用坐标进行求解 【变式训练6-3】（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果. 【详解】取PQ的中点N，则， 可得， ∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故答案为：2. 【变式训练6-4】（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量，，满足，，且．记平面向量在，方向上的数量投影分别为，，向量在方向上的数量投影为，则对任意满足条件的向量，代数式的最小值是 ． 【答案】/0.4 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、柯西不等式求最值 【分析】设，由平面向量的知识可得，再结合柯西不等式即可得解. 【详解】令，因为，故，， 令平面向量在方向上的投影分别为， 设，则：， 从而：，故 由柯西不等式可得 化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最小值为． 故答案为： 题型7 与模有关的最值问题 例7-1在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且， （）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】 【知识点】向量的模、用向量解决线段的长度问题、向量与几何最值 【分析】由转化为求的最小值，转化为求的最大值，再由梯形中位线转化为求的最大值得解. 【详解】设，，则点、在单位圆上，点、在直线上，的夹角为．如图所示．    根据、的任意性，即求点、到直线距离之和的最小值， 即 （点、分别是点、在直线上的射影点）； 同时根据的存在性，问题转化为求的最大值． 设的中点为，设点、在直线上射影点分别为、， 则， 当且仅当点、、依次在一条直线上时，等号成立． 所以，即所求实数的最大值是． 故答案为： 例7-2已知平面向量满足：，，且对任意的单位向量满足，则的最大值为 .（用含的式子表示） 【答案】或 【知识点】已知模求数量积 【分析】讨论时情况以及判断的范围，从而设，表示出的表达式，结合三角恒等变换化简，即可求解, 【详解】由题意有：当时，可得当与同向时，取到最大值， 即此时恒成立，结合，即， 此时； 由于， 所以假设，此时，不符合题意； 故时，不妨设当为锐角，取到最大值， 此时也为锐角， 此时， ，（其中为辅助角） 而， 当时等号成立， 依题意可得恒成立，解得， 由于在时单调递减，故， 故令，结合解得 即得，； 由于时，， 所以的最大值为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设出结合三角恒等变换求出的表达式，进而求解. 【变式训练7-1】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【知识点】向量减法法则的几何应用、已知模求参数 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【变式训练7-2】（2025·上海·模拟预测）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，求在方向上的数量投影的最大值 ． 【答案】 【知识点】求圆的一般方程、求投影向量 【分析】设，根据题意，求得所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结合即可求得结果. 【详解】根据题意不妨设，，，， 则， 由可得，由可得； 设，故在以为圆心，为半径的圆上； 在以为圆心，1为半径的圆上； 过作于，则即为在上的数量投影，如下所示： 因为分别为两圆上任意动点，不妨固定，则为定长， 设，即，故， 因为此时为定长，且， 故随着的减小，增大，直至恰好与圆相切时，取得最大值，如下所示： 在与圆相切的基础上，移动点，过作于，故； 在△中，，， 故，因为, 故在直角三角形中，，则，即； 在四边形中，因为，故， 当且仅当时等号成立，从而. 综上所述：在方向上的数量投影的最大值为. 故答案为：. 1．（2021·上海·高考真题）在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得；② 存在三角形△，使得∥，则 （    ） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【答案】B 【详解】不妨设，，，，， ① ，，若，∴， ∴，满足条件的明显存在，∴①成立； ② F为AB中点，，与交点即重心， ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立； 故选：B 2．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【答案】4 【详解】由题意得 故答案为：4 3．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 【答案】/ 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 4．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 5．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$