第04讲 基本不等式（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 基本不等式 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 基本不等式 3 知识点2 两个重要的不等式 4 知识点3 利用基本不等式求最值 5 题型破译 5 题型1 由基本不等式比较大小 5 题型2 由基本不等式证明不等关系 6 题型3 基本不等式求积的最大值 7 题型4 基本不等式求和的最小值 7 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 9 题型6 条件等式求最值 10 题型7 基本不等式的恒成立问题 12 题型8 基本（均值）不等式的应用 04真题溯源·考向感知 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）基本不等式求和的最小值 （2）基本不等式求积的最大值 （3）基本不等式“1”的妙用求最值 （4）基本不等式有关的恒成立问题 单选题 填空题 解答题 秋季高考第8题灵活利用“1”求最值 春季高考第6题基本不等式求和的最小值； 13题基本不等式有关的恒成立问题 春季高考第6题基本不等式求积的最大值 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考考内容，多以选择填空形式考查，难度较易，分值为4-5分。 复习目标： 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 3.会求与基本不等式有关的恒成立问题. 4.理解基本不等式在实际问题中的应用. 5.掌握基本不等式在其他知识中的应用． 知识点1 基本不等式 基本不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 知识点2 两个重要的不等式 (1) a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2) ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 知识点3 利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等” 题型1 由基本不等式比较大小 例1-1若，则P，Q，R的大小关系是 ． 例1-2若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【变式训练1-1】若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【变式训练1-3】若，且，则中值最小的是 题型2 由基本不等式证明不等关系 例2-1已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 例2-2（24-25高三上·上海·期中）设都是正实数，则是的 条件. 【变式训练2-1】若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知a为正数，比较大小： 4. 【变式训练2-3】已知，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）. 题型3 基本不等式求积的最大值 例3-1若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（   ） A．3 B． C． D．1 例3-2已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例3-3（23-24高三上·上海浦东新·期中）若，则在下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】下列说法正确的是（    ） A．若 B．的最小值为2 C．设 D．周长为10的所有矩形中，面积最大的为25 【变式训练3-2】已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 ． 【变式训练3-2】抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 题型4 基本不等式求和的最小值 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 例4-2，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】已知，，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．3 D． 【变式训练4-2】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 【变式训练4-3】在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 【变式训练4-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 例5-1设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例5-2（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【变式训练5-1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】已知正数满足，则取到最小值时， ； 【变式训练5-3】已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是 ． 【变式训练5-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 题型6 条件等式求最值 例6-1若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 例6-2已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（  ） A． B．不存在最小值，但是存在最大值 C． D．对于任意符合条件的，都有 【变式训练6-1】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【变式训练6-2】（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 【变式训练6-3】已知实数满足，则的最小值为 ． 【变式训练6-4】已知，，且，则的取值范围是 . 题型7 基本不等式的恒成立问题 例7-1对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例7-2已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 例7-3设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 【变式训练7-1】若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【变式训练7-2】命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【变式训练7-3】已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 题型8 基本（均值）不等式的应用 例8-1一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 例8-2数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（    ）    （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点. A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 例8-3上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【变式训练8-1】为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【变式训练8-2】如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【变式训练8-3】如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【变式训练8-3】企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 1．（2025·上海·秋季高考真题）设，则的最小值为 ． 2．（2024上海·春季高考真题）已知，的最小值为 ． 3．（2023上海·春季高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 4．（2022·上海·秋季高考真题），，则的最小值是 . 5．（2024上海·春季高考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 6．（2022·上海·秋季高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 基本不等式 3 知识点2 两个重要的不等式 4 知识点3 利用基本不等式求最值 5 题型破译 5 题型1 由基本不等式比较大小 5 题型2 由基本不等式证明不等关系 6 题型3 基本不等式求积的最大值 7 题型4 基本不等式求和的最小值 7 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 9 题型6 条件等式求最值 10 题型7 基本不等式的恒成立问题 12 题型8 基本（均值）不等式的应用 04真题溯源·考向感知 13 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）基本不等式求和的最小值 （2）基本不等式求积的最大值 （3）基本不等式“1”的妙用求最值 （4）基本不等式有关的恒成立问题 单选题 填空题 解答题 秋季高考第8题灵活利用“1”求最值 春季高考第6题基本不等式求和的最小值； 13题基本不等式有关的恒成立问题 春季高考第6题基本不等式求积的最大值 考情分析： 本节内容是上海高考卷的常考考内容，多以选择填空形式考查，难度较易，分值为4-5分。 复习目标： 1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 3.会求与基本不等式有关的恒成立问题. 4.理解基本不等式在实际问题中的应用. 5.掌握基本不等式在其他知识中的应用． 知识点1 基本不等式 基本不等式：≤ (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数. 知识点2 两个重要的不等式 (1) a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2) ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 知识点3 利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大). 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等” 题型1 由基本不等式比较大小 例1-1若，则P，Q，R的大小关系是 ． 【答案】/ 【知识点】对数的运算、由基本不等式比较大小 【分析】结合均值不等式以及对数运算，判断即可. 【详解】∵，∴ ，∴ 故答案为： 例1-2若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 【变式训练1-1】若满足时，恒有，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小、比较对数式的大小 【分析】根据给定的不等式关系，结合均值不等式逐项判断作答. 【详解】对于A，取，，， 而，此时有，A不可能； 对于B，，于是，B可能； 对于C，，C可能； 对于D，，D可能. 故选：A 【变式训练1-2】若，，则、、、中最大的一个是 ． 【答案】 【知识点】由基本不等式比较大小、作差法比较代数式的大小 【分析】由基本不等式和作差法比较大小，得到答案. 【详解】，，由基本不等式得；； 又因为，， 所以， 故， 所以最大的一个是 故答案为： 【变式训练1-3】若，且，则中值最小的是 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【分析】先由均值不等式有：，，再比较与的大小， 作差比较大小可得最小的数. 【详解】由，，且，根据均值不等式有：，， 又， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为：. 题型2 由基本不等式证明不等关系 例2-1已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由基本不等式证明不等关系、作差法比较代数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为且， 所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，， 因为，， 所以， 又因为， 所以， 即，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以， 又因为， 所以，故D错误. 故选：C. 例2-2（24-25高三上·上海·期中）设都是正实数，则是的 条件. 【答案】充分不必要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式证明不等关系 【分析】充分性用基本不等式证明，必要性用特殊值排除. 【详解】由基本不等式可知：， 三式相加得：，即， 又因为，所以，取等条件为，所以是充分条件； 取，可知不等式成立，此时，所以必要性不成立. 故答案为：充分不必要 【变式训练2-1】若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 【变式训练2-2】已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【变式训练2-3】已知，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中一定成立的结论是 （写出所有成立结论的编号）. 【答案】④ 【知识点】由基本不等式证明不等关系、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】①：因为，， 所以有，则，故，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故①错误； ②：当时，显然成立，但是不成立，故②错误； ③：当时，显然成立，但是不成立，故③错误； ④：因为，所以，即， 则， 由①可知：，则，所以， 则，故， 当且仅当时，等号成立，所以，故④正确. 故答案为：④ 题型3 基本不等式求积的最大值 例3-1若一个三棱锥中，有一条棱长为，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】证明线面垂直、锥体体积的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】首先根据三棱锥的几何特征，表示三棱锥的体积，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】如图，设，其余各棱长为1，取，中点，连结， 因为，，，所以， 所以，，，所以， ，且平面， 所以平面， ，, 所以， . 当，即时，等号成立， 所以当时，三棱锥的体积最大. 故选：B 例3-2已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、二倍角的正弦公式、比较正弦值的大小 【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案. 【详解】因为、、为锐角， 则，当且仅当时取等号， 同理可得， 故不可能有3个数都大于，所以最多2个数大于， 所以，例如； 例如，则， 即三个数均可能小于，则； 所以. 故选：C. 例3-3（23-24高三上·上海浦东新·期中）若，则在下列不等式中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求积的最大值 【分析】根据不等式的基本性质和基本不等式，可判定A、B、C正确；令，求得，得出函数的单调性，结合，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，由，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以等号不成立，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，令，可得， 当时，可得，单调递增； 当时，可得，单调递减， 所以，当，函数取得最小值，最小值为，所以， 即，所以D错误. 故选：D. 【变式训练3-1】下列说法正确的是（    ） A．若 B．的最小值为2 C．设 D．周长为10的所有矩形中，面积最大的为25 【答案】C 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式求积的最大值、由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】举反例判断A即可；由，令，结合对勾函数的性质求解判断B；结合不等式的性质判断C；设矩形长为，则宽为，进而表示出矩形的面积，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，当，时，，但，故A错误； 对于B，， 令，则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 即，即，故C正确； 对于D，设矩形长为，则宽为， 则矩形的面积为， 当且仅当，即时等号成立， 所以周长为10的所有矩形中，面积最大的为，故D错误. 故选：C. 【变式训练3-2】已知、、均为锐角，在、、三个值中，大于的个数的最大值为，小于的个数的最大值为，则 ． 【答案】5 【知识点】基本不等式求积的最大值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由题意可得，，从而可求的m的值，举例可得n的值，即可得出答案. 【详解】由为锐角，得，当且仅当时取等号， 同理，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 则， 因此不可能有3个数都大于，即最多2个数大于，例如，； 取，则， 因此三个数均可能小于，则； 所以. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：利用基本不等式推导得到是求解的关键. 【变式训练3-2】抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】抛物线定义的理解、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设、，作分别于，则，， 在梯形中，有， 在中，， 又，则，即， 当且仅当时取等号，因此，所以的最大值是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决． 题型4 基本不等式求和的最小值 例4-1（24-25高三下·上海·阶段练习）设，则下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式及适用范围分别判断即可求解． 【详解】对于ACD，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，故ACD错误； 对于B，由题知，所以，当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 故选：B． 例4-2，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误， 对于选项B，易知，因为， 当且仅当，即时取等号，所以选项B正确， 对于选项C，易知，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以选项C错误， 对于选项D，易知，又， 当且仅当取等号，但无解， 所以，故选项D错误， 故选：B. 【变式训练4-1】已知，，，则的最小值为（   ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】结合的代换，利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 【变式训练4-2】（24-25高三下·上海虹口·阶段练习）设随机变量服从正态分布，则的最小值为 ． 【答案】/0.125 【知识点】基本不等式求和的最小值、指定区间的概率 【分析】首先利用正态分布的性质求出，再利用基本不等式解最小值即可. 【详解】由题意可知，正态曲线关于对称，所以， 又，所以， 因为，得， 得，等号成立时，， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练4-3】在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 【答案】13 【知识点】向量的线性运算的几何应用、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 【变式训练4-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”，已知函数在上为“局部奇函数”，则实数的最小值为 . 【答案】 【知识点】函数新定义、基本不等式求和的最小值、求指数型复合函数的值域 【分析】由“局部奇函数”的定义可知，存在，使得，结合基本不等式可求出实数的最小值. 【详解】函数的定义域为， 由题意可知，存在，使得，即， 可得，所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，实数的最小值为. 故答案为：. 题型5 基本不等式“1”的妙用求最值 例5-1设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号， 故选：D 例5-2（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 【变式训练5-1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【变式训练5-2】已知正数满足，则取到最小值时， ； 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助“1”的灵活运用，由基本不等式即可求解. 【详解】由正数，满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以取到最小值时，. 故答案为：. 【变式训练5-3】已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由平面向量的线性关系及共线，得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题设，且共线，则， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值是. 故答案为： 【变式训练5-4】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 题型6 条件等式求最值 例6-1若正实数x、y、z满足，则当最大时，的最大值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】由条件等式求出，将化成，利用基本不等式可求得其最大值，得出等号成立条件：和，代入所求式，整理成二次函数，即可求出其最大值. 【详解】由，可得， 则， 因，， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，取得最大值为3. 由， 即当时，取得最大值. 故选：A. 例6-2已知函数，若实数满足，且，则下列说法不正确的是（  ） A． B．不存在最小值，但是存在最大值 C． D．对于任意符合条件的，都有 【答案】B 【知识点】条件等式求最值、对数的运算性质的应用 【分析】首先根据，当时，；当时，.画出函数草图.根据且，得到，从而. 然后将各个选项中的式子根据和基本不等式等知识进行分析和计算，判断其正确性. 【详解】因为，即，所以，，则. 由于对勾函数在上单调递减，当时，. （当时，），所以，A选项正确. 因为，， 设，则.则，，随着增大而增大， 则在单调递减，无最小值，当时，，无最大值，选项B错误. . 设，.由对勾函数性质知道，当时，单调递减. 则单调递增，，，所以，选项C正确. 假设，因为，，则，即，，（无解），所以对于任意符合条件的，都有，D选项正确. 故选：B. 【变式训练6-1】设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【知识点】条件等式求最值、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【变式训练6-2】（2025·上海黄浦·三模）若随机变量，且，，则的最小值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值、指定区间的概率 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案为：. 【变式训练6-3】已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故答案为：. 【变式训练6-4】已知，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】由已知得出，令，可得出，再由基本不等式得出，整理得出，综合可解得的取值范围. 【详解】因为，，则， 则， 设，则， 所以，，解得或， 又因为，则有或， 若，则必有，， 所以，，矛盾，故应舍去， 所以，， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，整理可得， 因为，解得， 故，即， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于设，根据已知等式变形，结合基本不等式得出关于的不等式求解. 题型7 基本不等式的恒成立问题 例7-1对于任意实数a、b，均成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】由恒成立，利用基本不等式，分别讨论当，，时，实数k的取值范围. 【详解】若； 若，， 因为，所以； 若，， 因为，所以， 所以，即. 故选：B． 例7-2已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值． 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ，当且仅当， 即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故选：． 例7-3设函数，若对任意的实数a，b，总存在使得成立，则实m数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、对勾函数求最值 【分析】根据题意，函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，当位于直线与直线正中间时，函数的最大值最小，进而可求解. 【详解】解：由题意函数可理解为函数与函数横坐标相等时，纵坐标的竖直距离. 作图象如下： 由图可知，当位于直线与直线正中间时,函数的最大值最小， 显然，直线的方程为：， 是对勾函数，由对勾函数性质，可求得直线的方程为：， ， . 故答案为： 【变式训练7-1】若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 【变式训练7-2】命题“对任意实数，，且，不等式恒成立”为真命题，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】将不等式整理得到，再利用基本不等式求解． 【详解】， 当且仅当，且， 即，时等号成立， 所以， 故答案为：． 【变式训练7-3】已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 故答案为：． 题型8 基本（均值）不等式的应用 例8-1一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（    ） A．大于10g； B．小于10g； C．等于10g； D．不能判断大小． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 例8-2数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线：为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（    ）    （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有个整点横、纵坐标均为整数的点. A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【答案】A 【知识点】由方程研究曲线的性质、基本（均值）不等式的应用 【分析】因为，所以与异号，从而可判断（1）；利用基本不等可判断（2）；将以为圆心，2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）；先确定曲线经过点，再将第一象限内经过的整点，，逐一代入曲线的方程进行检验，根据对称性即可判断（4）. 【详解】对于（1）：因为，所以x与y异号，故图象在第二和第四象限，正确； 对于（2）：因为，所以， 所以，所以，正确； 对于（3）：以O为圆点，2为半径的圆O的面积为， 结合（2）知然曲线C围成的区域的面积小于圆O的面积，错误； 对于（4）：将和联立，解得， 所以可得圆与曲线C相切于点，，，， 点的位置是图中的点M，    由曲线的对称性可知，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可， 把，和代入曲线C的方程验证可知，等号不成立， 所以曲线C在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线C只经过整点，错误. 故选：A 例8-3上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施. 杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园. 如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)    (1)若，求的长； (2)记，求人行道路长度的最小值. 【答案】(1)米； (2)米. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、距离测量问题、二倍角的正切公式 【分析】（1）根据题意，结合已知求其长度即可； （2）由题意可得，应用二倍角正切公式、基本不等式求最小值，注意及取值条件，即可得. 【详解】（1）由，又， 且，，则， 所以米； （2）由题设，知 ， 由在的中点到之间运动（含端点），故， 而，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为米. 【变式训练8-1】为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润（单位：万元）与生产线运转时间（单位：年）满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（    ）年． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】表示出平均利润，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件. 【详解】平均利润为， 当且仅当，即时取最大值. 故选：A. 【变式训练8-2】如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以所用篱笆总长C最小值是24. 故答案为：24 【变式训练8-3】如图，为迎接校庆，我校准备在直角三角形内的空地上植造一块“绿地”，规划在的内接正方形内种花，其余地方种草，若，，种草的面积为，种花的面积为，比值称为“规划和谐度”． (1)试用、表示、； (2)若为定值，足够长，当为何值时，“规划和谐度”有最小值，最小值是多少? 【答案】(1)， (2)为时，最小值为1 【知识点】三角函数在生活中的应用、基本（均值）不等式的应用、二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】（1）由题意得，即的面积为，设正方形的边长为，由得，即可求解； （2）由，利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，的面积为， 设正方形的边长为，则由得， ，； （2）由，当且仅当等号成立， 即为时，最小值为1. 【变式训练8-3】企业研发部原有80人，年人均投入万元，为了优化内部结构，现把研发部人员分为两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，技术人员的年人均投入为（其中）万元，研发人员的年人均投入增加. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少? (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且对任意一种研发部人员的分类方式，需要同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析 【知识点】基本（均值）不等式的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解； （2）先根据条件①列不等式求出m的最小值，根据条件②列不等式求出m的最大值，通过m的最值可得答案. 【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. （2）由题意知，现在研发部共有81人 假设存在正实数m同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得（且）， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有（且）. 即， 所以（且）. 由， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数m同时满足题设条件（1）和（2）. 1．（2025·上海·秋季高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 2．（2024上海·春季高考真题）已知，的最小值为 ． 【答案】12 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 3．（2023上海·春季高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 4．（2022·上海·秋季高考真题），，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 5．（2024上海·春季高考真题），下列不等式恒成立的是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，因为，故，故B成立， 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误； 故选：B. 6．（2022·上海·秋季高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$