5.3. 一元一次方程的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册北师大版 第五章 一元一次方程 3. 一元一次方程的应用（同步练习） 一、选择题 1．小明同学在某月的月历表上圈出了三个相邻的数a，b，c，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能是(　　) A． B． C． D． 2．若有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个，则这个班的小朋友有 (　　) A．26人 B．27人 C．28人 D．29人 3．程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（　　）千克． A．60000 B．75000 C．6000 D．7500 5．下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 　 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 a b 表格中a、b的值正确的是（　　） A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2 6．我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是（　　） A． B． C． D． 7．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　） A． B． C．1 D．2 8．如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 9．如果，长方形 中有 个形状、大小相同的小长方形，且 ， ，则图中阴影部分的面积为（　　）． A． B． C． D． 10．一段跑道长100米，两端分别记为点A、B．甲、乙两人分别从A、B两端同时出发，在这段跑道上来回练习跑步，甲跑步的速度是6m/s，乙跑步的速度为4m/s，练习了足够长时间，他们经过了多次相遇，相遇点离A端不可能是（　　） A．60米 B．0米 C．20米 D．100米 二、填空题 11．甲、乙两人分别从 两地出发， 相向而行， 出发时他们的速度比是 ，他们第一次相遇后，甲的速度提高 ，乙的速度减慢 ，这样，当甲到达 地时，乙离 地还有 26 千米， 两地的距离是　 　千米。 12．长是宽的3倍的长方形叫做“灵动长方形”．如图，在一个大灵动长方形中剪下两个灵动长方形，分别是长方形和长方形．若剪下的两个小灵动长方形的周长之和为16，则大灵动长方形ABCD的面积为　 　． 13．“双十二”某主播直播间推出限时付款优惠活动，优惠规则如上表所示，小王在这次活动中，两次购物总共付款元，第二次购物原价是第一次购物原价的3倍，那么小王这两次购物原价的总和是　 　元． 原价 优惠 不超过100元 不打折 超过100元但不超过300元 八折 超过300元 六折 14．某种零件由甲、乙、丙三个工作组加工．已知甲组有x人，每人每小时可加工8件；乙组的人数比甲组的a倍少4人，每人每小时可加工10件；丙组的人数比甲组的人数少6人，每人每小时加工12件．若三个工作组同时工作1小时恰好完成1188件，则满足条件的所有正整数a的和为　 　． 15．规定：对于确定位置的三个数a，b，c，计算， 将这三个数的最小值称为a，b，c的“白马数”．例如， 对于1，-2，3 ，因为 ．所以1，-2 ，3的“白马数”为 ．调整-1，6，x这三个数的位置 ，得到不同的“白马数”， 若其中的一个“白马数”为2，则x＝　 　． 16．某超市推出如下优惠方案： ⑴一次性购物不超过100元不享受优惠； ⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律9折； ⑶一次性购物超过300元一律8折。 小红两次购物分别付款99元和225元，如果小红一次性购买以上两次相同的商品，则应付　 　元． 17．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过　 　秒，点M、点N分别到点B的距离相等. 18．线段 ，点 从点 开始向点 以每秒1个单位长度的速度运动，点 从点 开始向点 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当 时， 的值为　 　. 三、解答题 19．综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）． 【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． （1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？ （2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期． （3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分） 20．点O为直线上一点，过点O作射线，使，平分（如图1）． 将一直角三角板的直角顶点放在点O处，设直角三角板两直角边分别为、（，）． 边在射线上． （1）在图1中，　 　； （2）如图2所示，将直角三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当与垂直时，则旋转时间t的值为多少秒？ （3）将直角三角板绕点O顺时针旋转，当在内部运动时，请直接写出此时与的数量关系． 21．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们到附近的快车公司开展“打车计费”的实践活动。 【实践发现】司机介绍说：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间来计算；远途费的收取方式为行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元.收费标准如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 【实践探究】根据以上信息，解答下列问题： 老师说：若乘客的行车里程为2公里，行车时间为4分钟，则付费计算为1.8×2+0.45×4=5.4（元）。 【问题解决】 （1）小东问：“照老师这么算，如果我行车里程为5公里，行车时间为10分钟，则需付车费多少元?” （2）小明问：“如果行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则我应付车费多少元?”（用含a，b的代数式表示，并化简） （3）司机又说：“如果小王与小张各自乘坐该快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，并且小王的行车时间比小张的行车时间多24分钟，这两人下车时所付车费一样。”你赞同司机的说法吗? 请同学们说明理由。 22．科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长 25 m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s 。运动过程如下：第1次从起点出发以v(m/s)的速度运动到记录点 P1；第2次从P1出发以2v(m/s)的速度运动到记录点P2；第3次从P2出发以3v(m/s)的速度运动到记录点 P3；第 4 次从 P3出发以4v(m/s)的速度运动到记录点 P4，到达 P4后停止。 （1）当v=1 时，P2到起点的距离为　 　m。 （2）若机器人的运动速度不超过8m/s，①v的最大值为　 　。 ②当点 P3到起点的距离为 8 m时，求 v的值。 ③记录点能恰好为终点吗? 若能，请求出v的值；若不能，请说明理由。 23．如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“智慧点”． （1）线段的中点______这条线段的“智慧点”（填“是”或“不是”）； （2）若线段，点C为线段的“智慧点”，则______； （3）如图2，已知，，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，若A、P、Q三点中，一点恰好是以另外两点为线段的“智慧点”，求出所有可能的t值． 24．如图，用大圆布料和小圆布料做成有趣的布贴画，一个布贴画由一个米老鼠和一个毛毛虫组成，一个米老鼠由1块大圆和2块小圆组成，一个毛毛虫由1块大圆和4块小圆组成.现有50块长方形布料，每一块长方形布料有两种剪裁方法： A方法：剪出6个大圆. B方法：剪出24个小圆. （1）若将全部长方形布料都按这两种方式剪裁，最多可以做多少幅布贴画? 还剩多少块长方形布料? （2）若修改剪裁方法，A方法中一个大圆可以改成4个小圆，B方法中4个小圆可以改成1个大圆，问是否存在一种剪裁方案，使得原有的长方形布料所剪下的大圆、小圆正好全部用完? 参考答案 1．B 2．C 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9．D 10．B 11．77 12．12 13．或 14．22 15．-7或8 16．288或279.2 17． 18． 或6 19．（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， 因此最短工期为180天； （2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件， 则， 解得， 则，， 因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天； （3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件， 甲完成的时间为：（天）， 乙完成的时间为：（天）， 丙完成的时间为：（天）， ， 当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短， 则， 解得， 为整数， 应取13或14， 当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天； 当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天； ， 时，工期最短， 即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天． 20．（1） （2）解：由题意可得， ①当在之内时，由（1）得，， ∵， ∴，即：， 解得：， ②当旋转超过时，如图， ， ∵， ∴，即：， 解得：， 综上所述：或时与垂直； （3）． 21．（1）解：由题意得，1.8×5+0.45×10=13.5(元)。 答：需付车费13.5元 （2）解：当a≤10时，小明应付费(1.8a+0.45b)元； 当a>10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4(a-10)=(2.2a+0.45b-4)元 （3）解：赞同。理由如下： 由题意，可设小王与小张乘坐该快车分别为a分钟、(a-24)分钟， 则小王应付车费1.8×9.5+0.45a=(17.1+0.45a)元。 小张应付车费1.8×14.5+0.45(a-24)+0.4×(14.5-10)=(17.1+0.45a)元。 因此，两人车费一样多，赞同司机的说法 22．（1）12 （2）②当P3未到终点时，有4v+8v+12v=8，解得当 P3到终点并返回时，有4v+8v+12v=25×2-8，解得，综上所述，v的值为或-③能，若P1 恰好为终点，则4v=25，解得 v=舍去；若P2恰好为终点，则4v+8v=25，解得v=舍去；若 P3恰好为终点，则4v+8v+12v=25，解得或4v+8v+12v=25×3，解得舍去；若P4恰好为终点，则4v+8v+12v+16v=25，解得v或4v+8v+12v+16v=25×3，解得或4v+8v+12v+16v=25×5，解得舍去，综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或 23．（1）是 （2）或或 （3）解：秒后，，，由题意可知点不可能为的“智慧点”， 则当为的“智慧点”时， ①时，则， ∴， 解得：； ②当时，则， ∴， 解得：； ③当时， ∴， 解得：； 当为的“智慧点”时， ④当时，则， ∴， 解得：（舍）； ⑤当时，则， ∴， 解得：； ⑥当时， ∴， 解得：， 综上所述：t值为或或或或． 24．（1）解：剪法A：设x块长方形布料每块剪6个大圆，则（50-x）块长方形布料每块剪24个小圆， 根据题意，得3×6x=24（50-x）， 解得 ∵x为正整数， ∴x=28， 做小圆的块数=28×6×3÷24=21， 一共用长方形28+21=49块，多余1块， 做布贴画幅数=28×6÷2=84. 剪法B：设a张用A方法剪裁，b张用B方法剪裁， 根据题意可得：3×6a=24b， ∴a：b=4：3， 即每7张长方形布料（4A3B）正好配套做12幅贴画， ∴49张正好可以做84幅，多余1张. （2）解：不存在，理由如下： 先将50张长方形布料剪成300个正方形，每个正方形可以剪1个大圆，也可以剪4个小圆， 设其中 y 个正方形剪大圆，则（300-y）个正方形剪小圆， ∴， 解得： ∵1200不能被7整除， ∴此方程在整数范围内无解， 故不存在符合条件的剪裁方案. 学科网（北京）股份有限公司 $$