精品解析：四川省南充市南部县振兴初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年度下九年级第一次阶段性学情诊断 数 学 试 卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ） A. 0.69×107 B. 69×105 C. 6.9×105 D. 6.9×106 3. 使代数式有意义的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ） A. 60件 B. 66件 C. 68件 D. 72件 6. 正整数a、b分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 8. 如图，是的外接圆，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为【 】 A. 20米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 12. 已知，则_________． 13. 已知，，其中为正整数，则________________． 14. 关于的不等式组恰好有3个整数解，的取值范围________________． 15. 如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为_____． 16. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2月20日在北京圆满闭幕，这是新冠肺炎疫情发生以来首次如期举办的全球综合性体育盛会．中国队取得奖牌榜历史最好成绩，某中学开展以“我最喜欢的冬奥会项目”为主题的调查活动，围绕“在冰壶、花样滑冰、自由式滑雪、短道速滑及其它奥运项目中，你最喜欢哪一种？(必选且只选一种)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下统计表： 运动项目 频数 频率 短道速滑 7 冰壶 2 b 自由式滑雪 a 花样滑冰 4 其它 2 根据以上信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ， ． （2）若将各运动项目的人数所占比例绘制扇形统计图，则“冰壶”对应扇形的圆心角度数为 度． （3）若在选择“花样滑冰”的4名学生中，有2名男生，2名女生，现从这4人中随机抽取2名学生进行项目介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取2名学生恰好是2名男生的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足．求m的值． 21. 如图，直线与的图象交于点与轴交于点 （1）求的值及直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数图象上，求点的坐标． 22. 如图，是的直径，点在上（点不与重合），直线交过点的切线于点，点为的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求四边形的面积． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 24. 在矩形边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下九年级第一次阶段性学情诊断 数 学 试 卷 （时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 因此的相反数是． 故选C． 2. 近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐．截至2019年12月底，华为5G手机全球总发货量突破690万台．将690万用科学记数法表示为（ ） A. 0.69×107 B. 69×105 C. 6.9×105 D. 6.9×106 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为，为整数位数减1． 【详解】解：690万＝6900000＝6.9×106． 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，科学记数法中的要求和10的指数的表示规律为关键， 3. 使代数式有意义的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得且． 故选：D． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 5. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ） A. 60件 B. 66件 C. 68件 D. 72件 【答案】B 【解析】 【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数． 【详解】解：设该分派站有x个快递员， 依题意得：10x＋6＝12x−6， 解得：x＝6， ∴10x＋6＝10×6＋6＝66， 即该分派站现有包裹66件． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6. 正整数a、b分别满足，，则（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算． 【详解】解：，， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查无理数的估值，掌握立方根，平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定的值是解题的关键． 7. 某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛．7位评委给选手甲的评分如下：91，95，89，93，88，94，95，则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据从小到大排序为：88，89，91，93，94，95，95， 95出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为95； 这组数据最中间数为93，所以这组数据的中位数是93． 故选：D． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数：将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数． 8. 如图，是的外接圆，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，首先根据圆周角定理得到，然后利用半径相等得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为【 】 A. 20米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】∵点G是BC中点，EG∥AB， ∴EG是△ABC中位线．∴AB=2EG=30米． 在Rt△ABC中，∠CAB=30°， ∴BC=ABtan∠BAC=30×=10米． 如图，过点D作DF⊥AF于点F． 在Rt△AFD中，AF=BC=10米， 则FD=AF•tanβ=10×∴=10米． 综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故选A． 考点：解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③正确； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得， ∴， 故答案：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟知非负数的性质是解题的关键：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 13. 已知，，其中为正整数，则________________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 根据幂的乘方运算法则可得，，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：12． 14. 关于的不等式组恰好有3个整数解，的取值范围________________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组恰好有个整数解这一条件，确定的取值范围．本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及根据整数解的个数确定参数的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组的解法以及整数解的相关知识是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰好有个整数解， ∴整数解为，，． ∴， ， ． 故答案为：． 15. 如图，圆锥的母线长为5，底面圆直径CD与高AB相等，则圆锥的侧面积为_____． 【答案】5π 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行计算． 【详解】解：设CB＝x，则AB＝2x， 根据勾股定理得：x2+（2x）2＝52， 解得：x＝， ∴底面圆的半径为， ∴圆锥的侧面积＝××2π×5＝5π． 故答案为：5π． 【点睛】本题考查圆锥的面积，熟练掌握圆锥的面积公式及计算法则是解题关键. 16. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别根据绝对值的性质、特殊三角函数值、二次根式的乘法法则以及零指数幂的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算． （2）先对括号内式子进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分等运算得出结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的化简，其中涉及绝对值、特殊三角函数值、二次根式乘法、零指数幂、分式的通分、因式分解以及分式的乘除法等知识点，熟练掌握这些知识点的运算法则是解题的关键． 18. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明再结合BE＝DF，从而可得结论； （2）先利用正方形的性质证明 再求解EF的长，再利用四边形AECF的面积，即可得到答案． 【小问1详解】 证明： 正方形ABCD， 【小问2详解】 如图，连结AC， 正方形ABCD， ∴四边形AECF的面积 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 19. 第24届冬季奥林匹克运动会于2月20日在北京圆满闭幕，这是新冠肺炎疫情发生以来首次如期举办的全球综合性体育盛会．中国队取得奖牌榜历史最好成绩，某中学开展以“我最喜欢的冬奥会项目”为主题的调查活动，围绕“在冰壶、花样滑冰、自由式滑雪、短道速滑及其它奥运项目中，你最喜欢哪一种？(必选且只选一种)”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下统计表： 运动项目 频数 频率 短道速滑 7 冰壶 2 b 自由式滑雪 a 花样滑冰 4 其它 2 根据以上信息解答下列问题： （1）频数分布表中的 ， ． （2）若将各运动项目的人数所占比例绘制扇形统计图，则“冰壶”对应扇形的圆心角度数为 度． （3）若在选择“花样滑冰”的4名学生中，有2名男生，2名女生，现从这4人中随机抽取2名学生进行项目介绍，请用树状图或列表的方法求所抽取2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】（1）5， （2）36 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查用画树状图求概率，频数分布表，由样本的所在的频率区间估算总体的数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先由“短道速滑”的频数及其所占频率求出样本容量，再用样本容量乘以“自由式滑雪”对应的频率即可得出a的值，用“冰壶”的频数除以样本容量即可求出b； （2）用乘以“冰壶”人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是2名男生的有2种结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：样本容量为 ∴， 故答案为： 5，； 【小问2详解】 解：“冰壶”对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：36 ． 【小问3详解】 解：画树状图为， 共有12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好是2名男生的有2种结果， 所以所抽取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出实数的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵，是关于的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵，即：， ∴， ∴， ∴或， 由（1）可知方程有实数根，， ∴应舍去， 即：． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元一次方程． 21. 如图，直线与的图象交于点与轴交于点 （1）求的值及直线的解析式； （2）若是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提． （1）把点代入可得m的值，确定点A的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）根据旋转的性质可知，，利用全等三角形的判定和性质得出，设出点D的坐标，表示出点的坐标，再得出反比例函数关系式求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入， ∴． ∴点， 设直线的关系式为， 将，代入得，． ∴． ∴直线的关系式为， 答：，． 【小问2详解】 解：如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为E，过点作轴，垂足为F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点D在直线上，可设点， 即，， ∴点， 又∵点在的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． 22. 如图，是的直径，点在上（点不与重合），直线交过点的切线于点，点为的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形的面积． 【解析】 【分析】（）连接，，根据圆周角定理得到求得 ，得到，根据切线的判定定理得到是的切线； （）根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，于是得到四边形的面积． 【小问1详解】 证明：连接，， ∵是的直径， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 （2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【小问1详解】 解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； 【小问2详解】 解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 24. 在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值． 【答案】（1）15°；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到，再由折叠的性质可得到； （2）由三等角证得，从而得，，再由勾股定理求出DE，则； （3）过点作于点，可证得．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解． 【详解】（1）∵矩形， ∴， 由折叠的性质可知BF=BC=2AB，， ∴， ∴， ∴ （2）由题意可得， ， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）过点作于点． ∴ 又∵ ∴． ∴． ∵，即 ∴， 又∵BM平分，， ∴NG=AN， ∴， ∴ 整理得：． 【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线交直线于点F，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点P的坐标为 （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （3）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由可得，， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ， ， ， ∵轴，轴， ， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； 【小问3详解】 解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ， 又 ∵， ， ， ， ， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ， ， 由， 解得或， ； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ， 同理可得直线解析式为， ， ， ， ， 联立， 解得或， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考査了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，轴对称的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $