精品解析：山西省朔州市怀仁市第一中学校2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题

怀仁一中2025~2026学年上学期高三年级摸底考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式求解确定，再结合交集运算即可求解. 【详解】 又， 可得， 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法以及实部的概念即可求解. 【详解】因为，所以，复数的实部为. 故选：A. 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【详解】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 4. 若直线与圆相切，则圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解. 【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为. 故选:C. 5. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】先求得公比，再由等比数列前项和公式计算． 【详解】数列的公比为，则由，，得， 解得（舍去，因为数列是正项等比数列）， 所以， 故选：C． 6. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式先得再根据平方和关系得，即可得解. 【详解】由， 可得为锐角， 可得. 故选：C. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，若函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数在上单调递减，得到在上单调增，从而将不等式转化为 ，再结合求得解集即可． 【详解】∵偶函数在区间上单调递减， ∴在区间上单调递增， ∵ ∴不等式等价于， ∴， 即或， 解得或． 故选：C． 8. 已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点在第一象限，先根据条件求出，再根据即可化简得出离心率. 【详解】由题意可知，，渐近线方程为， 因，不妨设点在第一象限， 则由，得，即， 因，则， 结合，得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. 取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的定义及求和公式一一计算判定即可. 【详解】由题意可得，， 则. 显然A正确，B错误； 令，即C正确； 结合二次函数的对称性及单调性可知或，取得最大值，即D错误. 故选：AC 10. 四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 四棱锥的体积为2 C. 在中，当时， D. 四棱锥的外接球表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据异面直线的定义判断A，根据锥体体积公式判断B，由条件确定点的位置，结合锥体体积公式，判断C，确定四棱锥的外接球的半径，结合球的表面积公式判断D. 【详解】对于A，因为平面，平面， 点不在直线上， 所以直线与直线为异面直线，A正确； 对于B，因为，，平面，， 所以平面， 又，，四边形为正方形， 所以四棱锥的高，底面面积为， 所以四棱锥的体积，B错误， 对于C，因为平面，平面， 所以，所以为直角三角形，又， 所以，又，，， 所以，所以，所以， 所以点到平面的距离为， 所以，C正确， 对于D，因为平面，平面， 所以， 因为，，平面，， 所以平面，又平面， 所以，故为直角三角形， 同理可证为直角三角形， 取的中点，则， 所以四棱锥的外接球的外接球的球心为， 所以四棱锥的外接球的半径为， 所以四棱锥的外接球得表面积，D正确， 故选：ACD. 11. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分类求解含参函数的单调性，判断选项A，结合选项A中单调性即可直接判断选项BC，根据等量关系直接求解，即可判断选项D. 【详解】对于A选项，， 当时，，单调递增，无极值点； 当时，得或，，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 此时有两个极值点，故A选项错误； 对于B选项，当，时， 由上述知，在上单调递增，在上单调递减， 则，故B选项正确； 对于C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，若有个零点， 则由单调性可知必然有，解得. 而当时，，， 在区间，，中分别各有一个零点，故C选项正确； 对于D选项，， 等价于或，，故D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用数量积的夹角坐标运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 【答案】60 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式，可求常数项. 【详解】展开式的通项为． 令，得，则的常数项为． 故答案为：． 14. 已知函数，若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数的最值得到的关系式，再由，结合诱导公式推得，进而利用三角函数的和差公式与倍解公式求得，从而得到的表达式，再次利用诱导公式即可得解. 【详解】由可知，当时，取得最大值， 所以，则， 又，即， 所以， 因为， 又，则， 所以，则，即， 解得（负值舍去），故， 所以，则， 则. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用整体法与诱导公式得到，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案； （2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，即， 因为，所以， 所以，解得. 所以. 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 200 （1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关? （2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）2×2列联表： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 有关； （2）分布列： X 0 1 2 3 4 P 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表，由独立性检验知识可以完成判断； （2）依据组合的知识、古典概型公式以及期望公式即可求解. 【小问1详解】 2×2列联表如下： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关． 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为苹果的大小达标和色泽达标有关； 【小问2详解】 按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果， 则一级果：（个），二级果：（个），三级果：（个） X的所有可能值为0，1，2，3，4， 所以， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的值域. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程，从而得解； （2）求导，对分类讨论，判断在区间上的单调性，进而计算可求得值域. 【小问1详解】 当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 19. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程． （2）过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出a，c，再根据a，b，c的关系求出b，从而确定椭圆的标准方程； （2）（i）联立直线方程和椭圆方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理及已知条件得到k与点Q坐标关系，进而确定Q的坐标；（ii）根据及韦达定理用k表示出面积，求出其最大值即可． 【小问1详解】 由椭圆的长轴长为4，焦距为2，可得，， 又由， 可得椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，设点A，B的坐标分别为，，点Q的坐标为， （i）联立方程消去y后整理为， 有，可得或， 又有，，可得， 直线的斜率为， 同理可得直线的斜率为， 又由直线与直线的斜率之和为0，有， 可化为， 有，有，由k的任意性可得， 故点Q的坐标为； （ii） 令，有， 有， 当且仅当时等号成立，此时， 故的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀仁一中2025~2026学年上学期高三年级摸底考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆相切，则圆的半径为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8 5. 设正项等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 65 6. 已知锐角满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在R上的偶函数，若函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，公差为，，，则（ ） A. B. C. 是数列中的项 D. 取得最大值时， 10. 四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 四棱锥的体积为2 C. 在中，当时， D. 四棱锥的外接球表面积为 11. 设，函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 若，则当时， C. 若有个零点，则的取值范围是 D. 若存在，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则向量的夹角的余弦值为______. 13. 二项式的展开式中的常数项为________． 14. 已知函数，若，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米则大小达标，着色度不低于90%则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 大小 光泽 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 合计 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 200 （1）完成上面的2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关? （2）小张按苹果的等级用分层抽样的方法从样本中抽取10个苹果，再从中随机抽取4个，设X表示抽到的一级果的个数，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）当时，求函数在区间上的值域. 19. 已知椭圆的长轴长为4，焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程． （2）过点作斜率为k的直线与椭圆相交于A，B两点，y轴上存在点Q使得直线与直线的斜率之和为0． （i）求点Q的坐标； （ii）求的面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $