精品解析：2025年辽宁省营口市大石桥市第一初级中学九年级中考三模数学试题

九年数学中考模拟试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负号的应用，向前空翻记作“”，则向后空翻记作“”，由此可解． 【详解】解：向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作， 故选：B． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解． 【详解】解：由题可知该几何体的主视图为 故选：B． 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，读懂题意，按照科学记数法的表示原则得到即可确定答案，表示时关键要正确确定的值以及的值．注意，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设函数解析式为：， 由图象可知：图象过点， ∴， ∴； 故选A． 5. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘法法则，完全平方公式，同类项的定义，熟练掌握整式的运算法则是解题关键． 运用积的乘方、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、同类项的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、与非同类项，无法计算，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 7. 共建“一带一路”倡议源于中国，机遇和成果属于世界，经过十多年的共同发展，一大批标志性项目和惠民生的“小而美”项目落地生根．中老铁路项目的建设就是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为千米／时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设汽车的速度为千米／时，则该铁路上动车的平均速度为千米／时，根据路出行较驾车出行用时缩短了约小时，列出方程，即可求解． 【详解】解：设汽车的速度为千米／时，则该铁路上动车的平均速度为千米／时，根据题意得 故选：D． 8. 如图，在内部取一点E，连接、、、．若时，恰有，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，得到，，设，分别表示出，利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理．熟练掌握平行四边形的性质，理清角度之间的关系，是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）． A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】连接AC，交y轴于点D，由四边形ABCO为菱形，得到对角线垂直且互相平分，得到三角形CDO面积为菱形面积的四分之一，根据菱形面积求出三角形CDO面积，利用反比例函数k的几何意义确定出k的值即可． 【详解】连接AC，交y轴于点D， ∵四边形ABCO为菱形， ∴AC⊥OB，且CD=AD，BD=OD， ∵菱形OABC的面积为8， ∴△CDO的面积为2， ∴|k|=4， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴k＜0， 则k=-4． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及菱形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键． 10. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴始终有两个交点 B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点 C. 该函数的图象过一定点 D. 该函数的图象的对称轴为直线 【答案】BC 【解析】 【分析】分两种情况考虑：时、时，结合一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质对选项进行判断即可． 【详解】解：当时， 一元二次方程中，， 该一元二次方程有两个不等实数根， 函数的图象与轴始终有两个交点； 当时， 函数，即为一次函数， 则该函数的图象与轴只有一个交点， 函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点， 选项错误，选项正确； 无论为何值，当时，， 函数（为常数）过定点；选项正确； 当时， 函数是一次函数，无对称轴，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分情况讨论：时及时． 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式、公式法因式分解；提公因式，然后根据平方差公式因式分解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 在不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，除颜色外都相同，从中随机取出一个后放回，再随机取出一个，则取出的两个球恰好都是黑球的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】画出树状图，共有16种可能的结果，其中取出的两个球恰好都是黑球的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ， 共有16种等可能的结果数，其中取出的两个球恰好都是黑球的结果有4种， 取出的两个球恰好都是黑球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 13. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由平行线的性质求出∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD，其对应角相等得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段的比值． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠EAB=∠EDC，∠EBA=∠ECD， ∴△EAB∽△EDC， ∴， 又∵AE=3，ED=5， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，线段的比值求法等相关知识的应用，重点掌握相似三角形的判定与性质． 14. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、作图—作角平分线，由勾股定理可得，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 如图，作于， ， 由作图可得：平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点作于， ∵四边形是矩形， ， ∴四边形为矩形，， ， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 如图 2，过点作与， 则四边形是矩形，， ， 由折叠可得， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； 综上，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题是一个实数与三角函数混合运算题．解题思路是分别根据绝对值的性质、负整数指数幂的运算法则、特殊三角函数值以及零指数幂的运算法则对各项进行化简，然后再进行加减运算． （2）本题是一个分式化简求值题．解题思路是先根据平方差公式、完全平方公式对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法进行约分，最后进行分式的减法运算化简式子，然后将的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：（1） ； （2） 当时， 原式 . 【点睛】本题主要考查了实数的运算、特殊三角函数值、零指数幂、负整数指数幂以及分式的化简求值，其中涉及平方差公式、完全平方公式、因式分解、分式的乘除法等知识点．熟练掌握这些知识点的运算法则是解题的关键． 17. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 18. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． （1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； （2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； 【小问2详解】 解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 19. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积大于12， ∴，即， 当时，则, 解得：， 当时，则， 解得：； ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1）4.2米；（2）14米 【解析】 【分析】（1）可得，在中由即可求AG； （2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解． 【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，， ∴，，． 在中，，， ∵，，． ∴（米） 答：屋顶到横梁的距离约是4.2米． （2）过点作于点，设， 在中，，， ∵，∴， 在中，，， ∵，∴． ∵， ∴， ∵，， 解得． ∴（米） 答：房屋的高约是14米． 【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． 21. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 22. 如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 【答案】（1）①；②40°；（2），；（3）或 【解析】 【分析】（1）①由推出，利用边角边即可证与全等，即可求出结果；②先证出与相等，分别加，，结果仍相等，即可得到； （2）证明与相似即可求出的值，再通过相似三角形对应角相等及三角形内角和定理即可证出的度数为； （3）分点点E在线段和线段延长线两种情况讨论，作于H，连接，由角直角三角形得，由勾股定理得，在中，，则，另一种情况同理可求解． 【详解】解：（1）①， ， ， 又，， ， ， ②设与交于点， 由①知，， ， ，， ， 故答案为：①；②； （2）中，，． ∴ 同理得： ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，， 在中，． （3）如图3-1中，作于H，连接， 在中，∵，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， 在中，， ∴， 同（2）可证明：， ∴， ∴， 如图3-2中，连接，作于H， 同法可得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，点A、D之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似的判定与性质，解直角三角形，利用勾股定理构造方程等，解题的关键是在图形的变换中要能够以不变应万变，找出图形中不变的特征． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． （1）求直线上的“倍点”的坐标； （2）已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 【答案】（1）直线上的“倍点”的坐标为； （2）； （3）m的值为或． 【解析】 【分析】（1）设直线上的“倍点”的坐标为，根据“t倍点”的定义得，，联立得，据此求解即可； （2）根据题意，是方程即的两个根，由根与系数的关系得，，求得，令，根据，，求得，再根据二次函数的性质即可求解； （3）先求得翻折图形的解析式为，联立，求得，，再分三种情况讨论，利用相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：设直线上的“倍点”的坐标为， 根据“t倍点”的定义得，， 又点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴直线上的“倍点”的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点，是抛物线上的两个“1倍点”， ∴，， 即，是方程的两个根，即， 由根与系数的关系得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 对于， ∵开口向上， ∴当时，； 当时，； 则； 【小问3详解】 解：使“倍点”的坐标为，则， 联立得， 解得或， ∴直线与抛物线的交点坐标为，， ∵， ∴顶点为，则就是抛物线的顶点， 设点关于的对称点为， ∴， ∴， ①当时，最多有两个实数根， ∴图象最多有两个“倍点”，不可能存在三个倍点”， ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； ③当时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去），； 综上，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，配方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年数学中考模拟试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作，则人形机器人向后进行10次空翻记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 共建“一带一路”倡议源于中国，机遇和成果属于世界，经过十多年的共同发展，一大批标志性项目和惠民生的“小而美”项目落地生根．中老铁路项目的建设就是“一带一路”的标志性体现，该铁路磨丁站与万象站相距约422千米，且较公路缩短了148千米，铁路出行较驾车出行用时缩短了约4.5小时，若该铁路上动车的平均速度是汽车的2倍．设汽车的速度为千米／时，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在内部取一点E，连接、、、．若时，恰有，则的度数为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y=的图象上，则k的值为（ ）． A. 8 B. -8 C. 4 D. -4 10. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴始终有两个交点 B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点 C. 该函数的图象过一定点 D. 该函数的图象的对称轴为直线 二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 在不透明的口袋中装有2个黑球和2个白球，除颜色外都相同，从中随机取出一个后放回，再随机取出一个，则取出的两个球恰好都是黑球的概率为_________． 13. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为 _____． 14. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点F，交于点E，分别以点E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点G，作射线交于点D．若，，则的长为______． 15. 矩形中，，，点P为边上一个动点，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 17. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 18. 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． （1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； （2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 19. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 20. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，） （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高（结果精确到）． 21. 如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 22. 如图，回答下列题： 【操作发现】 如图（1），在和中，，，，连接，交于点M． ①与之间的数量关系为_________； ②的度数为_________； 【类比探究】 如图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数． 【实际应用】 如图（3），是一个由两个都含有角的大小不同的直角三角板、组成的图形，其中，，绕点C转动其中较小的三角板，使得点D、E、B在同一直线上，，，请直接写出之间的距离． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是它横坐标的t倍（t是常数，且），我们称这个点为“t倍点”． （1）求直线上的“倍点”的坐标； （2）已知点，是抛物线上的两个“1倍点”，其中，实数，，设，求的取值范围； （3）如图，点为抛物线上一点，抛物线上部分的图象记为，将抛物线上部分的图象沿直线翻折得到的图象记为，由图象与组成的图象记为N，当图象N上存在三个“倍点”，，，且满足，，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $