第21章 一元二次方程 课后综合试题2025-2026学年人教版九年级数学上册

九年级数学试卷 第21章 一元二次方程 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．y2+3x＝2 D．（x+1）2＝2x2 2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 3．若x＝1是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3 4．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1 5．关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝p2+1的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（　　） A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50% 7．已知关于x的一元二次方程2x2﹣8x+3＝0有两个根为x1和x2，则2x1x2﹣x1﹣x2的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 8．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（k+1）x﹣k2＝0的两个根，下列结论一定正确的是（　　） A．x1≠x2 B．x1＝x2 C．x1，x2＞0 D．x1+x2＞0 9．已知a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根，则代数式a2﹣2a+b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．已知（k﹣2）x|k|+3x﹣1＝0是一元二次方程，则实数k＝　 　 ． 12．关于x的方程x2+4x+2c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2a＝0的一个解为x＝﹣1，则a的值为　 　 ． 14．已知方程x2﹣kx﹣7＝0的一个根是3，则另一个根是 　 　 ． 15．某村的“智慧春耕”让生产更高效，使A品种玉米亩产量从两年前的1000斤增长到了今年的1210斤，则该玉米亩产量年平均增长率为 　 　 ． 16．若a，b是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两个实数根，则的值　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解下列方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝3﹣x． 18．嘉嘉解一元二次方程x2﹣3x＝1的过程如下． 解：整理得x2﹣3x﹣1＝0，…① ∴a＝1，b＝3，c＝1，…② ∴Δ＝b2﹣4ac＝5＞0，…③ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，…④ ∴，．…⑤ （1）嘉嘉解方程的方法是 　 　 ，他的求解过程从第 　 　 步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．已知关于x的方程x2+（m+3）x+3m＝0． （1）若该方程的一个根为x＝1，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动全国青少年学生读书行动广泛深入开展，某学校计划逐步增加学校图书馆的图书数量．已知学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率． 21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+4）x+m+3＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两根，且，求m的值． 22．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2022年该市投入基础教育经费5000万元，2024年投入基础教育经费7200万元． （1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率． （2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影仪需1500元，则最多可购买电脑多少台？ 23．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+3x1•x2m？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 24．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：x2﹣3x+2＝0，方程的两个根分别是x1＝1，x2＝2； 第2个方程：x2﹣5x+6＝0，方程的两个根分别是x1＝2，x2＝3； 第3个方程：x2﹣7x+12＝0；方程的两个根分别是x1＝3，x2＝4； 第4个方程：x2﹣9x+20＝0；方程的两个根分别是x1＝4，x2＝5； … （1）请按照此规律写出两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程　 　 ． （2）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程x2x+1＝0是否是“邻根方程”． （3）已知关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 25．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”． （1）通过计算，判断x2﹣30x+200＝0是否是“倍根方程”； （2）若关于x的方程（x﹣4）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值； （3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+50＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C B B C D A A B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．﹣2． 12．c＜2． 13．﹣2． 14．． 15．10%． 16．． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝5， （x+1）2＝5， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1； （2）x（x﹣3）＝3﹣x， x（x﹣3）+x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 18．解：（1）嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 故答案为：公式法，②； （2）整理得x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0， ∴， ∴． 19．（1）解：把x＝1代入方程x2+（m+3）x+3m＝0得1+m+3+3m＝0， 解得m＝﹣1， 即m的值为﹣1； （2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4×3m ＝m2+6m+9﹣12m ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 20．解：设该学校图书馆这两年的年平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝﹣2.2（不符合题意，舍去），x2＝0.2＝20%， 答：这两年的年平均增长率为20%． 21．（1）证明：根据题意可得：a＝1，b＝m+4，c＝m+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2﹣4×1×（m+3）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根； （2）解：∵x1，x2是方程的两根， ∴x1+x2＝﹣（m+4）＝﹣m﹣4，x1•x2＝m+3， ∵， ∴x1x2（x1+x2）＝（m+3）（﹣m﹣4）＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝﹣4． 22．解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得， 5000（1+x）2＝7200， 整理得，500x2+10000x﹣2200＝0， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%． （2）第二年即2024年投入基础教育经费为7200（1+20%）＝8640（万元）＝86400000（元）， 设购买电脑y台，则购买实物投影仪（2000﹣y）台，根据题意，得， 3000y+1500（2000﹣y）≤86400000×5%， 解得y≤880， 答：最多可购买电脑880台． 23．解：（1）由题意，∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+1＝0有实数根， ∴m﹣2≠0，且Δ＝9﹣4（m﹣2）≥0． ∴m且m≠2． （2）由题意，∵一元二次方程为（m﹣2）x2﹣3x+1＝0， ∴x1+x2，x1x2． 又∵x1+x2+3x1•x2m， ∴3m． ∴m＝5或﹣3． 又∵结合（1）可得m且m≠2， ∴m＝﹣3． 24．解：（1）两个根分别是x1＝8，x2＝9的一元二次方程为x2﹣（8+9）x+8×9＝0，即x2﹣17x+72＝0， 故答案为：x2﹣17x+72＝0； （2）解x2x+1＝0得：x1，x2， ∵x1﹣x21， ∴方程x2x+1＝0是“邻根方程”； （3）设关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m＝0的两个根为t，t+1， ∴， 解得：或， 当时，关于x的方程x2﹣7x+12＝0的两个根为3，4， ∴直角三角形两边为3，4， ∴第三边为5或； 当时，关于x的方程x2﹣9x+20＝0的两个根为4，5， ∴直角三角形两边为4，5， ∴第三边为或3； 综上所述，直角三角形第三边为5或或或3． 25．解：（1）∵x2﹣30x+200＝0， ∴（x﹣10）（x﹣20）＝0， ∴x1＝10，x2＝20， ∴x2＝2x1， ∴x2﹣30x+200＝0是“倍根方程”； （2）∵（x﹣4）（x﹣m）＝0， ∴x1＝4，x2＝m， ∵关于x的方程（x﹣4）（x﹣m）＝0是“倍根方程”， ∴2m＝4或m＝2×4， 即m＝2或m＝8， 当m＝2时，m2+2m+2＝22+2×2+2＝10； 当m＝8时，m2+2m+2＝82+2×8+2＝82； （3）设较小的根为k，较大的为2k， 由题意得：， 解得：或， ∴m的值为17或﹣13． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$