第2章一元二次方程 单元练习卷-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第2章一元二次方程精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一.选择题(共8小题) 1.(2025春•阿城区期末)用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时,原方程可变形为( ) A.(x﹣8)2=25 B.(x﹣8)2=17 C.(x﹣4)2=25 D.(x﹣4)2=17 2.(2024秋•中牟县校级期末)方程(x﹣1)(x+3)=0的根是( ) A.x1=1,x2=3 B.x1=﹣1,x2=3 C.x1=1,x2=﹣3 D.x1=﹣1,x2=﹣3 3.(2025春•越城区期中)一元二次方程x2﹣4x+2=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=2 B.(x﹣2)2=2 C.(x﹣2)2=4 D.(x+2)2=4 4.(2025•磁县校级四模)已知一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1,x2,则x1+x2﹣x1x2的值为( ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 5.(2024秋•源城区期末)已知关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根,则m的取值范围是( ) A.m≤1 B.m<1 C.m≥1 D.m>1 6.(2025•丛台区校级三模)已知关于x的一元二次方程﹣x2+4ax+4=0,以下不正确的是( ) A.此方程必有实数根 B.若方程有一个根为2,则另一个根为﹣2 C.两根之积为﹣4 D.两根之和为﹣4 7.(2025•道外区三模)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644平方米,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( ) A.100 80﹣100x﹣80x=7644 B.(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644 C.(100﹣x)(80﹣x)=7644 D.100x+80x=356 8.(2025•昆明模拟)为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用超7200元,求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率.设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A.5000(1+x)2=7200 B.5000(1﹣x)2=7200 C.5000(1+2x)=7200 D.5000(1﹣2x)=7200 二.填空题(共8小题) 9.(2025•信阳模拟)若关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个实数根,则k的值可能是 .(写出一个即可) 10.(2024秋•海城市期末)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c=0无实数根,则c的取值范围是 . 11.(2024秋•叙州区期末)已知m、n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则代数式2m2+3n2﹣n﹣2的值是 . 12.(2025春•江阳区校级月考)定义(a,b,c)为方程ax2+bx+c=0的特征数.若特征数为(1,2k﹣2,k2﹣k)的方程的两实数根的平方和为12,则k的值为 . 13.(2025春•宿城区校级月考)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=﹣5,则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是 . 14.(2025•凉州区校级二模)若实数x,y,z满足条件,则xy﹣z的值是 . 15.(2025•新蔡县三模)对于实数m,n定义新运算:m※n=mn+m2.例如:3※5=3 5+32=24,若关于x的方程(2x)※1=a有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 . 16.(2024秋•泌阳县期末)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其它材料制成),则BC长为 m. 三.解答题(共8小题) 17.(2025•兰州一模)用配方法解方程:x2﹣4x﹣3=0. 18.(2024秋•城关区校级期末)解方程:4(x+1)2﹣8=0. 19.(2025春•东营区期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+3)x+3m=0. (1)求证:无论m取任何实数,方程总有实数根; (2)若等腰三角形的其中一边为4,另两边是这个方程的两根,求m的值. 20.(2024秋•江阳区期末)参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了36份合同,请问共有多少公司参加此次商品交易会? 21.(2025•南充模拟)关于x的一元二次方程(ax﹣1)2=x有两个实数根x1,x2. (1)求实数a的取值范围. (2)求代数式的最大值或最小值. 22.(2025•象州县二模)某小区新建一个三层停车楼,每一层布局如图所示.已知每层长为50米,宽30米.阴影部分设计为停车位,停车位的地面需要喷漆,其余部分是等宽的通道,已知每层喷漆面积为1196平方米. (1)求通道的宽是多少米? (2)据调查分析,小区停车场多余64个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,当每个车位的月租金上涨多少元时,既能优惠大众,又能使对外开放的月租金收入为14400元? 23.(2025•新宾县校级模拟)为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2022年该市投入基础教育经费5000万元,2024年投入基础教育经费7200万元. (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率. (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算,该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共2000台,调配给农村学校.若购买一台电脑需3000元,购买一台实物投影仪需1500元,则最多可购买电脑多少台? 24.(2025•梧州二模)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两根分别是x1,x2,根据求根公式可以推出x1+x2,x1x2. (1)运用:若一元二次方程2x2+x﹣1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2= . (2)类比探究:小芳同学发现.请你试证明:. (3)若x1,x2是关于x的方程x2+(m﹣1)xm2﹣1=0的两个实数根,且m﹣1,求m的值. 第2章一元二次方程精选题练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一.选择题(共8小题) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B C D D C A 一.选择题(共8小题) 1.(2025春•阿城区期末)用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时,原方程可变形为( ) A.(x﹣8)2=25 B.(x﹣8)2=17 C.(x﹣4)2=25 D.(x﹣4)2=17 【解答】解:x2﹣8x=9, 则x2﹣8x+16=9+16, ∴(x﹣4)2=25, 故选:C. 2.(2024秋•中牟县校级期末)方程(x﹣1)(x+3)=0的根是( ) A.x1=1,x2=3 B.x1=﹣1,x2=3 C.x1=1,x2=﹣3 D.x1=﹣1,x2=﹣3 【解答】解:由题知, (x﹣1)(x+3)=0, 则x﹣1=0或x+3=0, 所以x1=1,x2=﹣3. 故选:C. 3.(2025春•越城区期中)一元二次方程x2﹣4x+2=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=2 B.(x﹣2)2=2 C.(x﹣2)2=4 D.(x+2)2=4 【解答】解:∵x2﹣4x+2=0, ∴x2﹣4x=﹣2, ∴x2﹣4x+4=﹣2+4, ∴(x﹣2)2=2, 故选:B. 4.(2025•磁县校级四模)已知一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1,x2,则x1+x2﹣x1x2的值为( ) A.2 B.﹣2 C.8 D.﹣8 【解答】解:∵一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的两根为x1,x2, ∴,, ∴x1+x2﹣x1x2=3﹣(﹣5)=3+5=8, 故选:C. 5.(2024秋•源城区期末)已知关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根,则m的取值范围是( ) A.m≤1 B.m<1 C.m≥1 D.m>1 【解答】解:∵关于x的方程x2+2x+m=0没有实数根, ∴ =22﹣4m<0, ∴m>1, 故选:D. 6.(2025•丛台区校级三模)已知关于x的一元二次方程﹣x2+4ax+4=0,以下不正确的是( ) A.此方程必有实数根 B.若方程有一个根为2,则另一个根为﹣2 C.两根之积为﹣4 D.两根之和为﹣4 【解答】解:方程化为x2﹣4ax﹣4=0, ∵ =(﹣4a)2﹣4 (﹣4)=16a2+16>0, ∴方程有两个不相等的实数解,所以A选项的说法正确; ∵方程的两根之积为4, ∴若方程有一个根为2,则另一个根为﹣2,所以B、C选项的说法正确; 方程的两根之和为4a,所以D选项的说法错误. 故选:D. 7.(2025•道外区三模)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644平方米,则道路的宽应为多少米?设道路的宽为x米,则可列方程为( ) A.100 80﹣100x﹣80x=7644 B.(100﹣x)(80﹣x)+x2=7644 C.(100﹣x)(80﹣x)=7644 D.100x+80x=356 【解答】解:设道路的宽应为x米,由题意有 (100﹣x)(80﹣x)=7644, 故选:C. 8.(2025•昆明模拟)为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元,2022年用于购买图书的费用超7200元,求2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率.设2020年到2022年这两年买书资金的平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是( ) A.5000(1+x)2=7200 B.5000(1﹣x)2=7200 C.5000(1+2x)=7200 D.5000(1﹣2x)=7200 【解答】解:由题意得,5000(1+x)2=7200, 故选:A. 二.填空题(共8小题) 9.(2025•信阳模拟)若关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个实数根,则k的值可能是 1 .(写出一个即可) 【解答】解:∵关于x的方程x2﹣4x+k=0有两个实数根, ∴ =(﹣4)2﹣4 1 k=16﹣4k≥0, 解得:k≤4. 故答案为:1. 10.(2024秋•海城市期末)若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c=0无实数根,则c的取值范围是 c>1 . 【解答】解:由条件可知 =(﹣2)2﹣4c<0, 解得c>1. 故答案为:c>1. 11.(2024秋•叙州区期末)已知m、n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则代数式2m2+3n2﹣n﹣2的值是 10 . 【解答】解:由条件可知m2﹣m﹣2=0,n2﹣n﹣2=0,m+n=1, ∴m2=m+2,n2=n+2, ∴2m2+3n2﹣n﹣2 =2(m+2)+3(n+2)﹣n﹣2 =2m+4+3n+6﹣n﹣2 =2(m+n)+8 =2 1+8 =10, 故答案为:10. 12.(2025春•江阳区校级月考)定义(a,b,c)为方程ax2+bx+c=0的特征数.若特征数为(1,2k﹣2,k2﹣k)的方程的两实数根的平方和为12,则k的值为 ﹣1 . 【解答】解:根据题意可知,该方程为x2+(2k﹣2)x+k2﹣k=0, ∵方程的两实数根的平方和为12, ∴ =(2k﹣2)2﹣4(k2﹣k) =4k2﹣8k+4﹣4k2+4k =﹣4k+4≥0, ∴k≤1, 设两实数根为x1,x2,则x1+x2=﹣(2k﹣2),, ∵ ∴(2k﹣2)2﹣2(k2﹣k)=12, 整理得:k2﹣3k﹣4=0, 解得:k1=4,k2=﹣1, ∵k≤1, ∴k=﹣1, 故答案为:﹣1. 13.(2025春•宿城区校级月考)若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=﹣5,则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是 y1=2,y2=﹣6 . 【解答】解:设t=y+1, 则原方程可化为at2+bt+c=0, ∵关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3,x2=﹣5, ∴t1=3,t2=﹣5, ∴y+1=3或y+1=﹣5, 解得y1=2,y2=﹣6. 故答案为:y1=2,y2=﹣6. 14.(2025•凉州区校级二模)若实数x,y,z满足条件,则xy﹣z的值是 14 . 【解答】解:由条件可得: , ∴, ∴, ∴,,, ∴,,, ∴x=4,y=5,z=6, ∴xy﹣z=20﹣6=14. 故答案为:14. 15.(2025•新蔡县三模)对于实数m,n定义新运算:m※n=mn+m2.例如:3※5=3 5+32=24,若关于x的方程(2x)※1=a有两个不相等的实数根,则a的取值范围是 a . 【解答】解:∵(2x)※1=a, ∴2x+4x2=a, 方程化为一般式为4x2+2x﹣a=0, ∵方程有两个不相等的实数根, ∴ =22﹣4 4 (﹣a)>0, 解得a, 故答案为:a. 16.(2024秋•泌阳县期末)如图,小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5m)的矩形鸭舍,其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门(由其它材料制成),则BC长为 5 m. 【解答】解:设BC长为x m,则AB的长为(10+1﹣x)m, 根据题意得:(10+1﹣x)x=15, 解得:x1=5,x2=6(不符合题意,舍去), 即BC长为5m, 故答案为:5. 三.解答题(共8小题) 17.(2025•兰州一模)用配方法解方程:x2﹣4x﹣3=0. 【解答】解:移项得x2﹣4x=3, 配方得x2﹣4x+4=3+4,即(x﹣2)2=7, 开方得x﹣2= , 所以x1=2,x2=2. 18.(2024秋•城关区校级期末)解方程:4(x+1)2﹣8=0. 【解答】解:由题知, 4(x+1)2﹣8=0, 4(x+1)2=8, (x+1)2=2, 则x+1, 所以. 19.(2025春•东营区期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+3)x+3m=0. (1)求证:无论m取任何实数,方程总有实数根; (2)若等腰三角形的其中一边为4,另两边是这个方程的两根,求m的值. 【解答】(1)证明: =[﹣(m+3)]2﹣4 1 3m=m2﹣6m+9=(m﹣3)2. ∵(m﹣3)2≥0,即 ≥0, ∴无论m取任何实数,方程总有实数根; (2)解:当腰为4时, 把x=4代入x2﹣(m+3)x+3m=0, 得,16﹣4m﹣12+3m=0,解得m=4; 当底为4时, 则程x2﹣(m+3)x+3m=0有两相等的实数根, ∴ =0, ∴(m﹣3)2=0, ∴m=3, 综上所述,m的值为4或3. 20.(2024秋•江阳区期末)参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司共签订了36份合同,请问共有多少公司参加此次商品交易会? 【解答】解:设共有x家公司参加此次商品交易会, 根据题意得:x(x﹣1)=36, 整理得:x2﹣x﹣72=0, 解得:x1=9,x2=﹣8(不符合题意,舍去). 答:共有9家公司参加此次商品交易会. 21.(2025•南充模拟)关于x的一元二次方程(ax﹣1)2=x有两个实数根x1,x2. (1)求实数a的取值范围. (2)求代数式的最大值或最小值. 【解答】解:(1)由条件可得a2x2﹣(2a+1)x+1=0. ∵有两个实数根x1,x2, =(2a+1)2﹣4a2 =4a+1≥0, ∴, 同时,二次系数a2≠0,即a≠0, ∴a的取值范围为,且a≠0; (2)由根系关系,得. ∴令 =a2﹣2a﹣1+1 =a2﹣2a=(a﹣1)2﹣1. 当a=1时,y最小=﹣1. 22.(2025•象州县二模)某小区新建一个三层停车楼,每一层布局如图所示.已知每层长为50米,宽30米.阴影部分设计为停车位,停车位的地面需要喷漆,其余部分是等宽的通道,已知每层喷漆面积为1196平方米. (1)求通道的宽是多少米? (2)据调查分析,小区停车场多余64个车位可以对外出租,当每个车位的月租金为200元时,可全部租出;当每个车位的月租金每上涨10元,就会少租出1个车位,当每个车位的月租金上涨多少元时,既能优惠大众,又能使对外开放的月租金收入为14400元? 【解答】解:(1)设通道的宽是x米, 由题意列方程得,(50﹣2x)(30﹣2x)=1196, 整理得,4x2﹣160x﹣304=0, 解得x1=2,x2=38(不符合题意,舍去), 答:通道的宽是2米. (2)设每个车位的月租金上涨y元, 由题意得,, 解得y1=40,y2=400, 又∵能优惠大众, ∴y=40, 答:当每个车位的月租金上涨40元时,既能优惠大众,又能使对外开放的月租金收入为14400元. 23.(2025•新宾县校级模拟)为进一步促进义务教育均衡发展,某市加大了基础教育经费的投入,已知2022年该市投入基础教育经费5000万元,2024年投入基础教育经费7200万元. (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率. (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算,该市计划2025年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共2000台,调配给农村学校.若购买一台电脑需3000元,购买一台实物投影仪需1500元,则最多可购买电脑多少台? 【解答】解:(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x,根据题意,得, 5000(1+x)2=7200, 整理得,500x2+10000x﹣2200=0, 解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不符合题意,舍去), 答:该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%. (2)第二年即2024年投入基础教育经费为7200(1+20%)=8640(万元)=86400000(元), 设购买电脑y台,则购买实物投影仪(2000﹣y)台,根据题意,得, 3000y+1500(2000﹣y)≤86400000 5%, 解得y≤880, 答:最多可购买电脑880台. 24.(2025•梧州二模)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)的两根分别是x1,x2,根据求根公式可以推出x1+x2,x1x2. (1)运用:若一元二次方程2x2+x﹣1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2= . (2)类比探究:小芳同学发现.请你试证明:. (3)若x1,x2是关于x的方程x2+(m﹣1)xm2﹣1=0的两个实数根,且m﹣1,求m的值. 【解答】解:(1)一元二次方程的两根分别是x1,x2,则, 故答案为:; (2)证明:由题意可得,, ∴; (3)∵x1,x2是关于x的方程的两个实数根, ∴x1+x2=1﹣m,,, ∴,, 整理得m2﹣6m+8=0, 解得m1=2,m2=4, ∴m=2. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$