精品解析：福建省福州市长乐区夏威实验学校2024—2025学年下学期八年级第二次月考数学试卷

2024-2025学年福建省福州市长乐区夏威实验学校八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A. 10 B. 2 C. 2 D. 4.8 3. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（　　） A. BC B. BA C. BD D. CD 4. 直线y＝﹣2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（　　） A. y＝﹣2x+3 B. y＝﹣3x+2 C. y＝﹣x+2 D. y＝﹣2x+1 5. 方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 6. 为迎接建党一百周年，某班开展“我最想看的红色电影”投票活动，参选的五部电影的得票数分别是9，10，11，11，8，则这组得票数据的中位数，众数分别是（　　） A. 10，11 B. 11，10 C. 11，11 D. 10.5，11 7. 若一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降，则k的值可以是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 8. 在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC ＝， ∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（ ） A. BO ＝BC B. OC＝BC C. 四边形ABCD 是菱形 D. 四边形ABCD 是矩形 9. 已知，是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：__． 12. 在中，，分别是边，的中点，若，则的长是______． 13. 若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则a﹣的值是 _____． 14. 已知关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣2，则直线y＝kx+b不经过的象限 _______． 15. 若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 18. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度． 19. 如图，直线：与直线：相交于点P． （1）求点P的坐标： （2）根据图象，求出当时，x的取值范围． 20. 如图，的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，，求证：四边形OCED是矩形． 21. 关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为1，求m的值． 22. 每年的3月15日是“全国反诈骗宣传日”，旨在提高人们的防范意识．为增强居民的反诈骗意识，两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 信息一：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； 小区20名居民成绩的频数分布直方图 信息二：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是：81 82 83 85 87 88 89 信息三：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下： 分数 63 71 72 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全信息一的频数分布直方图； （2）小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是________；小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是________； （3）你认为哪个小区的成绩更好？请用平均数说明理由． 23. 【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 24. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 25. 已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上． （1）当时， ①求点的坐标； ②点在直线上，且，若，求点的坐标； （2）设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福建省福州市长乐区夏威实验学校八年级（下） 第二次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握被开方数为整数且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，符合题意； B．，不符合题意； C．的被开方数是小数，因此不是最简二次根式不符合题意； D．的被开方数是分数，因此不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．若a＝6，b＝8，则c的值是（　　） A. 10 B. 2 C. 2 D. 4.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理，c为斜边，代入公式即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8， 由勾股定理得：c＝＝10， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，正确判断斜边，代入公式计算是解决本题的关键． 3. 在菱形ABCD中，与AC互相垂直的线段是（　　） A. BC B. BA C. BD D. CD 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直判断即可． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解题关键是熟记菱形性质，准确进行判断． 4. 直线y＝﹣2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是（　　） A. y＝﹣2x+3 B. y＝﹣3x+2 C. y＝﹣x+2 D. y＝﹣2x+1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像的平移规则“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：直线y＝﹣2x+2向下平移1个单位长度得到的直线的解析式是y＝﹣2x+2﹣1， 即y＝﹣2x+1． 故选：D． 【点睛】此题考查了函数图像的平移规则，熟练掌握函数图像的平移规则是解题的关键． 5. 方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵x2﹣2x＝0， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程x2﹣2x＝0有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 为迎接建党一百周年，某班开展“我最想看的红色电影”投票活动，参选的五部电影的得票数分别是9，10，11，11，8，则这组得票数据的中位数，众数分别是（　　） A. 10，11 B. 11，10 C. 11，11 D. 10.5，11 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的求解方法，求解即可． 【详解】解：将这五部电影得票数从小到大排列，处在中间位置的一个数是10，因此中位数是10， 这五部电影得票数出现次数最多的是11，共出现2次，因此众数是11， 故选：A． 【点睛】此题考查了中位数和众数的求解，掌握它们的求解方法是解题的关键． 7. 若一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降，则k的值可以是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图像性质可知k＋1<0，从而求出k的范围进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数y＝（k+1）x﹣2的图象从左向右下降， ∴k+1＜0，解得k＜﹣1， ∴k可以取﹣2． 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一次函数增减性求参数，熟悉一次函数中k对函数增减性的影响是解决本题的关键． 8. 在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC ＝， ∠BOC＝，若关于的函数解析式是，则下列说法正确的是（ ） A. BO ＝BC B. OC＝BC C. 四边形ABCD 是菱形 D. 四边形ABCD 是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证∠OCB=α°，则∠DBC=∠OCB，得OB=OC，然后得AC=BD，即可得出结论． 【详解】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵∠DBC=α°，∠BOC=β°，β=180-2α， ∴2α°+β°=180°， ∵∠DBC+∠BOC+∠OCB=180°， 即α°+β°+∠OCB=180°， ∴∠OCB=α°， ∴∠DBC=∠OCB， ∴OB=OC， ∴AC=BD， ∴▱ABCD是矩形， 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质． 9. 已知，是直线上的相异两点，若，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由（x1-x2）（y1-y2）＜0可得出y随x的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-1＜0，解之即可得出m的取值范围． 【详解】解：∵（x1-x2）（y1-y2）＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴m-1＜0， ∴m＜1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是AD边的中点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折至△FBE，延长EF交CD于点G，则CG的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接BG，根据折叠的性质和正方形的性质可得AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C，即可证明Rt△BFG≌Rt△BCG得到FG＝CG，设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x，在Rt△DEG中，由勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝DC＝4，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， 由折叠的性质可得，AB＝BF＝BC＝4，AE＝FE＝AD＝2＝DE，∠A＝∠BFE＝90°＝∠C， ∵∠BFE+∠BFG＝180°， ∴∠C＝∠BFG＝90°， 又∵BG＝BG， ∴Rt△BFG≌Rt△BCG（HL）， ∴FG＝CG， 设CG＝FG＝x，则DG＝4﹣x，EG＝2+x， 在Rt△DEG中，由勾股定理得， EG2＝DE2+DG2， ∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2， 解得x＝， 即CG＝， 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 化简：__． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是关键． 直接利用二次根式的性质“”化简求出即可． 【详解】解： 故答案为：5． 12. 在中，，分别是边，的中点，若，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可求得DE． 【详解】解：∵D，E分别是、的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE=AC=×4=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，熟记三角形的中位线等于第三边的一半是解决问题的关键． 13. 若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则a﹣的值是 _____． 【答案】-1 【解析】 【分析】把x=a代入方程x2+x﹣1＝0有a2+a﹣1＝0，变形得a+1＝0，即可求出结果． 【详解】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴a2+a﹣1＝0， 方程左右两边同时除以a，得：a+1＝0， ∴a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子从而得解． 14. 已知关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣2，则直线y＝kx+b不经过的象限 _______． 【答案】第一象限 【解析】 【分析】由已知不等式的解集确定出k与b的正负，利用一次函数性质判断即可． 【详解】解：∵关于x的不等式kx+b＞0（k≠0）的解集为x＜﹣2， ∴k＜0，b＜0， ∴直线y＝kx+b不经过的象限是第一象限． 故答案为：第一象限． 【点睛】此题考查了不等式的解集，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 15. 若一组数据的方差为，则这组数据的众数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差、众数，熟练掌握方差公式是解题的关键．根据方差公式中的系数，确定每个数据出现的次数，从而得到原数据为：，，，，，，，再根据众数的定义即可解答． 【详解】解：由方差可知， 数据点出现次，出现次，出现次，出现次， 因此原数据为：，，，，，，， 其中出现次，次数最多，则众数为， 故答案为：． 16. 如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点，连接，以为边做等腰直角三角形，，过点作线段轴，直线与直线交于点，且，直线与直线交于点，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，由两点坐标公式求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ，， ， 设，， ， ， 则， ，即． 直线， ， 点 ， 在中，由勾股定理得：， 则的坐标是， 设直线的解析式是， 把代入得：， 即直线的解析式是， 组成方程组 解得： 点，， 故答案为：，． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 合并同类项，得， 配方法，得， 即， ∴ ， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点灵活选用解法是解题的关键． 18. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度． 【答案】芦苇长13尺 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 首先设水池的深度为尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程，再解即可． 【详解】解：设水池的深度为尺， 由题意得： 解得：， 则， 答：芦苇长13尺． 19. 如图，直线：与直线：相交于点P． （1）求点P的坐标： （2）根据图象，求出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式求出x、y的值即可得到答案； （2）找到直线的函数图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：联立，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象上方时，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了求两直线的交点坐标，一次函数与不等式之间的关系等等，正确求出两直线的交点坐标是解题的关键． 20. 如图，的对角线AC， BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO= 1， BO=2，，求证：四边形OCED是矩形． 【答案】 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=， ∵将△ABO平移到△DCE， ∴AO=DE=1，BO=CE=2， ∴CO=DE，DO=CE， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵CO2+DO2=1+4=5，CD2=5， ∴CO2+DO2=CD2， ∴∠COD=90°， ∴平行四边形OCED是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，AB=CD=，由平移的性质可得AO=CO=DE=1，DO=CE=BO=2，可证四边形OCED是平行四边形，由勾股定理的逆定理可证∠COD=90°，可得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明∠COD=90°是本题的关键． 21. 关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根为1，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴， ∵在实数范围内，m无论取何值，都有，即． ∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，计算得出，即可得证； （2）将代入方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程， 可得， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，掌握以上知识是解题的关键． 22. 每年的3月15日是“全国反诈骗宣传日”，旨在提高人们的防范意识．为增强居民的反诈骗意识，两个小区的居委会组织小区居民进行了有关反诈骗知识的有奖问答活动．现从小区参加这次有奖问答活动居民的成绩中各随机抽取20个数据，分别对这20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 信息一：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）； 小区20名居民成绩的频数分布直方图 信息二：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据在这一组的是：81 82 83 85 87 88 89 信息三：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据如下： 分数 63 71 72 85 88 91 92 94 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全信息一的频数分布直方图； （2）小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是________；小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是________； （3）你认为哪个小区的成绩更好？请用平均数说明理由． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如图所示 ：    ； （2）88.5；94 （3）小区的平均成绩更好， 理由如下： ， ， ∵， ∴小区的平均成绩更好． 【解析】 【分析】（1）用样本容量减去其他四组的频数，可得的频数，进而补全频数分布直方图即可得到答案； （2）根据中位数和众数的定义解答即可； （3）先分别求出小区、小区成绩的平均数，再进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：小区“”的频数为：， 【小问2详解】 解：小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的中位数是：， 小区参加有奖问答活动的20名居民成绩的数据的众数是：94， 故答案为：88.5，94； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是频数分布直方图、求中位数、求众数、根据平均数做决策，读懂统计图，熟练掌握中位数、众数的定义，是解题的关键． 23. 【综合与实践】杆秤是一种生活中常见的称重工具，它的设计巧妙地运用了物理原理，使得测量物体质量变得简单而准确．杆秤的物理原理，包括杠杆原理、力的平衡以及刻度与读数等方面的内容．某兴趣小组想利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：．其中秤盘质量克，重物质量克，秤砣质量克，秤纽与秤盘的水平距离为厘米，秤纽与零刻线的水平距离为厘米，秤砣与零刻线的水平距离为厘米． 【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为克，零刻线与末刻线的距离定为厘米． 任务一：确定和的值． 当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡； 当秤盘放入质量为克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡； （1）求和的值． 任务二：确定刻线的位置． （2）根据任务一，求关于的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）依据题意，又当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡；当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，可得,且，进而计算可以得解； （2）依据题意，由（1）可知：，，则，进而可以得解． 【详解】解：（1）由题意得：，， 当，时，， ； 当，时，， ； 联立①②可得， 解得． （2）由（1）可知：，， ∴， ∴． ∴关于的函数解析式为． 24. 完成以下问题 （1）正方形，分别在边上（不与端点重合），，与交于点． 如图（），若平分，直接写出线段，，之间等量关系； 如图（），若不平分，中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由 （2）如图（），矩形，，．点分别在边上，，，求的长度． 【答案】（1）； 成立：，证明如下： 如图（），延长到点，截取，连接， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在与中， ∵， ∴， ∴， （2）． 【解析】 【分析】（）由四边形是正方形，得，，，证明，则，，所以，然后通过角平分线性质即可求解； 延长到点H，截取，连接，证明和即可求解； （）取，的中点，，连接，连接，证明四边形是正方形，由勾股定理得，由（）同理得：，设，则，，通过勾股定理求出，即，则，过作于点，再证明四边形是矩形，所以，然后证明，所以，再通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图（）， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∴； 略 【小问2详解】 解：如图，取，的中点，，连接，连接， ∵，， ∴，， ∴四边形是正方形， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 由（）同理得：， 设，则，， 在中，， ∴， ∴，即， ∴， 过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 已知直线：分别与轴、轴交于两点，点在轴上． （1）当时， ①求点的坐标； ②点在直线上，且，若，求点的坐标； （2）设是直线上的定点，直线交轴于点，若轴上存在点，使四边形为平行四边形，求的值． 【答案】（1）①点的坐标分别为，；②点的坐标为 （2）16 【解析】 【分析】（1）当时，，①分别令和，进行计算即可得到点的坐标；②设点的坐标为，分三种情况：当点在第一象限时；当点在第四象限时；当点在第二象限时，分别进行计算求解，即可得到答案； （3）连接交轴于点，过点作轴于点，由题意可得点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点，根据平行四边形的性质可得，通过证明可得，，从而得到，设点的坐标为，则，从而得到点的坐标，有待定系数法可求出直线的解析式，从而得到点的坐标，最后进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，直线的解析式为， ①当时，；当时，，则， ∴点的坐标分别为，， ②设点的坐标为， 当点在第一象限时， ， ，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第四象限时， ， ，点的坐标分别为，， ，， ， ，， ∵， ∴， 解得：， 点的坐标为； 当点在第二象限时， ， ，， ， ∴不存在， 综上所述点的坐标为或； 【小问2详解】 解：如图，连接交轴于点，过点作轴于点， ， ∵是直线上的定点， ∴点坐标为， 直线与轴交于点，与轴交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ∴，， ∴，， ∵， ∴点在轴的负半轴， ∴， 设点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 根据，可求出直线的解析式为：， ∴直线与轴交于点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，采用数形结合的思想解题，是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $