精品解析：北京市海淀区精诚教育海淀学部2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

北京市海淀区精诚教育海淀学部2024-2025学年下学期6月月考八年级数学试题 本卷满分100分，用时90分钟 一、单选题（8小题，共16分，每小题2分） 1. 下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，， B. 1，， C. 4，5，6 D. 3，4，6 2. 二次根式中，字母 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是( ) A. AB∥CD B. OA=OC C. ∠ABC+∠BCD＝180° D. AB=BC 4. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ） A. 160 B. 165 C. 170 D. 175 5. 如图， 三点在边长为1的正方形网格的格点上，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 7. 甲、乙两人在直线跑道上同时出发同方向匀速步行至同一终点，先到终点的人原地休息．出发时甲在乙前方 米处．在步行过程中，甲、乙两人的距离 （米）与甲的步行时间 （秒）之间的关系如图所示，则当时，下列描述正确的是（ ） A. 乙比甲多步行了 米 B. 乙步行了 米 C. 甲在乙的前方 米处 D. 乙先到达终点 8. 正比例函数的函数值 随 的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（8小题，共16分，每小题2分） 9. 若，则__． 10. 某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为 分和 分，面试成绩和笔试成绩的权分别是 和 ，则甲的最终成绩为______分． 11. 如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=______． 12. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断,若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为________m． 13. 甲市到乙市的包裹邮资为每千克 元，每件另加手续费元，则总邮资 （元）与包裹重量 （千克）之间的函数关系式是：________． 14. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____． 15. a和b互为相反数，并且它们的绝对值最小，则______， ______． 16. 如图， 过矩形 对角线的交点O，且分别交 、 于E、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的_______． 三、解答题（共18分） 17. 计算：． 18. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90，AB=4米，BC=3米，CD=12米，AD=13米，请计算这块土地的面积． 19. 如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB CD．求证：四边形BECF是平行四边形． 四、解答题（共七道大题，共50分） 20. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y=x的图象相交于点(2,a), (1)求a的值； (2) 求一次函数解析式. 21. 某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加学校数学竞赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下： 次数 1 2 3 4 5 甲 79 86 82 85 83 乙 88 79 90 81 77 回答下列问题： （1）请分别求出甲、乙两同学测试成绩的平均数； （2）经计算知，，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 22. 暑假期间某中学校长决定带领市级三好学生去北京旅游，甲旅行社承诺：如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠；乙旅行社承诺：包括校长在内所有人按全票的6折优惠．全票价为240元/人． （1）设学生数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别求出两个旅行社收费的表达式； （2）当有学生20人时，选择哪家旅行社更优惠? 23. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交于点 ，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，求 的长． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣2x+a与y轴交于点C （0，6），与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式； 25. 近几年，昆明积极推进花卉景观大道建设，截至目前，主城区主干道已经陆续有100多条道路，形成了一定规模的花卉景观效果，展现了“春城无处不飞花”的城市景观．环湖路沿线准备种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米80元． （1）请求出甲种花卉y与x之间的函数关系式； （2）已知甲、乙两种花卉的种植面积共，甲种花卉的种植面积不少于．若甲种花卉种植面积不超过乙种花卉种植面积的2倍，设种植总费用为w元，求出w与甲种花卉种植面积x之间的函数关系式及w的最小值． 26. 在平面直角坐标系 中，已知点 不与原点重合．对于点 给出如下定义：点 关于点 的对称点为，点关于直线 的对称点为 ，称点 是点 关于点 的“转称点”． （1）如图，已知点，点 是点 关于点 的“转称点”． ①当 时，在图中画出点 的位置，并直接写出点 的坐标； ② 的长度是否与 有关?若无关，求 的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点 按逆时针方向排列），点 是点 关于点 的“转称点”，在 绕点A旋转的过程中，当 最大时，直接写出此时 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市海淀区精诚教育海淀学部2024-2025学年下学期6月月考八年级数学试题 本卷满分100分，用时90分钟 一、单选题（8小题，共16分，每小题2分） 1. 下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，， B. 1，， C. 4，5，6 D. 3，4，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断能否构成直角三角形，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能作为直角三角形三边长，符合题意； B、边长不能为负数，不符合题意； C、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； 故选A． 2. 二次根式中，字母 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故选： ． 3. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列式子中不一定成立的是( ) A. AB∥CD B. OA=OC C. ∠ABC+∠BCD＝180° D. AB=BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：由平行四边形的性质可知： 平行四边形对边平行，故A一定成立，不符合题意； 平行四边形的对角线互相平分；故B一定成立，不符合题意； 平行四边形对边平行，所以邻角互补，故C一定成立，不符合题意； 平行四边形的邻边不一定相等，只有为菱形或正方形时才相等，故D不一定成立，符合题意. 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 4. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（ ） A. 160 B. 165 C. 170 D. 175 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义直接解答即可． 【详解】解：把这些数从小到大排列，中位数是第8个数， 则这些运动员成绩的中位数为165cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义． 5. 如图， 三点在边长为1的正方形网格的格点上，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论． 【详解】连接BC， 由勾股定理得：，，， ∵， ∴，且AB=BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠BAC=45°， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形性质和判定．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 7. 甲、乙两人在直线跑道上同时出发同方向匀速步行至同一终点，先到终点的人原地休息．出发时甲在乙前方 米处．在步行过程中，甲、乙两人的距离 （米）与甲的步行时间 （秒）之间的关系如图所示，则当时，下列描述正确的是（ ） A. 乙比甲多步行了 米 B. 乙步行了 米 C. 甲在乙的前方 米处 D. 乙先到达终点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：根据题意和函数图像可知，当时，乙已经到达终点，此时甲、乙两人的距离为，即乙比甲多步行了36米，故选项 、 、 均不合题意，选项 符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 8. 正比例函数的函数值 随 的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得k的取值范围，再求出于x轴的交点坐标和与y轴的交点坐标，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值 随 的增大而增大， ∴ ， 当 时，一次函数， ∴一次函数与y轴交于负半轴， 当 时，一次函数，解得：， ∴一次函数与x轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数和一次函数的k值大于0时， 随 的增大而增大，反之， 随 的增大而减小． 二、填空题（8小题，共16分，每小题2分） 9. 若，则__． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而可求出y的值，然后代入计算即可； 【详解】解：由题意得：，且， 解得： ， 则， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 10. 某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为 分和 分，面试成绩和笔试成绩的权分别是 和 ，则甲的最终成绩为______分． 【答案】84 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得． 【详解】解：甲的最终成绩为（分 ． 故答案为：84． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 11. 如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=______． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是利用折叠得到等角关系，结合平行线的性质求出角度． 由折叠性质得与折叠后对应角相等，根据纸条上下边平行的性质得到相关角的度数，再通过角的倍数关系计算∠1的度数． 【详解】解：根据折叠性质， 又由纸条对边平行得，即， 解得： 故答案为 12. 如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断,若木杆折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为________m． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离. 【详解】 一颗垂直于地面的木杆在离地面处折断，木杆折断前的高度为， 木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离为. 故答案为： . 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力. 13. 甲市到乙市的包裹邮资为每千克 元，每件另加手续费 元，则总邮资 （元）与包裹重量 （千克）之间的函数关系式是：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，总邮资 （元）等于 元和重量 （千克）的乘积，加上手续费 元，由此列关系式即可得到答案． 【详解】根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 14. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，以及中点的定义可得DE=AF=AC，EF=AD=AB，再根据四边形的周长的定义计算即可得解. 【详解】解：∵在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点， ∴DE=AF=AC=2.5，EF=AD=AB=1.5， ∴四边形ADEF的周长是(2.5+1.5)×2=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，中点的定义以及四边形周长的定义． 15. a和b互为相反数，并且它们的绝对值最小，则______， ______． 【答案】 ①. 0 ②. 0 【解析】 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义．根据相反数和绝对值的意义即可求解． 【详解】解：∵a和b互为相反数， ∴， ∵它们的绝对值最小，, ∴， ∴ ， ， 故答案为：0，0． 16. 如图， 过矩形 对角线的交点O，且分别交 、 于E、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ （对角线互相平分且相等）， ． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 三、解答题（共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先把各二次根式化成最简二次根式，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的运算，涉及绝对值、二次根式化简等知识点．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等知识点的运算． 18. 如图，有一块土地形状如图所示，∠B=90，AB=4米，BC=3米，CD=12米，AD=13米，请计算这块土地的面积． 【答案】36平方米 【解析】 【分析】根据直角三角形的勾股定理可得到斜边AC的长为5，再根据勾股定理的逆定理可得到三角形ACD是直角三角形，最后分别计算这两个直角三角形的面积求和即可. 【详解】在直角三角形ABC中根据勾股定理可得： 在三角形ACD中，有 所以三角形ACD是以AD为斜边的直角三角形 故土地面积为两个直角三角形的面积和 即 所以这块土地的面积为36平方米. 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，勾股定理为：在直角三角形中，两个直角边长度的平方和等于斜边长度的平方；勾股定理的逆定理为：若一个三角形两边长度的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形. 19. 如图，在线段AD上有两点E，F，且AE＝DF，过点E，F分别作AD的垂线BE和CF，连接AB，CD，BF，CE，且AB CD．求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明BE∥CF，证明△AEB≌△DFC，可得BE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠BEF＝∠CFE＝∠CFD＝90°， ∴BE∥CF， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， 在△AEB和△DFC中， ， ∴△AEB≌△DFC（ASA）， ∴BE＝CF， ∵BE∥CF， ∴四边形BECF是平行四边形． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，平行四边形的判定，掌握利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 四、解答题（共七道大题，共50分） 20. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y=x的图象相交于点(2,a), (1)求a的值； (2) 求一次函数解析式. 【答案】(1)a=1；(2)y=2x-3. 【解析】 【分析】（1）直接把点（2，a）代入y=x可求出a，从而得到a的值为1； （2）把点（-1，-5）和点（2，1）代入y=kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组即可． 【详解】(1)把(2,a)代入y=x得a=1； (2)把(−1,−5)、(2,1)代入y=kx+b得， ， 解得； ∴一次函数解析式为：y=2x-3. 故答案为(1)a=1；(2)y=2x-3. 【点睛】本题考查两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系，用待定系数法是解题的关键. 21. 某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加学校数学竞赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单位：分）如下： 次数 1 2 3 4 5 甲 79 86 82 85 83 乙 88 79 90 81 77 回答下列问题： （1）请分别求出甲、乙两同学测试成绩的平均数； （2）经计算知，，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由． 【答案】（1）83，83；（2）选拔甲参加比赛更合适，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出甲乙两人各自的总成绩再除以测试次数即可；（2）方差越小数据越稳定，结合两人的平均分及方差可判断谁更合适. 【详解】解：（1）甲的平均分为 乙的平均分为： （2）选拔甲参加比赛更合适，因为甲、乙两人的平均分相同.说明两人水平差不多，而，说明甲比乙发挥稳定，所以选拔甲参加比赛更合适 【点睛】本题主要考查了平均数和方差，平均数常用来反映数据的总体趋势，方差用来反映数据的稳定性，方差越小越稳定，熟练掌握平均数的定义及方差的含义是解题的关键. 22. 暑假期间某中学校长决定带领市级三好学生去北京旅游，甲旅行社承诺：如果校长买全票一张，则学生可享受半价优惠；乙旅行社承诺：包括校长在内所有人按全票的6折优惠．全票价为240元/人． （1）设学生数为x，甲、乙旅行社收费分别为y甲（元）和y乙（元），分别求出两个旅行社收费的表达式； （2）当有学生20人时，选择哪家旅行社更优惠? 【答案】（1）y甲=120 x＋240； y乙=144x＋144；（2）甲旅行更优惠. 【解析】 【分析】（1）由题意甲的收费=校长一人全票价+所有学生的半票价，乙的收费=所有人的全票价×60%. （2）分别代入x=20，比较y甲和y乙即可. 【详解】解：（1）依题意可得：y甲=240＋240x×50%=120 x＋240 y乙=（240＋240x）×60%=144x＋144 所以y甲=120 x＋240； y乙=144x＋144. （2）当x=20，y甲=120×20＋240=2640（元） y乙=144×20＋144=3024（元） 此时y甲＜y乙 故甲旅行更优惠. 【点睛】此题考查的是一次函数的实际应用，先利用等量关系列出函数表达式，再利用自变量的值求出函数值是解决此题的关键. 23. 如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 与 相交于点 ，与 相交于点 ，连接 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，求 的长． 【答案】（1） 证明： 四边形 是矩形， ， 是 的中垂线， ， ． ， ， 四边形 是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形； （2） 长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定和性质和勾股定理等知识点的应用，解题的关键在于熟记判定性质． （1）根据矩形的性质求出 ，推出 ， ，证明全等后得到 ，即可证明出菱形； （2）根据菱形的性质求出 ，在 中，根据勾股定理得到即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形 是菱形， ， 设 长为 ，则 ， 在 中， 即， 解得：， 答： 长为 ． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣2x+a与y轴交于点C （0，6），与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD的解析式； 【答案】（1）y=-2x+6，（2）n=8，y=4x+12 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，可得答案． （2）先求D的坐标，再利用待定系数法求解AD的解析式． 【详解】解：（1）∵直线y=-2x+a与y轴交于点C（0，6）， ∴a=6， ∴y=-2x+6， ⑵∵点D（-1，n）在y=-2x+6上， ， ∴设直线AD的解析式为y=kx+b， 解得： ∴直线AD的解析式为y=4x+12． 【点睛】本题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 25. 近几年，昆明积极推进花卉景观大道建设，截至目前，主城区主干道已经陆续有100多条道路，形成了一定规模的花卉景观效果，展现了“春城无处不飞花”的城市景观．环湖路沿线准备种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米80元． （1）请求出甲种花卉y与x之间的函数关系式； （2）已知甲、乙两种花卉的种植面积共，甲种花卉的种植面积不少于．若甲种花卉种植面积不超过乙种花卉种植面积的2倍，设种植总费用为w元，求出w与甲种花卉种植面积x之间的函数关系式及w的最小值． 【答案】（1）； （2），最小值为549000． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法结合函数图象即可求出y与x的关系式； （2）利用甲种花卉种植x m2（），则乙种花卉种植（6000－x）m2 ，求出w=20x+489000，再求出x的取值范围：3000 ≤x≤ 4000，根据函数增减性即可求出结果． 【小问1详解】 解：由图象可知： 当0≤ x＜300时，设y与x的函数关系式为y=mx（m≠0），则 300m=39000，∴m=130， 此时，y=130x（0≤x＜300）； 当x≥300时，设y与x的函数关系式为（k≠0），则 ， 解得， 此时，y=100x+9000，（x≥300）； 综上所述：； 【小问2详解】 解：由题意知：甲种花卉种植x m2（），则乙种花卉种植（6000－x）m2 ， ∵， ∴=20x+489000， 又∵x ≤ 2（6000-x），则x ≤ 4000， ∴3000 ≤x≤ 4000， ∵w=20x+489000中，k=20>0，w随x的增大而增大， ∴当x=3000时，w最小，w最小=20×3000+489000=549000（元）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数性质，解不等式，解题的关键是结合函数图象求解析式，掌握一次函数增减性，解不等式． 26. 在平面直角坐标系 中，已知点 不与原点重合．对于点 给出如下定义：点 关于点 的对称点为，点关于直线 的对称点为 ，称点 是点 关于点 的“转称点”． （1）如图，已知点，点 是点 关于点 的“转称点”． ①当 时，在图中画出点 的位置，并直接写出点 的坐标； ② 的长度是否与 有关?若无关，求 的长；若有关，说明理由； （2）已知点是边长为2的等边三角形（点 按逆时针方向排列），点 是点 关于点 的“转称点”，在 绕点A旋转的过程中，当 最大时，直接写出此时 的长． 【答案】（1）①；② 的长度与 无关，，理由见解析 （2），或 【解析】 【分析】（1）①根据“转称点”定义得到，点 、关于点 对称，点、 关于直线 对称，根据点，得到点，；② 的长度与t值无关，根据，，得到； （2）连接 ，过点A作 于点D，设点B关于点C对称点为，根据等边三角形定义得到 ，，根据三线合一得到，，根据含30°的直角三角形性质得到，根据“转称点”定义得到， 垂直平分，推出，得到当点N与点重合时， 长最大，此时，、 、 三线重合，根据，得到 ，根据勾股定理得到， 推出，或． 【小问1详解】 ①∵点 是点 关于点 的“转称点”， ∴点 、关于点 对称，点、 关于直线 对称， ∵点，， ∴点， ∴，即，在平面直角坐标系中描出和Q； ② 的长度与 无关，理由： 由①知，，， ∴轴，， ∴ 的长与t的值无关； 【小问2详解】 连接 ，过点A作 于点D，设点B关于点C对称点为， ∵ 是边长为2的等边三角形， ∴ ，， ∴，， ∴， ∵点 是点 关于点 的“转称点”， ∴，点、N关于直线 对称， ∴ 垂直平分， ∴， 当点N与点重合时， 长最大， 此时，、 、 三线重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或． 【点睛】本题主要考查了定义新概念，等边三角形，含 的直角三角形，勾股定理．解决问题的关键是熟练掌握关于成中心对称的两点及关于坐标轴对称的两点的坐标特征，轴对称性质，等边三角形性质，含 的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $