精品解析：2025年广东省佛山市南海外国语学校中考三模数学试题

2024~2025学年下学期九年级月测数学试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 9的算术平方根是（　　） A. 3 B. C. 81 D. 9 4. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为等腰三角形，，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 19 D. 28 10. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图所示是一个关于的一元一次不等式的解集，则该解集是__________． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13. 若与的和是单项式，则__________． 14. 如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为__________． 15. 已知抛物线（、、是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②抛物线对称轴在轴左侧；③；④若抛物线过点，则．其中正确的结论有__________．（填写序号） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 18. 如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为促进学生身心协调发展，学校引入体感运动游戏（如虚拟网球、健身环挑战）作为课外活动．在八年级虚拟网球联赛中，甲、乙两名选手表现优异，近六场比赛的统计如下： 选手 平均每场得分 平均每场协作分 平均每场状态失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 术语说明： 得分：成功完成有效击球的次数（反映竞技水平） 协作分：与队友配合得分的次数（反映团队意识） 状态失误：因疲劳或分心导致的失误次数（反映身心状态） 根据以上信息，回答下列问题 （1）这六场比赛中，得分史稳定的选手是_________（填“甲”或“乙”）；甲选手得分的中位数为，乙选手得分的中位数为________． （2）从得分角度分析：甲、乙两名选手谁的表现更好？说明理由． （3）规定健康表现分为：得分协作分状态失误，分数越高表现越好．利用该方法比较甲、乙的表现． （4）除比赛数据外，你认为还需监测哪些指标来全面评估学生参与虚拟运动的健康效益？请说明理由． 20. 如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数． 21. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，王老师展示了一个问题： 如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题： 【初步探究】 （1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展研究】 （2）若，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接． （1）绕点旋转过程中，求证：； （2）绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度； （3）在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其边与分别在轴与轴的正半轴上．点在边上（），连接，将沿折叠得到，延长交直线于点，连接并延长，交于点，交直线于点． （1）当点在边上时，连接，将沿折叠，恰好与重合，连接并延长，交于点，交于点． ①判断四边形的形状，并证明； ②设，探究、与三者之间的数量关系； （2）如图2，当点位置发生变化时，探究的长度变化规律（用含有的代数式表示的长度）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年下学期九年级月测数学试卷 本试卷共4页，23小题，满分120分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据有理数的加法运算法则，计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 9的算术平方根是（　　） A. 3 B. C. 81 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴9算术平方根为3； 故选：A． 4. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据两直线平行，内错角相等，得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，同底数幂的除法运算，同底数幂的乘法运算，根据运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 6. 2025年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从如图所示的三部影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是正确解答此题的关键． 列表得出所有等可能的结果数以及小明和小亮选择的影片相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这三部春节档影片分别记为A，B，C，列表如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小亮选择的影片相同的结果有3种， 小明、小亮选择的影片相同的概率为， 故答案为：D． 7. 如图，为等腰三角形，，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，先根据，为边上的中线，则，，利用勾股定理求出即可作答． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移，解题的关键是根据题意找到平移前后的对应点． 根据点和点的坐标，结合平移的性质，计算即可． 【详解】解：根据题意可知，点平移至点，点平移至点， ∵点，，，， ∴， 故选：． 9. 如图，的对角线相交于点，是的中点，，则的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 19 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质，求出的长是解题的关键．根据平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ，点E为边的中点， ，， ． 故选：D． 10. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 两个函数图象在第一象限的交点坐标为 B. 直线分别与反比例函数和一次函数的图象交于、两点，则线段的长为3 C. 由图象可知，当时， D. 当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、将分别代入两个解析式得，，所以两个函数图象在第一象限的交点坐标为，正确，不符合题意； B、将分别代入两个函数解析式，得，，则，正确，不符合题意； C、当时，；当时，，故原说法错误，符合题意； D、当时，的值随着值的增大而增大，的值随着值的增大而减小，正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图所示是一个关于的一元一次不等式的解集，则该解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示一元一次不等式的解集，熟知数轴的相关知识是解决本题的关键． 根据数轴的表示规则，由数轴上的实心点以及折线方向求解即可． 【详解】解：根据数轴表示可知，不等式的解集为． 故答案为： ． 12. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 13. 若与的和是单项式，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 14. 如图，是的直径，，是上的点，，则弧的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，圆周角定理，圆的内接四边形求角度，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，根据圆内接四边形对角互补求出，再由圆周角定理得到 ，然后由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴弧的长为 故答案为：． 15. 已知抛物线（、、是常数且）过和两点，且，下列四个结论：①；②抛物线对称轴在轴左侧；③；④若抛物线过点，则．其中正确的结论有__________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，包括二次函数的对称轴，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据题目已知信息可先求解二次函数的对称轴，由二次函数的对称轴即可判断①和②，再令，求解y的值即可判断③，将点和点代入函数解析式可求解b的值，再由函数的对称轴可判断④． 【详解】解：抛物线、、是常数且过和两点， 且， 抛物线的对称轴为直线，且， 即， 对称轴在轴的右侧，，，， 故①正确，②错误； 对称轴直线为，抛物线开口向下， ∴处的函数值大于处的函数值， 即，故③正确； 把点和点代入抛物线中， 可得，整理可得， 解得， 故， 整理变形可得，，故④正确． ∴其中正确的结论有①③④． 故答案为：①③④ ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先计算括号内，并对各项分式分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法，通过约分完成化简，再把的值代入化简后的式子计算求值即可． 本题主要考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 当时， 原式． 17. 中国初创企业（深度求索）公司，其自主研发的人工智能（）大语言模型，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响．公司为提升服务能力，计划部署两种服务器：型号和型号．这两类新型服务器的维护需求各有不同，具体如表所示： 服务器类型 每台所需技术人员 每台服务器成本（万元） 型号 3 型号 5 公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元．问和服务器的部署数量各是多少台？ 【答案】服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键； 设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台，根据公司共有技术人员人，全部参与维护且每人只负责一种服务器，总投入资金为万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设服务器的安装数量是台，服务器的安装数量是台， 由题意得：， 解得：． 答：服务器的安装数量是8台，服务器的安装数量是6台． 18. 如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 如图所示，过点A作于点E，求出，然后求出，勾股定理求出，然后求出，然后解直角三角形求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点E， ∵入射角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为促进学生身心协调发展，学校引入体感运动游戏（如虚拟网球、健身环挑战）作为课外活动．在八年级虚拟网球联赛中，甲、乙两名选手表现优异，近六场比赛的统计如下： 选手 平均每场得分 平均每场协作分 平均每场状态失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 术语说明： 得分：成功完成有效击球的次数（反映竞技水平） 协作分：与队友配合得分的次数（反映团队意识） 状态失误：因疲劳或分心导致的失误次数（反映身心状态） 根据以上信息，回答下列问题 （1）这六场比赛中，得分史稳定的选手是_________（填“甲”或“乙”）；甲选手得分的中位数为，乙选手得分的中位数为________． （2）从得分角度分析：甲、乙两名选手谁的表现更好？说明理由． （3）规定健康表现分为：得分协作分状态失误，分数越高表现越好．利用该方法比较甲、乙的表现． （4）除比赛数据外，你认为还需监测哪些指标来全面评估学生参与虚拟运动的健康效益？请说明理由． 【答案】（1）甲，29分； （2） 甲更好，理由：平均得分更高（），且甲的成绩更稳定．所以甲的成绩更好． （3）乙表现更好； （4） 睡眠质量：避免夜间比赛影响生物钟 同伴评价：评估团队沟通能力提升效果 每日屏幕时间——避免久坐影响视力；赛后心率恢复速度——反映心肺功能适应度． 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识， （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． （4）根据睡眠质量，同伴评价等方面进行解答 【小问1详解】 解：得分最稳定的选手是甲： 乙选手得分排序为14，20，28，30，32，32，故乙选手得分的中位数为， 故答案为：甲，29； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：乙更好： 甲健康分， 乙健康分， ， ∴乙选手的表现更好； 【小问4详解】 略 20. 如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 21. 综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，王老师展示了一个问题： 如图1，是等边三角形，点是边上一动点（点不与点重合），连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接，并提出了如下问题： 【初步探究】 （1）请在图1中利用尺规作图按上述要求补全图形，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展研究】 （2）若，求的长． 【答案】 （1）如图1所示，线段、即为所求． 猜想：； 理由如下：如图1，连接，由旋转得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）的长为2或6． 【解析】 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出图形是解答的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用尺规作一个角等于已知角的步骤作再作可补全图形；根据等边三角形的判定与性质，证明可得； （2）作于点，则，利用锐角三角函数定义得到，，利用勾股定理得到，解方程求得或，进而可求解． 【详解】解：（1）略 （2）如图2，作于点，则， ∵， ∴，， ∴，， ∵，且，， ∴． 整理得：，解得：或， ∴或， 即的长为2或6． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接． （1）绕点旋转过程中，求证：； （2）绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度； （3）在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）； （3）存在，或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）可得出，，进而得出，从而； （2）连接，根据，得出，，从而点、、、共圆，从而，从而得出，进而得出，进一步得出结果； （3）作于，作于，设，当时，可得出，， ，从而得出，，，在中根据勾股定理得出的值，进而得出的值；同样方法求得当时的结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： ， ∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴，， 即， ∴点、、、共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于，作于， 设， 如图： ， 当时， ∵， ∴， 由（2）知， ，，点、、、共圆， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即， ∴， ； 当时，如图： ， ∵， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或； 23. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其边与分别在轴与轴的正半轴上．点在边上（），连接，将沿折叠得到，延长交直线于点，连接并延长，交于点，交直线于点． （1）当点在边上时，连接，将沿折叠，恰好与重合，连接并延长，交于点，交于点． ①判断四边形的形状，并证明； ②设，探究、与三者之间的数量关系； （2）如图2，当点位置发生变化时，探究的长度变化规律（用含有的代数式表示的长度）． 【答案】（1） ①四边形是矩形， 理由如下： ∵沿折叠得到， ， ， 同理可得，， ， ， ， ∴四边形是矩形； ②如图1，作于，交于， 由折叠可知，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ． （2）先由大变小，然后再由小变大 【解析】 【分析】（1）可得出，从而证出四边形是矩形； （2）作于，交于，可得出，解直角三角形得出，进而得出，解直角三角形得出，从而得出的面积；解直角三角形求得，从而得出，解直角三角形得出，从而得出，进而表示出的面积，进一步得出结果； （2）先求得当点落在上时的值，从而分类：当时，作于，交于，可证得，从而得出，从而得出，设，则，根据得出，从而求得，根据得出，从而表示出，进而表示出，同样得出当时的情形． 【小问1详解】 解：①略 ②略 【小问2详解】 解：根据题意可知， 如图2， 当点落在上，， 由得，， ， 如图3， 当时， 作于，交于， 则， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，同理，， 综上所述：先由大变小，然后再由小变大． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是具有较强的计算能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $