2025年山东省潍坊市中考真题数学试题

参照秘密级管理★启用前 试卷类型：A 2025年潍坊市初中学业水平考试 数学试题 2025.6 注意事项： 的 1.本试题满分150分，考试时间120分钟； 2.答卷前，请将试卷和答题卡上的项目填涂清楚； 3.请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置。 第I卷 (选择题 共44分) 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题的四个选项中只有一项正确) 1.实数4的相反数是 的 A.-4 B.4 C.2 D.4 2.某物体的三视图如图所示，则该物体可能是 主视图 左视图 俯视图 3.若一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实根，则c的值为 A.-1 B.0 c.2 D.1 4. 计算+产的结果是 A.1 B.-1 C.0 D.x+1 x-1 5.如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地。 甲：A→C→B,路程为l年。 乙：A一→D→E→F→B,路程为lz0 丙：A→G→H→B, 路程为l。 下列关系正确的是 人60 Q60 60% 77777 77777777 甲 利 A.lm>l之>l丙 B.lz>l甲>l丙 C.l甲>l丙>lz D.lm=lz>l丙 数学试题(A)第1页（共8页） 6.如图，小莹对三个相连的方格进行涂色。在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜 色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是 A C. D.s 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。每小题的四个选项中，有多项正 确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分) 7.下列命题的逆命题为真命题的是 A.若a2=b2,则a=b B.若1a>1b1,则a3>b3 C.三角形的中位线平行于第三边 D.等腰三角形的两个底角相等 8.如图，一次函数y=kx+b经过点A(0,4),与x轴交于点B,与正比例函数y=kx交 于点P(1,2),则下列结论正确的是 A.k1-k2>0 B.P为AB的中点 C.方程k1x+b=k2x的解是x=2 D.当x<1时，kx+b>k2x O B 9.如图，在四边形ABCD中，AB/CD,∠BAD=90,∠B=60,CD=2AB=3,点P 在边BC、CD上运动（不含B,D),过点P作PE⊥AB,垂足为点E。设BE的长度 为x,△APE的面积为y,则下列结论正确的是 A.边BC的长为6 B.P在BC上时，y=3x(6-x) CP在cD上时，=36- D.y随x的增大而增大 10.已知二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数值y的部分对应值如下表。 -1 0 1 2 c 2 2 下列说法正确的是 A.若c≤0，则函数图象的开口向上 B.关于x的方程ax2+bx+c=m的两个根是-1和4 C.点(a,c)在一次函数y=2x+2的图象上 D.代数式c的最大值为 数学试题(A)第2页（共8页）》 第Ⅱ卷（非选择题 共106分) 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果）】 11.计算：(-2)°-31= 12.如图，圆锥的底面圆心为O,顶点为A,母线1长为4，母线l与高A0的夹角为30°，那 么圆锥侧面展开图的面积为 B 0 第12题图 第13题图 13.如图，在口ABCD中，点E在边BC上。将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B'恰好 落在边DC上；将△ADB沿AB折叠，点D的对应点D'恰好落在AE上。若∠C=x, 则∠CB'E=。(用含a的式子表示) 14.如图1，点A,(x1,)是函数y=(x>0)图象上任意一点，过A,向y轴作垂线交y轴 于点B,,向x轴作垂线交x轴于点C1,矩形A,B,OC,的周长L1=2(AB,+AC,)= 2(+)=2(+,当气=时，山有最小值4：如图2，点4(，)是函数 y=2(x>0)图象上任意一点，同样作矩形4品，0C,它的周长2=2（与+名）.同理 2 得L2的最小值为42；…；点A,(x,y.)是函数y=”(x>0,n为正整数)图象上任意 一点，作矩形A B.OC,它的周长为L,则Ln的最小值为 B 0 C 第14题图1 第14题图2 数学试题(A)第3页（共8页）》 四、解答题（共8小题，共90分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题9分) (1)先化简，再求值：x(5x-8y)-4(x-y)2,其中x,y满足x+2y=0。 (2)解方程组： x-y=2, 2x+3y=-1。 16.(本题10分) 如图，已知菱形ABCD的顶点在方格纸的格 点上，其中A,B,C的坐标分别为(0,1)， (-2,4),(-4,1)。该菱形经过中心对称得到它 B 右侧的菱形（顶点均在格点上）。 (1)画出平面直角坐标系，并写出对称中心 G的坐标和点B的对应点B'的坐标； (2)将菱形ABCD平移，使点C的对应点为 点B,画出平移后的菱形。 17.(本题10分) 某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型 机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比 A型机器人单价低3万元。 (1)求A型、B型两种机器人的单价： (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两 种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元。求出 所有配备方案。 18.(本题12分) 如图，在△ABC中，点D,E,G分别是边AB,AC,BC的中 点，DE与AG相交于点F,连接CF,AG=AC。 D 证明：(I)6-:(2)△ADF≌△CPE 数学试题(A)第4页（共8页）》 19.(本题12分) 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调 查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下。 【数据收集】 试验田玉米株高(cm) 对照田玉米株高(cm) 56,43,51,52,45,55,46,55,46,51, 41,52,40,48.60,40,44,54,44,45, 54,54,48,55,48,49,51,50,48,49 46,55,48,40.48,54,50,50,52,52 49.51,46,51.43,51,52,47,54,49 52,60.52,52,40,54,48,40,54,54 55,46,48,45,53,47,43,54,43,56 55,46,56,40,60,60,56,57,52,60 【数据整理】 把数据分为5组，制成如下频数分布表。（用h表示株高，40cm≤h≤60cm) 组别 A B C D E 类型 (40≤h<44) (44≤h<48) 48≤h<52) (52≤h<56) (56≤h≤60)】 试验田玉米株频数 4 8 15 11 2 对照田玉米株频数 7 5 6 14 8 (1)你赞同下面小亮的观点吗？ 请说明你的理由。 分成5组太少，可以分成10组。 【数据描述】 根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图。 频数 6 14 12 E A 10 20% 17.5% B 12.5% D 35% C 0 15% 404448525660株高h/cm (2)补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数： (3)已知此生长期的玉米株高h满足48cm≤h<56cm为长势良好。比较以上两个 统计图，写出图中蕴含的信息。（一条即可）】 【数据分析】 对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 分 49.7315.10 对照田 52 52 50.28 40.05 (4)根据(3)中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况。 数学试题(A)第5页（共8页） 20.(本题12分) 图1是某摩天轮的实景图。摩天轮可视作半径为50米的⊙0，其上的某个座舱可视 作⊙O上的点A,座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面1上的观察点D到点C的 距离DC为80米，平面示意图如图2所示。 (1)当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离。 (2)已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座 舱中观赏风景的体验最佳。点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中 乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长。 (以上结果均保留小数点后，位数字，参考数据：m687=子，sin6687°=0.92， c0s66.87°≈0.39,3≈1.73，T≈3.14) A B 777777777 D 图1 图2 备用图 21.(本题12分) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx（a<0)与正比例函数y=x的 图象都经过点A(3,3),点P为二次函数图象上点O与点A之间的一点，过点P作x轴 的垂线，交OA于点C,交x轴于点D。 (1)若点A为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段PC长度的最大值。 (2)若该二次函数与x轴的一交点为B(m,0), 且m>4,求a的取值范围。 B 数学试题(A)第6页（共8页） 22.(本题13分) 科学与科技一黄金比例 黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领 域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄 金分割。中国澳门发行的邮票小型张《科学 与科技一黄金比例》（如图1）就是用黄 金分割比作为主题设计的。 图1 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2。若线段AB上的点C满足C治则点C格作线段B的黄金分到点，共中侣的比 ACAB' 值称作黄金分割比5，引而的比值为中1+ A AC 2,中与0互为倒数。 C B 图2 材料2：黄金分割，点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C) 方法1：如图3， 方法2：如图4。 ①过，点B作1⊥AB: ①以AB为边作正方形ABED: ②在直线1上我取BD=了AB,连接AD: ②取AD中点F,连接BF; ③以，点F为圆心，FB为半径作圆孤，与DA ③在DA上截取DE=DB: 的延长线交于点H: ④在AB上截取AC=AE ④以AH为边在AB一侧作正方形AHGC,GC 点C即为所求。 文B于点C,可得能-福 点C即为所求 H 图3 图4 【思考探究】 (1) 说明图3中6=： (2)用不同于(1)的方法，说明图4中BC-4C AC-AB 数学试题(A)第7页（共8页） 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作⊙O的两条互相垂直的半径OA和OM,取OM的中点N,连接AN: ②作∠ONA的平分线，交OA于点K; ③过点K作OA的垂线，交⊙O于点B,E,连接AB,AE; ④截取BC=BA,CD=CB,连接BC,CD,DE。 五边形ABCDE即为所求。 (3)若OA=2,根据以上作法，证明：AB2=02·BE2。 M B 图5 数学试题(A)第8页（共8页） 2025年潍坊市初中学业水平考试 数学试题（A)参考答案及评分标准 2025.6 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分。每小题的四个选项中只有一项正确） 1.A2.B3.D4.B5.D6.C 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。每小题的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分)》 7.AD 8.BD 9.AC 10.BCD 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分。只写最后结果) 1.子2.8m13.号14.4m 四、解答题（共8小题，共90分。写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本题9分) (1)解：x(5x-8y)-4(x-y)2 =5x2-8xy-4(x2-2xy+y2) =5x2-8xy-4x2+8xy-4y2 =x2-4y2,… …3分 因为x+2y=0, 所以x2-4y2=(x+2y)(x-2y）=0×(x-2y)=0。… 4分 (2)解： [x-y=2,① 2x+3y=-1。② 法一： 由①，得x=y+2,③ …5分 将③代入②，得 2(y+2)+3y=-1, 6分 解得y=-1, 7分 将y=-1代人③，得 X=1,… 8分 x=1, 所以 …9分 y=-1。 数学试题(A)答案第1页（共8页） 法二： ①X3,得3x-3y=6,②…5分 ②+③，得5x=5,解得x=1,…7分 将x=1代人①，得y=-1,…8分 「x=1, 所以 …9分 ly=-1。 16.(本题10分) 解：(1)平面直角坐标系如图所示，…3分 (坐标轴各1分，标注字母1分) 对称中心G的坐标是(0，-)，点B的对应点B的坐标是(2，-5)；…7分 (2)画出平移后的菱形，如图所示。 …10分 ◆y 0 D 17.（本题10分) 解：(1)设A型机器人单价为x万元，则B型机器人单价为(x-3)万元， 根据题意，得 9060 xx-3, …2分 解得化=9，…3分 经检验，x=9是原分式方程的根，并符合题意，…4分 所以，x-3=6。 所以，A型机器人单价为9万元，B型机器人单价为6万元。…5分 数学试题（A)答案第2页（共8页） (2)设配备A型机器人y台，则配备B型机器人(10-y)台， 根据题意，得 9y+6(10-y）≤70，… 6分 解得≤9 7分 根据(1)可知，A型，B型机器人各买了10台， 所以y的取值为1,2,3，… 8分 所以，方案一：A型机器人1台，B型机器人9台； 方案二：A型机器人2台，B型机器人8台； 方案三：A型机器人3台，B型机器人7台。…10分 18.（本题12分) 证明：(1)因为点D,E分别是边AB,AC的中点， 所以DE是△ABC的中位线，…1分 所E/Bc,器 2分 所以DF∥BG, 所以∠ADF=∠B,∠AFD=∠AGB 所以△ADF∽△ABG,… 4分 所能品分 5分 所以光器。 6分 (2)连接DG,GE, 因为点D,G分别是边AB,BC的中点， 所以DG∥AC,DG=子AC=AE, …7分 所以四边形ADGE为平行四边形，…8分 所以DF=EF,AF=FG, …9分 因为AG=AC,E为AC中点， 所以AF=AE=CE, 10分 所以∠AFE=∠AEF, 所以∠AFD=∠CEF,… 11分 所以△ADF≌△CFE。 12分 数学试题(A)答案第3页（共8页） 19.(本题12分)》 解：(1)不赞同。 …1分 理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20。若组数为5，则组距为 4,是合适的。若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质 相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律。…3分 ◆频数 h 14 12 11 10 2) 8 8 …5分 6 0 404448525660株高h/m D组对应的圆心角为360°×35%=126°…6分 (3)试验田中长势良好的玉米株数为15+11=26，占比65%；对照田中长势良好的玉米株 数占比为35%+15%=50%；所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田。… …9分 (4)从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；而从方 差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中。综合以上信 息，试验田长势好于对照田。 …12分 (根据答题情况，酌情赋分) 20.（本题12分) 解：(1)连接OA,OD,作AE⊥l,垂足为E, 根据题意可知，0C=0B+BC=50+10=60(米)，·1分 在△ODC中，DC=80米，OC⊥DC, 所以0D=√DC2+0C2=√802+602=100（米），…2分 因为anL0DC=OC=0=3 CD80=4, 所以∠0DC≈36.87°，… …3分 因为DA与⊙O相切， 所以OA⊥AD, 所以∠OAD=90°，…4分 数学试题（A)答案第4页（共8页） 因为0A=50米， 所以m∠001-器-分， 所以∠0DA=30,AD=0D·c0s30°=100x5-505(米)， 2 5分 所以∠ADE=∠ODA+∠0DC=30°+36.87°=66.87°，…6分 在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=50√3×sin66.87°≈50√3×0.92≈79.6（米）， 所以，点A处的座舱到地面的距离约为79.6米。 …7分 (2)过点A作AF∥1，交⊙O于点F。延长C0,交AF于点H,连接OF。 不妨设CH=85米， 因为0C1l, 所以OH⊥AF, 所以0H=CH-0B-BC=85-50-10=25(米)，…8分 B 因为0A=50米， 所以cos∠A0H=4=1 0A=2 所以∠AOH=60°， 因为OH⊥AF, 所以∠A0F=120°，… 9分 所以最佳观赏风景的时间为85×30=10（分钟）。 10分 且Af的长=120x50≈104.7（米） 180 所以，座舱经过的AF的长约为104.7米。 12分 21.（本题12分) 解：(1) ①因为A(3,3)为二次函数的顶点， 9a+3b=3 所以 6 1 分 =3 2a 1 解得 a=-3’ 2分 lb=2, 所以，二次函数表达式为y=-3+2。 3分 ②因为正比例函数y=x经过点A(3,3), 所以k=1, 数学试题(A)答案第5页（共8页） 所以，正比例函数表达式为y=x,…4分 设0D=(0≤≤3)，则CD=1,PD=写2+24，…5分 所以，PC=Pm-CD=写+21-1=-+i …6分 1 3、23 =-3(t-2）+4 所以，当：=2时，线段PC的长度取得最大值子。 …7分 (2)因为二次函数y=ax2+bx经过点A(3,3), 所以9a+3b=3,即b=1-3a,… 8分 令ax2+bx=0, 解得x1=0,x2=- a 9分 因为二次函数与x轴的一交点为B(m,0),m>4, 所以m=-b 4, a 因为a<0, 所以b>-4a, 所以1-3a>-4a, 所以a>-1,…11分 所以a的取值范围是-1<a<0。 …12分 22.（本题13分) (1)解：设BD=a,则AB=2a, 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AD=√5a,…1分 所以AE=AD-DE=AD-BD=(√5-1)a,…2分 所以AC=AE=(√5-1)a,…3分 所以8-50.51e …4分 2a 2 (2)解：延长GC交DE于点M, 在Rt△BAF中，根据勾股定理，得 AB2=BF2-AF2,…5分 所以AB2=(BF+AF)(BF-AF), 因为BF=FH,FA=FD, 所以BF+AF=FH+FD=HD,BF-AF=FH-AF=AH=HG,·6分 数学试题(A)答案第6页（共8页） 所以AB2=HD·HG, 所以S正方形ABBD=S矩形HGMD, 所以S矩形CBBM=S正方形AHGC,… 7分 所以CB·BE=AC2,即CB·AB=AC2, 所以%。 8分 (3)证明： 因为半径0A=2,所以0N=1,AN=√5， 过点K作KG⊥AN于点G, 因为NK平分∠ONA, 所以OK=KG, 所以△NOK≌△NGK。 所以NO=NG, 所以AG=√5-1， 在Rt△KGA中， KG2+AG2=KA2, 设0K=x,则x2+(5-1)2=(2-x)2, 解得x=5-1 21 9分 所以o-32 连接OB,在Rt△BKO中，BK2=OB2-OK2, 所以BK=5+5 20 10分 在Rt△BKA中，AB2=BK2+AK2, 所以AB2=10-25。 根据垂径定理，得BE=2BK, 所以BE2=4BK=10+2√5，… 11分 因为2=(53,5 2 所以02·BE23,5X(10+25⑤=10-25，…12分 12分 所以AB2=p2…BE2。 …………13分 说明：本参考答案给出一种或两种解题方法，其它正确方法参考本标准酌情赋分。 数学试题(A)答案第7页（共8页） 数学试题(A) 答案第8页（共8页）