精品解析：陕西省西安市高新三中学2024-2025学年下学期八年级5月月考数学试卷　

2024-2025学年陕西省西安市高新三中八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简分式的是（） A. B. C. D. 3. 下列各式由左到右的变形是分解因式，且分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 7. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 8. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 13. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 14. “端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为______ ． 15. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 16. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． （1）分别求出点A、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； （3）在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 四、解答题：本题共9小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 因式分解 （1）； （2）． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中， 21. 如图，是平行四边形的对角线，请用尺规作图的方法在边上分别求作一点E，F，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 23. 已知分式，回答下列问题． （1）若分式的值是零，求的值； （2）若分式的值是正数，求的取值范围． 24. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：_______ ；________ ；________ ；_______． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 25. 如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 26. 某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍． （1）求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算不超过3万元．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年陕西省西安市高新三中八年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各式是最简分式的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了整式． 根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简分式，所以A选项不符合题意； B．不是最简分式，所以B选项不符合题意； C．，是最简分式，所以C选项符合题意； D．不是最简分式，所以D选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式由左到右的变形是分解因式，且分解结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式的概念（把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式）逐一分析即可． 【详解】解：A、不是分解因式，故不符合题意； B、是分解因式，但分解错误，，故不符合题意； C、是分解因式且分解正确，故符合题意； D、分解因式错误，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分解因式的概念（把一个多项式化为几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式），熟练掌握分解因式的概念是解题的关键． 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点，，点C在x轴正半轴上，则点D坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质可得，继而得到，根据平移特征可得点D坐标． 【详解】解：如图，作轴，垂足为E， ∵点， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 若，则k的值是（ ） A. 10 B. C. D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式法则的应用，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解． 【详解】解： ∴， 解得：， 故选：B． 7. 如图，在中，点D在上，，于点M，N是的中点，连接，若，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三线合一，三角形的中位线定理．根据三线合一，得到为的中点，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵，于点M， ∴， ∵N是的中点， ∴； 故选D． 8. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 9. 中，于F，于为的中点，若的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的两底角相等求出和，再根据平角的定义求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：，为的中点， ， ， ， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键． 10. 已知：如图，在正方形外取一点，连接、、．过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤．其中正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过作，交的延长线于，利用③中的，利用勾股定理可求，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；⑤在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积；④连接，求出的面积，然后减去的面积即可． 【详解】解：①，， ， 又，， ，故①正确； ③， ， 又，， ， ，故③正确； ②过作，交的延长线于， ，， ， 又③中，， ， 又 ， 故②不正确； ⑤， 在中，， ，故⑤正确. ④如图，连接，在中， ， ， 又， ， ， ， ，故④错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理等知识．解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 12. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 13. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 14. “端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 15. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 【答案】##2.4## 【解析】 【分析】连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 16. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 【答案】（，）． 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 【详解】解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（，）， 故答案为（，）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题． 三、计算题：本大题共1小题，共12分． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点A． （1）分别求出点A、、的坐标； （2）若是线段上的点，且的面积为，求直线的函数表达式； （3）在的条件下，设是射线上的点，在平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2） （3）存在满足条件的点的，其坐标为或或 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式求出A的坐标，分别把，代入可求出，的坐标； （2）根据在直线上，设出坐标，表示出三角形面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在的条件下，根据是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况讨论：当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；当四边形为菱形时；当四边形为菱形时；分别求出坐标，即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：解方程组， 得：， ； 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， ； 【小问2详解】 解：设， 的面积为， ∴， 解得：， ， 设直线的函数表达式是， 把，代入得：， 解得：， 直线解析式为； 【小问3详解】 解：存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形， 如图所示，分三种情况考虑： 当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形，此时，即， 此时； 当四边形为菱形时，点与关于对称，即可关于y轴对称， ∵点坐标为， ∴点纵坐标为， 把代入直线解析式中，得， 解得：， ∴， 此时； 当四边形为菱形时，则有， 设， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 此时． 综上可知存在满足条件的点的的坐标为：或或 ． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在中求得点坐标是解题的关键，在中确定出点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 四、解答题：本题共9小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法，灵活运用提取公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． （1）先凑出公因式、然后运用取公因式法因式分解即可； （2）先运用平方差公式因式分解，再运用完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的方法和步骤． （1）方程两边同乘，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）方程两边同乘，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【小问1详解】 解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； 【小问2详解】 解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，，所以不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 20. 先化简，再求值：，其中， 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 21. 如图，是平行四边形的对角线，请用尺规作图的方法在边上分别求作一点E，F，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－线段垂直平分线，平行四边形的性质，菱形的判定．作对角线的垂直平分线分别交边于点E，F，则四边形是菱形． 【详解】解：由作图知，是对角线的垂直平分线， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C． ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD＝BE． 【解析】 【分析】利用已知先证明AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理的运用． 23. 已知分式，回答下列问题． （1）若分式的值是零，求的值； （2）若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【小问1详解】 解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． 【小问2详解】 解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 24. 如图，在四边形中，，，，点P自点A向D以的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为． （1）用含t的代数式表示：_______ ；________ ；________ ；_______． （2）当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t，，， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定， （1）直接利用P，Q点的运动速度和运动方法进而表示出各部分的长； （2）利用平行四边形的判定方法得出t的值． 【小问1详解】 根据题意得，，， ∴，， 故答案为：t，，；； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 25. 如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，连接交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质． （1）根据四边形是平行四边形，可得，再证，即可证明四边形是平行四边形，又，可证明四边形是矩形； （2）根据四边形是矩形得出，，，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 的长是． 26. 某茶叶店用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，已知A等级茶叶的每盒进价是B等级茶叶每盒进价的3倍． （1）求A，B两种等级茶叶的每盒进价分别为多少元？ （2）当购进的所有茶叶全部售完后，茶叶店再次以相同的进价购进A，B两种等级茶叶共90盒，但购茶的总预算不超过3万元．若A等级茶叶的售价是每盒450元，B等级茶叶的售价是每盒150元，则A，B两种等级茶叶分别购进多少盒时可使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）B等级茶叶每盒125元，则A等级茶叶每盒375元； （2）购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式，一次函数的应用； （1）设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元，根据用21000元购进A等级茶叶若干盒，用6000元购进B等级茶叶若干盒，所购A等级茶叶比B等级茶叶多8盒，再建立方程求解即可； （2）设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元，再建立一次函数，结合，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设B等级茶叶每盒x元，则A等级茶叶每盒元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：B等级茶叶每盒125元，则A等级茶叶每盒375元． 【小问2详解】 解：设购进A等级茶叶m盒，则B等茶叶盒，销售利润为w元， 根据题意，得， 购茶的总预算控制在3万元以内， ， 解得， 根据，得w随m的增大而增大， 故时，利润最大，最大为（元）． 此时， 答：购进A等级茶叶75盒，B等级茶叶15盒时，利润最大，最大利润为6000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $