精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期月考一数学试题

长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集运算求解. 【详解】 故选：C 2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的运算可得，再由复数模的概念即可得解. 【详解】由题意， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解． 【详解】∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴． 故选：A． 4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】先配凑，然后运用基本不等式求出最小值 【详解】， 当且仅当，即，时，取得最小值. 故选：. 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆切线的性质及已知求得，再由二倍角正切公式求值. 【详解】化为，圆心为，半径为2 所以点到圆心的距离为，则切线长为， 所以，则. 故选：D 7. 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先根据经过点，得出只能为整数，排除选项A，C；再结合图像可验证选项B满足题意，选项D不满足题意. 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得出，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质可求的值及展开式所有二项式系数和；根据二项式定理可求常数项；令可求展开式中所有项的系数和. 【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误； 因为， ，因为，所以展开式中没有常数项，B正确； 展开式所有二项式系数和为，C错误； 令，可得展开式所有项的系数和为256，D正确． 故选：BD. 10. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由圆锥侧面积公式得到，根据勾股定理求出圆锥的高；B选项，由勾股定理得，表达出三棱锥的体积，利用基本不等式求出最大值；C选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，并求出，故，C错误；D选项，将与沿着折叠到同一平面内，得到最小值为，作出辅助线，由勾股定理求出最小值. 【详解】A选项，圆锥SO的侧面积为，即， 又，故， 由勾股定理得，A正确； B选项，因为为直径，所以⊥，且， 由勾股定理得， ， 当且仅当时，等号成立， 所以三棱锥的体积最大值为，B正确； C选项，取的中点，连接， 点B为弧AC的中点，所以， 又⊥，所以⊥， 因为，由三线合一得⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，故， 又，所以，故，C错误； D选项，若，则为等腰直角三角形，且， 又，所以为等边三角形， 将与沿着折叠到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时最小，最小值为， 过点作⊥，交的延长线于点， 则，， 所以，由勾股定理得 ，D正确. 故选：ABD 11. 记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（ ） A. B. C. 当时，有唯一值 D. 当时，有且仅有2个值 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由诱导公式，三角恒等变换，结合题目条件得到，根据三角形面积公式得到，求出A错误；B选项，由正弦定理得到；C选项，当时，，，所以，则，所以，C正确；D选项，根据和题目条件，换元可得，令，求导得到其单调性，结合特殊点函数值，零点存在性定理得到在内有且仅有2个值，则有且仅有2个值，D正确. 【详解】A选项，因为， 所以， 又， 所以 ， 所以， 因为， 所以，A错误； B选项，由正弦定理得， 故， ，B正确； C选项，当时，，，， 所以，则， 又，，所以，所以，C正确； D选项，当时，，，， 所以， 所以，故，， 即， 令，故，令， 则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在内有且仅有2个零点， 所以在内有且仅有2个值，则有且仅有2个值，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列前项和的性质可得公差，再利用二次函数性质可求最大值. 【详解】设等差数列的公差为，， ， 解得，， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 14. 将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解即可. 【详解】由题意得的可能取值为1，2，3， 其中，， ，故. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） （2）不能，理由见解析过程 【解析】 【分析】（1）根据总量结合分量的占比进行计算求解即可； （2）根据题中公式，结合附中表格的数据进行计算判断即可. 【小问1详解】 因为200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分， 所以该校成绩超过90分的人数为， 成绩没有超过90分的人数为， 因此； 【小问2详解】 零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. （1）求证：平面BDM； （2）若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接AC交BD于，连接MN， 因为四边形ABCD是正方形，故为AC中点，是AE的中点， 所以在中，有， 又平面平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC交BD于，连接MN，通过可证明； （2）建立空间直角坐标系，，利用坐标运算通过求出，再利用向量法求线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系，设， 则， 又是AE的中点，故， ，因为， 所以，解得， 设，即， 可得，则， 又，设平面AEF的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线PM与平面AEF所成角为， 则 所以直线PM与平面AEF所成角的正弦值为. 【点睛】 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后分及讨论即可得； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，，则， 又在处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意可得：的定义域为，， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 令，， 则， 由可知，令，． 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得， 即，所以. 故可证明. 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的切线分别交直线，于点，椭圆的左、右焦点分别为． （i）证明：四点共圆； （ii）若（i）中圆的半径，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）借助离心率与椭圆上的点计算即可得； （2）（i）设出直线方程，取直线与轴交点为，将直线方程联立椭圆方程，借助韦达定理计算可得，即可得证；（ii）由题意可得直线斜率范围，再借助斜率表示出后即可得解. 【小问1详解】 （1）由题意知，解得， 则的标准方程为：； 【小问2详解】 （i）由题意知椭圆的切线斜率存在， 设，直线与轴交点为， 则， 由对称性可知，， ∵， ∴， ∵， ∴，即，即四点共圆； （ii）∵，∴， ∵， 当时，； 当时，， ∴， ∴， 综上，． 19. 已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. （1）判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. （2）已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． （3）证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 【答案】（1）是“和差单值”数列 （2）是“和差单值”数列，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“和差单值”数列的定义和反证法证明即可； （2）根据“和差单值”数列的定义和反证法证明即可； （3）根据已知条件列出不等式，进而根据“和差单值”数列的定义判断即可. 【小问1详解】 对于：8，4，2，1，2，4，8， 若不是“和差单值”数列， 则存在以及，使得， 则． 1为该数列中唯一奇数． 若，则，为奇数，矛盾 若， 则只能是或或或， 这里的，枚举可得均不成立， 故是“和差单值”数列. 【小问2详解】 由（1）可得，若不是“和差单值”数列，则存在以及， 使得，即， 设中最小值为，则， 只能是， 由于为偶数，而, 故为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立， 是“和差单值”数列. 【小问3详解】 数列共有项，且恒成立， 取， 由，可知， 又，则至多有个不同的值， 故中必有两个值相等，故一定不是“和差单值”数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2026届高三月考试卷（一） 数学 本试卷共8页．时量120分钟．满分150分． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，设复数，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 3. 已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 5. 已知正数满足，则的最小值是（ ） A. 17 B. 16 C. 15 D. 14 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式中没有常数项 C. 展开式所有二项式系数和为1024 D. 展开式所有项的系数和为256 10. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 11. 记的内角的对边分别为，外接圆半径为；面积为S，若，则（ ） A. B. C. 当时，有唯一值 D. 当时，有且仅有2个值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知等差数列的前项和为，若，且，则的最大值为________． 13. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 14. 将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为，则________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t （1）求； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，是的中点. （1）求证：平面BDM； （2）若平面，点为线段CE上一点，且，求直线PM与平面AEF所成角的正弦值. 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程; （2）讨论的单调性; （3）证明: 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆的切线分别交直线，于点，椭圆的左、右焦点分别为． （i）证明：四点共圆； （ii）若（i）中圆的半径，求的取值范围． 19. 已知是项正整数数列，令，其中.若对任意的中均无相同的项，则称数列为“和差单值”数列. （1）判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列. （2）已知，其中为两两不同的正整数，问：是否为“和差单值”数列？请说明理由． （3）证明：若的最大值不超过，则一定不是“和差单值数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $