精品解析：2025年青海省西宁市第七中学中考第三次模拟考试数学卷

2025西宁市第七中学学考第三次模拟考试数学卷 一、选择题 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔明锁（如图①），其中一柱如图②所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 足球是世界上公认的第一大运动，其形状可抽象为球体．如图，设足球的半径为r，则足球的体积为．关于，下列说法正确的是（ ） A. 系数为 B. 次数为4 C. 它与足球的表面积是同类项 D. 已知常用足球的半径为，则其体积为 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 选出某班短跑最快的学生参加运动会 C. 企业招聘，对应聘人员进行面试 D. 地铁站工作人员对乘客进行安全检查 6. 如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，作的角平分线和作于，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③若，是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是；④若抛物线与轴交于点，当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为，． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ② 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 0的算术平方根为_____． 10. 分解因式：＝_____ 11. 第19届亚运会于2023年9月23日~10月8日在杭州举办，此次运动会的精神是：“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”．它传递了亚洲人民的自信、乐观，不畏挑战，共赢美好的期许，寄托着面向未来，共建亚洲和人类命运共同体的良好愿望．现有四张卡片，正面写着这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的概率为__________． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为________. 13. 如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 14. 在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 15. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是___． 16. O为坐标原点，等边三角形的顶点A的坐标为，顶点B在反比例函数的图象上，则________． 17. 定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 18. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为________． 三、解答题（共76分） 19. （1）计算： （2）解不等式组：，并求出其最大整数解． 20. 解方程： 21. 如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． （1）求证：； （2）若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 22. 我国“双碳”目标是2030年前“碳达峰”和2060年前实现“碳中和”.要实现目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人也需做出贡献.某市为了解居民日常生活基本需求的核心消费领域--衣、食、住、行的碳排放量，通过简单随机抽样调查，获得50个家庭一个月的碳排放量（单位：kg）数据，进行整理和描述，绘制如下统计图表 组别 月碳排放量 组中值 频数（个数） 500 2 10 900 20 1100 15 1300 3 请根据所给信息，解答下列问题： （1）统计表中的值为 ，若以各组组中值代表各组的实际数据，则样本的众数为 ； （2）若从组和组中随机选出2个家庭，为某社区做日常生活“减碳”的宣传，计算这2个家庭同时在组的概率． 23. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 24. 如图，菱形的对角线经过原点O，且，边，均垂直于x轴，垂足分别为E，F，边交y轴于点G．已知点C的坐标为，反比例函数的图象过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）过O，C，D三点作圆，设其半径为r． ①求圆的半径r的长； ②直接写出图中阴影部分的面积（结果保留π）． 25. 我国网球运动员郑钦文在2024年巴黎奥运会上勇摘桂冠，在国内掀起了网球热．在某单位组织的一场网球比赛中，运动员甲在距离球网水平距离为2米的位置将网球击出，网球的飞行路线呈抛物线状．已知网球在距离地面高度为米的位置被击出，且当网球飞行到水平距离球网米时，达到最高高度米．以球网所在直线为轴，水平地面为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求网球飞行高度（米）与水平飞行距离（米）之间的二次函数关系式； （2）若网球球场长度为米，判断该网球是否会出界？ （3）网球击球规则规定：当网球落地前接球或落地一次后弹起后接球均为有效接球，若该球落地后弹起的飞行路线为，对方运动员乙的接球高度最高为米，站在距离球网水平距离为米处接球，他要成功接到此球，求的取值范围． 26. 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”，为主题开展数学活动，如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和． 【操作发现】 （1）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到图②的，过点C作，与的延长线交于点E，四边形的形状是______； （2）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点F，连接，并延长至点G，使，连接，，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图④，平行四边形是一个花园的初步设计图，其中有四个三角形和一个四边形，其中和是分别将和绕平行四边形的中心对称点旋转得到的．为了让花园看起来更加和谐美观，要令四边形为菱形，且，若，．求这个平行四边形花园面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025西宁市第七中学学考第三次模拟考试数学卷 一、选择题 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，由此可解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：C． 2. 鲁班锁是一种源于中国古代的木工工艺，最经典的是六柱孔明锁（如图①），其中一柱如图②所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：图②中木块的主视图如下： ． 故选：A． 3. 足球是世界上公认的第一大运动，其形状可抽象为球体．如图，设足球的半径为r，则足球的体积为．关于，下列说法正确的是（ ） A. 系数为 B. 次数为4 C. 它与足球的表面积是同类项 D. 已知常用足球的半径为，则其体积为 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面积、同类项、认识立体图形，熟记概念是解决本题的关键． 根据题意，单项式的系数是指单项式中的数字因数，而单项式的次数则是指单项式中所有字母的指数的和．同类项是指在代数式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项．将数字代入到单项式中，即可求值． 【详解】解：对于A，的系数为，故选项正确； 对于B，的次数是3，故选项不正确； 对于C，与相同字母的次数不同，所以二者不是同类项，故选项不正确； 对于D，已知常用足球的半径为，则其体积为，故选项错误． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂乘法法则，以及积的乘方法则依次计算各选项，即可得解。 本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方运算法则． 【详解】解：A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 5. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 选出某班短跑最快的学生参加运动会 C. 企业招聘，对应聘人员进行面试 D. 地铁站工作人员对乘客进行安全检查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力具有破坏性，适宜抽样调查，故本选项符合题意； B．选出某班短跑最快的学生参加运动会工作量比较小，适宜普查，故本选项不符合题意； C．企业招聘，对应聘人员进行面试工作量比较小，适宜普查，故本选项不符合题意； D．地铁站工作人员对乘客进行安全检查比较重要，适宜普查，故本选项不符合题意． 故选A． 6. 如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分栽种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是解题的关键． 【详解】解：由题可得：可列方程为． 故选：A． 7. 如图，在中，，作的角平分线和作于，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于不是的垂直平分线，故不能证明． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得，可以理解成是平角的角平分线，是的平分线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 不是的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：，，不符合题意，符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线． 8. 如图，抛物线经过点，且对称轴是直线，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③若，是抛物线上的两点，则当时，的取值范围是；④若抛物线与轴交于点，当时，函数的最大值与最小值的差为6，则的值为，． A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，包括二次函数的图像与系数的关系，对称轴公式，函数值的比较及函数在给定区间内的最值问题，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．根据二次函数的图像与性质，对每个选项进行判断，综合后即可得到正确的个数． 【详解】解：①∵抛物线经过点， 将代入，得， 故①错误； ②∵抛物线对称轴为， ∴，即， 故②正确； ③当时，两点为，， 此时两点关于对称， 故③不正确； ④∵抛物线的对称轴为，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ∴顶点坐标， 当时，则为， 此时，当时，函数的最大值4， ∵当时，； 当时，， ∴当时，最小值为， 此时，函数y的最大值与最小值的差为：， 故④不正确； 综上，只有②正确． 故选：D． 二、填空题（每题2分，共20分） 9. 0的算术平方根为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：0的算术平方根为0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，属于应知应会题型，熟知0的算术平方根为0是关键． 10. 分解因式：＝_____ 【答案】a（a＋4）（a－4） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再运用平方差公式分解即可. 【详解】 . 故答案为：a(a+4)(a-4) 11. 第19届亚运会于2023年9月23日~10月8日在杭州举办，此次运动会的精神是：“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”．它传递了亚洲人民的自信、乐观，不畏挑战，共赢美好的期许，寄托着面向未来，共建亚洲和人类命运共同体的良好愿望．现有四张卡片，正面写着这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，用分别表示“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”，列举法求出所用的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：，用分别表示“用心交融”“互相包容”“团结向上”“紧密相拥”，随机抽取2张，共有6种情况，其中正面词语恰好是“团结向上”和“紧密相拥”的结果有1种， ∴； 故答案为：． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】由根与系数关系得到，，把展开后整体代入即可得到答案. 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴. 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根与系数关系和整体代入是解题的关键. 13. 如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，正确求出正六边形的中心角是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，再根据的周长公式、正六边形的周长公式计算． 【详解】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 14. 在中，若两直角边a，b满足，则三角形中最小的角的正切值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质及正切的定义．根据非负数的性质求出的值，根据根据大角对大边，小角对小边，得到最小的角，利用正切的定义解答即可． 【详解】解：∵两直角边a，b满足， ∴，即， ∴， ∵， ∴三角形中最小的角为， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．，，则的度数是___． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，先分别求出和，再根据“两直线平行，内错角相等”求出和，即可得出答案． 【详解】∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 16. O为坐标原点，等边三角形的顶点A的坐标为，顶点B在反比例函数的图象上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握以上知识点，灵活运用．当点在x轴上方时，过点作轴于点，由是等边三角形，点的坐标为，可得，，根据锐角三角函数的定义求出及的长，可得出点坐标，进而得出值，当点在x轴下方时，同理解答即可． 【详解】解：如图，当点在x轴上方时，过点作轴于点， 是等边三角形，点的坐标为， ，， ，， ， ； 如图，当点在x轴下方时， 同理得：， ； 综上，． 故答案为：． 17. 定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式．根据题意得到，再由方程有两个不相等的实数根得到，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 18. 如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故答案为∶5． 三、解答题（共76分） 19. （1）计算： （2）解不等式组：，并求出其最大整数解． 【答案】（1）；（2），最大整数解为． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂，解一元一次不等式（组），能求出不等式或不等式组的解集，是解此题的关键． （1）先算特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂，再进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，从而即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由得， 由得：， 则不等式组的解集为， 所以其最大整数解为． 20. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可； 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 21. 如图，在中，延长到点E，使，交于点O，连接． （1）求证：； （2）若，当等于多少度时四边形是矩形，并说明理由． 【答案】（1）证明：在中，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，推出，进而得到，再结合已知，利用即可证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质推出，结合，求出，，进而求出，即可得到的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，理由如下： 在中，， ∵，共线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 22. 我国“双碳”目标是2030年前“碳达峰”和2060年前实现“碳中和”.要实现目标，除了国家层面的规划和实施，我们每个人也需做出贡献.某市为了解居民日常生活基本需求的核心消费领域--衣、食、住、行的碳排放量，通过简单随机抽样调查，获得50个家庭一个月的碳排放量（单位：kg）数据，进行整理和描述，绘制如下统计图表 组别 月碳排放量 组中值 频数（个数） 500 2 10 900 20 1100 15 1300 3 请根据所给信息，解答下列问题： （1）统计表中的值为 ，若以各组组中值代表各组的实际数据，则样本的众数为 ； （2）若从组和组中随机选出2个家庭，为某社区做日常生活“减碳”的宣传，计算这2个家庭同时在组的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和条形统计图相结合，平均数，众数，中位数，利用中位数分析数据，利用树状图或者列表格进行简单概率的计算等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）利用平均数和众数的概念求解即可； （2）画出树状图，然后利用简单概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得； 在样本组成的数据中，出现次数最多的是900，故众数为900； 【小问2详解】 解：根据题意，对两组成员进行编号，列树状图如下： 从组和组中随机选出2个家庭的所有等可能的结果共20种，2个家庭同时在组的结果有2种，所以（同时在组）． 23. 每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了让学生学会读书，爱上读书，准备购进一批心理学书籍和科技类书籍放在学校和班级的图书馆及图书角里，其中购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元． （1）求心理学书籍和科技类书籍的单价各是多少元？ （2）若该校想要购进心理学书籍和科技类书籍共80本，要求心理学书籍不低于50本，设购买心理学书籍本，付款金额为元，请求出与的表达式，并求当为多少本时，有最小值，最小值是多少元？ 【答案】（1）心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元 （2），当本时，有最小值元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确理解题意、列出方程组和一次函数关系式是关键． （1）设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元，根据：购买3本心理学书籍和4本科技类书籍共需240元，购买6本心理学书籍和5本科技类书籍共需390元，即可得出方程组，解方程组即可； （2）根据付款金额=心理学书籍和科技类书籍的购买费用之和即可得出w与a的关系式，再利用一次函数的性质即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设心理学书籍的单价是元，科技类书籍的单价是元， 根据题意，得 解这个方程组，得 答：心理学书籍的单价是40元，科技类书籍的单价是30元． 【小问2详解】 解：由题意得，， 即， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当本时，有最小值，（元）． 24. 如图，菱形的对角线经过原点O，且，边，均垂直于x轴，垂足分别为E，F，边交y轴于点G．已知点C的坐标为，反比例函数的图象过点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）过O，C，D三点作圆，设其半径为r． ①求圆的半径r的长； ②直接写出图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①连接，取的中点，连接，利用点的坐标结合余弦函数的定义求得，解直角三角形可求得，据此计算可求得； ②证得是等边三角形，再推出，求得，据此根据三角形的面积公式和扇形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，且反比例函数的图象过点C， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①连接，取的中点，连接， ∵点C的坐标为，垂直于x轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线和经过原点O， ∴， ∴，为直径，为圆心， ∴， ∴， 即圆的半径； ②∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵边，均垂直于x轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解直角三角形，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积公式，圆周角定理． 25. 我国网球运动员郑钦文在2024年巴黎奥运会上勇摘桂冠，在国内掀起了网球热．在某单位组织的一场网球比赛中，运动员甲在距离球网水平距离为2米的位置将网球击出，网球的飞行路线呈抛物线状．已知网球在距离地面高度为米的位置被击出，且当网球飞行到水平距离球网米时，达到最高高度米．以球网所在直线为轴，水平地面为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求网球飞行高度（米）与水平飞行距离（米）之间的二次函数关系式； （2）若网球球场长度为米，判断该网球是否会出界？ （3）网球击球规则规定：当网球落地前接球或落地一次后弹起后接球均为有效接球，若该球落地后弹起的飞行路线为，对方运动员乙的接球高度最高为米，站在距离球网水平距离为米处接球，他要成功接到此球，求的取值范围． 【答案】（1） （2）网球不会出界 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出抛物线的解析式． （1）根据题意设网球飞行高度（米）与水平飞行距离（米）之间的二次函数关系式为，代入，待定系数法求解析式即可； （2）令时，得出网球落地的位置，与网球球场长度的一半比较即可求解； （3）计算当时，两个解析式的函数值，观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，抛物线顶点为，经过点， 设网球飞行高度（米）与水平飞行距离（米）之间的二次函数关系式为， 代入点，得 解得： ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得：（舍去）或 ∵网球球场长度为米， ∴网球不会出界 【小问3详解】 解：的顶点坐标为 ∵对方运动员乙的接球高度最高为米， 当时， 解得：或（舍去，） 当时，随的增大而增大， ∴， 当网球落地前接球，则当时， 解得：或 ∴或， 综上所述，他要成功接到此球，或． 26. 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”，为主题开展数学活动，如图①，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和． 【操作发现】 （1）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使，得到图②的，过点C作，与的延长线交于点E，四边形的形状是______； （2）将图①中的以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图③所示的，连接，取的中点F，连接，并延长至点G，使，连接，，得到四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图④，平行四边形是一个花园的初步设计图，其中有四个三角形和一个四边形，其中和是分别将和绕平行四边形的中心对称点旋转得到的．为了让花园看起来更加和谐美观，要令四边形为菱形，且，若，．求这个平行四边形花园面积的最大值． 【答案】（1）菱形； （2）四边形是正方形．理由如下： ∵点F是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 由旋转可知， ∴四边形是菱形． ∵， ∴． ∴四边形是正方形． （3）最大值为平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定、正方形的判定与性质、旋转的性质、二次函数的应用等知识，熟练掌握相关几何图形的判定与性质是解题的关键， （1）根据矩形的性质可得，再由旋转的性质可得，然后由平行四边形的判定与性质及菱形的判定定理即可解答； （2）根据已知可证四边形是平行四边形，由矩形的性质及旋转的性质可得，再根据矩形的判定与性质及正方形的判定即可解答； （3）如图④，分别过点A、点C作的垂线，垂足分别为P，M，过点E作于点Q．根据菱形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，易得；再根据平行线的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到、 ，然后列出，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 证明：在图②中，∵是矩形的对角线， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，，， ， ， ∴，． 又∵， 四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是菱形． （2）略； （3）如图④，分别过点A、点C作的垂线，垂足分别为P，M，过点E作于点Q． ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴当时，平行四边形花园ABCD的面积有最大值，最大值为平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $