第21章 二次函数与反比例函数拓展之几何篇（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】如图，抛物线经过点和，与y轴交于点C，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点 P、点E的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，若点是直线上方抛物线上一动点，求当的面积最大时点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作，连接，，且，与交于点，试分析在延长线上是否存在点，使得与全等，若存在请求出点坐标，若不存在则说明理由． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 类型二、二次函数与反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【融会贯通】 1．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 2．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 3．已知一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 类型三、二次函数与反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 类型四、二次函数与反比例函数中的直角三角形 【解惑】综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 类型五、二次函数与反比例函数中的平行四边形 【解惑】【问题背景】 如题图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）是上的点，且，连接并延长交反比例函数的图象于点．将矩形沿射线方向平移一定距离后，得到矩形．点的对应点为点，此时点的对应点的坐标为，求的值． 【深入探究】 （3）如题图，是的中点，连接．为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接、．若四边形是平行四边形，求的坐标． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 类型六、二次函数与反比例函数中的菱形 【解惑】如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 2．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图1，正方形中，．过A点作轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 类型七、二次函数与反比例函数中的矩形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，是轴上的一个定点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为的两部分时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，请在轴上找点，平面内找点，使得四边形为矩形，求，两点的坐标．（直接写出答案） 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于点A，B，点A的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)关于x的不等式的解集为________； (3)将直线AB平移，与函数的图像交于C，D两点，且点C在第一象限，点D在第三象限．若四边形是矩形，请直接写出矩形的面积． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点，． (1)求出抛物线的解析式； (2)若关于的方程（为实数）无解，求的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． ①当点与点重合时，求的值； ②当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 3．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 类型八、二次函数与反比例函数中的正方形 【解惑】在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象与一个正方形有两个不同的交点，这个函数在正方形内部的部分能将正方形分成两部分，我们就称这个函数是这个正方形的“二分函数”．如图1，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数与正方形两边，的交点分别为点E，F，则函数就是正方形ABCD的二分函数． (1)求图1中的面积． (2)如图2，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数（m是常数，且）是正方形的二分函数，请直接写出m的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，，，抛物线与x轴交于点和点F． ①如图3，若抛物线过点C，求点F的坐标； ②若抛物线是正方形的二分函数，求a的取值范围． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 2．如图，四边形为正方形，点，点，且反比例函数的图象经过正方形的中心E． (1)求反比例函数的解析式． (2)若点P是反比例函数图象上的点，的面积等于正方形面积的，求点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 类型九、二次函数与反比例函数中的等角与倍角 【解惑】抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点． (1)如图1，若，为第四象限抛物线上一点． ①若交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标； ②如图2，若，试求点的坐标． (2)如图3，设抛物线的顶点为： ①求抛物线的顶点的坐标（用含的代数式表示）； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界）．如果“区域”中仅有4个整数点且时，直接写出的取值范围．（整数点就是横纵坐标均为整数的点）． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点B，经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C，以为斜边作直角，直角顶点H落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点H的坐标． 2．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 3．已知抛物线经过点，与x轴的正半轴交于点B，点，是直线上方抛物线上的两个动点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，．若，设，求出m的值； (3)当时， ①连接，，．若，点Q的横坐标为_______； ②若，将抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，P点的对应点为，Q点的对应点为，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为_______，的最小值为_______． 类型十、二次函数与反比例函数中的角度 【解惑】 如图1， 二次函数与x轴交于点A，B（点A 在点 B的左侧），与y轴交于点 C，点D 坐标为，过点D的直线与抛物线交于点 E，F，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为 (1)求证： (2)求m的值． (3)如图2，过点A 的直线交y轴于点 P，过点 E作， 连接FO交AP于点 H，此时，求是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【融会贯通】 1．抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 2．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 3．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与反比例函数中的全等三角形 【解惑】如图，抛物线经过点和，与y轴交于点C，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点 P、点E的坐标． 【答案】(1) (2)点或，点或 【分析】（1）由题意，利用待定系数法解答； （2）分别解得A、B、C的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以为顶点的三角形与全等，据此再分两种情况讨论：当点P在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线中， ， ； （2）令，则 令 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，以为顶点的三角形与全等，如图， 设 当点P在抛物线对称轴的右侧时， 或 当点P在抛物线对称轴的左侧时， 由抛物线的对称性得，此时点E的坐标同上， 综上所述，点或，点或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，充分利用数形结合与分类讨论的思想方法解题． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，若点是直线上方抛物线上一动点，求当的面积最大时点的坐标； (3)如图2，点为线段中点，过点作，连接，，且，与交于点，试分析在延长线上是否存在点，使得与全等，若存在请求出点坐标，若不存在则说明理由． 【答案】(1) (2)当的面积最大时点的坐标为． (3)存在，的坐标为． 【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数解析式，本题将，代入解析式，即可求解． （2）本题通过二次函数解析式，求出点，设直线解析式为，将代入解析式，求出解析式，再设过点作轴，交于点，设，则，得出，最后利用即可求解． （3）本题通过，两点求出直线的解析式，利用和点为线段中点，求出的解析式，根据要使得与全等，有，且可证，则，设出点，利用两点间的距离公式，即可求出点． 【详解】（1）解：由题知，将，代入解析式中， 有，解得， 抛物线解析式为． （2）解：当时，有，解得，， ， 设直线解析式为， 将代入解析式，有，解得， 直线解析式为， 过点作轴，交于点，如图所示： 设，则， ， ， ， ，二次函数开口向下，有最大值， 且当时，有最大值，最大值为16， 将代入点，有的坐标为， 故当的面积最大时点的坐标为． （3）解：存在点，使得与全等， 设直线解析式为， 将代入解析式，有，解得， 直线解析式为， 点为线段中点， ， ， 直线解析式为， 将代入解析式，有，解得， 直线解析式为， ∵ ∴, 易得, ∵∥,D是BC的中点，由相似可得，M是AC的中点， 又∵, ∴， 又∵, 要使得与全等，则， 过点作于点，如图所示： ， ， 的横坐标为， 将代入中，有， 的坐标为，则， ， ， ， 设，则有， 整理得，解得，， 点在的延长线上， ， 则的坐标为， 验证， ． 故的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，结合一次函数与二次函数求三角形面积综合，求函数与轴的交点，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定综合，解题的关键在于灵活运用三角形判定建立等式，求点的坐标． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）． （1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； （2）求△DOC的面积． （3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】1），m=1；（2）=1.5；（3）P（，）或P（-，） 【分析】（1）把C（1，2）代入可求出k值，可得出反比例函数解析式，把D（2，m）代入即可求出m的值； （2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F，根据C、D坐标可得CE、DF的长，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，即可得出点A坐标，可得OA的长，根据S△DOC=S△AOC-S△AOD，利用三角形面积公式即可得答案； （3）设点P坐标为（n，），根据全等三角形的性质可得PC=PD，根据两点间距离公式列方程求出n值即可得答案． 【详解】（1）∵点C（1，2）在反比例函数图象上， ∴k=2， ∴反比例函数解析式为， ∵点B（2，m）在反比例函数图象上， ∴m==1． （2）如图，过点C作⊥OA于E，过点D作DF⊥OA于F， ∵C（1，2），D（2，1）， ∴CE=2，DF=1， ∵C、D在一次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y=-x+3， 当y=0时，x=3， ∴A点坐标为（3，0）， ∴OA=3， ∴=S△AOC-S△AOD===1.5． （3）设点P坐标为（n，）， ∵C（2，1），D（1，2）， ∴OC=OD， ∵△POC和△POD全等， ∴PC=PD， ∴， 解得：， ∴P（，）或P（，）， ∴双曲线上存在一点P，使得△POC和△POD全等，P（，）或P（，）． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数及一次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 3．如图，直线AP的解析式y＝kx+4k分别交于x轴、y轴于A、C两点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点P．且PB⊥x轴于B点，S△PAB＝9． （1）求一次函数解析式； （2）点Q是x轴上的一动点，当QC+QP的值最小时，求Q点坐标； （3）设点R与点P同在反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴于T点，交AC于点M，是否存在点R，使得△BTM与△AOC全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）直线AP解析式为y＝x+2；（2）Q（0.8，0）；（3）R坐标为（4，1.5）． 【分析】（1）由直线AP解析式得到直线恒过A（-4，0），得到OA=4，设OB=a，PB=b，由P在反比例图象上得到ab=6，再由OA+OB表示出AB，根据AB与PB乘积的一半表示出三角形PAB面积，根据已知三角形PAB的面积求出a与b的值，确定出P坐标，将P代入直线AP解析式求出k的值即可； （2）找出C关于x轴的对称点C′，连接PC′与x轴交于点Q，确定出直线PC′解析式，求出与x轴交点即可确定出Q坐标； （3）由直线AP解析式求出OA与OC的长，若△BTM与△AOC全等，则有BT=OC，MT=OA，确定出M坐标，代入直线AP检验即可得到结果． 【详解】（1）直线AP解析式y＝kx+4k＝k（x+4）， 得到A（﹣4，0），即OA＝4， 设OB＝a，PB＝b，即P（a，b）， 代入反比例解析式得：ab＝6， ∵S△PAB＝AB•PB＝9， ∴（a+4）b＝9，即ab+4b＝6+4b＝18， 解得：a＝2，b＝3，即P（2，3）， 将P（2，3）代入直线y＝kx+4k中得：3＝2k+4k， 解得：k＝， 则直线AP解析式为y＝x+2； （2）对于直线y＝x+2，令x＝0，得到y＝2，即C（0，2），OC＝2， 找出C关于x轴的对称点C′（0，﹣2），连接PC′，交x轴与Q点，此时QC+QP最短， 设直线C′P解析式为y＝mx+n， 将P（2，3）与C′（0，﹣2）代入得：， 解得：m＝2.5，n＝﹣2， ∴直线C′P解析式为y＝2.5x﹣2， 令y＝0，得到x＝0.8，即Q（0.8，0）； （3）若△BTM≌△COA，则有BT＝OC＝2，MT＝OA＝4， ∴OT＝OB+BT＝2+2＝4，即M（4，4）， 将x＝4代入直线OP解析式得：y＝×4+2＝2+2＝4，即M在直线AP上， 将x＝4代入反比例解析式得：y＝＝1.5， 此时R坐标为（4，1.5）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 类型二、二次函数与反比例函数中的等腰三角形 【解惑】如图，直线与双曲线相交于A、B两点，A点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时，x的取值范围； (3)若点P为x轴上一点，为等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，根据图象即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：把点代入中得：， ∴， 联立得：， 解得：，， ∴点， 由图象可知，当时，或； （3）解：∵点， ∴， 当时，如图： ∴点的坐标为或， 当时，作轴于点，则，如图： ∵点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时，作轴于点，则，如图： ∵，， ∴点是的中点， ∵点， ∴点，即， 设点，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴点， 综上，点的坐标为或或或． 【融会贯通】 1．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）分两种情况：以为腰和以为底边，分别进行解答即可． 【详解】（1）将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； ∵在的图象上， ∴， 将、坐标代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）由函数图象可知： 当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）①当以为腰时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为，或； ②当以为底边时， 如图，过点A作轴于点D，连接， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵此时点P在x轴负半轴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、一次函数图象的性质，涉及到反比例函数性质，等腰三角形的判定及其性质、勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论的数学思想． 2．如图，已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A，B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的一个动点，且为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）直接将三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l与x轴的交点，即为符合条件的P点； （3）由于的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①、②、③；可先设出点的坐标，然后用点纵坐标表示的三边长，再按上面的三种情况列式求解． 【详解】（1）解：将代入抛物线中， 得：， 解得：， 故抛物线的解析式：． （2）解：当P点在x轴上，P、A、B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短， 此时， 故； （3）解：如图所示：抛物线的对称轴为：， 设， 已知， 则：； ①若，则， 得：，解得：， ②若，则， 得：，解得：； ③若，则， 得：，解得：； 当时，三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的点，且坐标为或或或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定、勾股定理、解方程等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解． 3．已知一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)点P在x轴上，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)8 (3)或或或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活应用相关知识，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）设直线交y轴于C，则，根据求解即可． （3）分三种情形：分别求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ， 在反比例函数图象上， ， ， 把A，B的坐标代入， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）设直线交y轴于C，则， ； （3）当时，如图过A作轴，可得，则， 当时，由题意， 则，可得或， 当时，如图过点A作轴，设， 在中，则有， 解得， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． 类型三、二次函数与反比例函数中的等腰直角三角形 【解惑】如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 3．如图，直线交轴于点，交轴于点，交反比例函数于点(第一象限)．若点的纵坐标为2，且． (1)求出反比例函数的解析式； (2)过线段上一点作轴的垂线，交反比例函数于点．连接，当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)当时，为等腰直角三角形 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）作，垂足为，设点，则，，根据等腰三角形性质列出方程求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：直线交轴于点，， 直线的解析式为， 当时，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）如图，作，垂足为， 设点，则，， ，， ， ， ，解得或舍去， 当时，为等腰直角三角形． 类型四、二次函数与反比例函数中的直角三角形 【解惑】综合运用 如图，已知抛物线与x轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点F，交直线于点，连接， ①连接，当的面积为时，求点的横坐标； ②直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． (3)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①的面积为时，点的横坐标为1或4；②能，当点的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于的方程，然后解方程求出就可得到对应的点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于的方程，从而可得到满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：（1）将代入， 得：， 解得，     则抛物线解析式为． （2）设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 所以直线的解析式为，    ． 设，则，， ∴． ①根据题意得的面积为， 故可得方程： 解得． 的面积为10时，点的横坐标为1或4．     ②能． ∵， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分． （3）抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与轴的交点坐标，能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3)面积的最大值是8，点P的坐标是． 【分析】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， 把点，代入解析式得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：设， 当时，则有轴，如图， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，过点P作轴，垂足为M，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， 即， 解得：（舍）或， ∴， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或； （3）解：设的延长线交与点N， ∵，点C与点B关于x轴对称， ∴， 设直线的表达式为：， 把A，C代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则）， ∴ ∴， ∵， ∴有最大值，且， ∴当时，的面积最大，最大面积是8， 此时，， 综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 3．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查了待定系数法、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解题的关键． （1）先把代入，求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求解；（3）分三种情况求解：①当时，②当时，③当点P在y轴上， 时，④，逐一分析，即可解答． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 类型五、二次函数与反比例函数中的平行四边形 【解惑】【问题背景】 如题图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，已知点． （1）求反比例函数的解析式． （2）是上的点，且，连接并延长交反比例函数的图象于点．将矩形沿射线方向平移一定距离后，得到矩形．点的对应点为点，此时点的对应点的坐标为，求的值． 【深入探究】 （3）如题图，是的中点，连接．为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）已知矩形的顶点，，因为矩形对边相等，所以点的坐标可求，再将点坐标代入反比例函数中即可求出的值，进而得到反比例函数解析式． （2）先根据求出点的坐标，再求出直线的解析式，联立直线与反比例函数解析式求出点的坐标，从而得到平移的规律，最后根据平移规律求出点的坐标，进而求出的值． （3）分三种情况讨论，当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质求出点的坐标，再根据点在反比例函数图象上求出点的坐标． 【详解】解： 四边形是矩形，，， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（舍去）， ， 矩形沿射线方向平移一定距离后得到矩形， 平移的规律是向右平移个单位，向上平移个单位， ， ， ，， ； 是的中点，， 设，， 情况一：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 情况二：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 情况三：当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、矩形的性质、一次函数的解析式、平移的性质以及平行四边形的判定，熟练掌握反比例函数的性质和矩形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接、．若四边形是平行四边形，求的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为；一次函数的解析式为 (2)点M的坐标为 【分析】本题反比例函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质等知识，掌握这些知识是关键； （1）把点B的坐标代入反比例函数解析式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式；再把点A的坐标代入反比例函数式，求得a的值，得点A的坐标；用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数解析式可求得点C的坐标，则得的长；设点，由题意，则可求得b的值，从而求得点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意，点B在反比例函数图象上，则有， ∴， 即反比例函数解析式为； ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， 即； 把点A、B的坐标代入中，得，解得：， 即一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的解析式为， ∴令，则， 即，； 设点， ∵轴，且点N在x轴正半轴上， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴ ∴点M的坐标为． 2．如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点）、A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点B在y轴上，． (1)求二次函数的解析式； (2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连接，，求面积的最大值； (3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值； （3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标． 【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， ∴二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ∴， ∴； （2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t， 令抛物线解析式的，得到， 解得，， ∴A的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴点Q的坐标为， ∴ ， ∴当时，有最大值， ∴面积的最大值为； （3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设N点坐标为， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 当为对角线时，由中点坐标公式得，， ∴， ∴， 综上所述：或或． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 3．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在下方时，可证明点P与点C关于抛物线对称轴对称，据此根据对称性可得点P坐标；当点P在上方时，设直线交x轴于H，则可证明，设，利用两点距离计算公式可得，解得，则；求出直线解析式为，联立直线解析式和抛物线解析式求出点P的坐标即可； （3）先由对称性求出由对称性可得，求出，，则；则可推出将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线，据此打得到新抛物线解析式为；再分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于分两种情况讨论求解，解（3）的关键在于利用平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解． 类型六、二次函数与反比例函数中的菱形 【解惑】如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)， 【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识， （1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（），根据，构建方程即可解决问题； （2）过点作直线轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出直线的表达式为，进而求出结论； （3）分两种情形：当四边形是菱形时；当四边形是菱形时．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴， ∴， 设点P的横坐标为m（）， ∵． ∴， ∴， 当点P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为， ∴点P的坐标为； （2）由（1）知点P的横坐标为，过点作直线轴． ∴点P在直线l上， 作点O关于直线l的对称点，则， ， 连接交直线l于点P，此时的值最小， 设直线的表达式为，由题意得： ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， ； （3）分两种情况： ①如图2中，当四边形是菱形时，设直线l交于点H， ， 由（2）知直线轴，则， 在中，， ， 同理， ∴； ②如图3中，当四边形是菱形时， 在中，， ， 同理， ∴． 综上所述，点P的坐标为，． 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图，已知抛物线与轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)抛物线的关系表达式； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点H 的坐标为或或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）求出点E坐标，设，分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线． ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①如图，为邻边，为对角线时； ；， 又， ∴， 解得，， ∴， 又的中点坐标为，即， ∴，， ∴， ∴； ②为邻边，为对角线时，如图， 同理： 又 ∴， 解得，， 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； 当时，， 的中点坐标为， ∴， ∴， ∴； ③为邻边，为对角线，如图， 同理：， 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得，， ∴， 综上，点H 的坐标为或或或． 3．如图1，正方形中，．过A点作轴于F点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)y，点E的坐标为； (3)存在，点Q的横坐标为或3或或. 【分析】（1）由正方形性质可得，利用同角的余角相等得出，再利用即可证得结论； （2）先求得，代入，求得，可得，当时，，即可求得答案； （3）利用待定系数法可得直线 的解析式为，进而可得直线 的解析式为，设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别列方程组求解即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设反比例函数的表达式为，把代入，得， ∴y， 当时，， ∴点E的坐标为； （3）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为，把代入得， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设， 又， 当为对角线时， ， 解得：， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或（舍去）， ∴； 当为对角线时， ， 解得：或， ∴ 或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题．考查了反比例函数图象上点的坐标特征、直角三角形的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、菱形的性质等． 类型七、二次函数与反比例函数中的矩形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，是轴上的一个定点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)是线段上的一点，当的面积被线段分成面积比为的两部分时，求点的坐标； (3)在（）的条件下，请在轴上找点，平面内找点，使得四边形为矩形，求，两点的坐标．（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)或； (3)，或，． 【分析】（）将点的坐标代入反比例函数解析式可得出的值；联立反比例函数与一次函数的解析式，可得出点的坐标； （）由点，的坐标可得出直线的解析式，分别过点，作轴的平行线，与交于点，，设点的横坐标为，根据三角形的面积公式，建立关于的方程，解之可得点的坐标； （）由题意可知，分别表达，，，根据勾股定理建立方程，可求出点的横坐标，再根据矩形的性质可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 令，得或， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，连接，分别过点，作轴的平行线，与交于点，，设点的横坐标为， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵的面积被线段分成面积比为的两部分， ∴或， ∴或 解得或， ∴或； （3）解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 设， 当点时，，，， ∴， 解得， ∴， 由矩形的性质可知，， 当点时，，，， ∴， 解得， ∴， 由矩形的性质可知，， 综上，若四边形为矩形，则，或，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，矩形的性质与判定，分类讨论思想，数形结合思想等相关知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于点A，B，点A的横坐标为2． (1)求一次函数的表达式； (2)关于x的不等式的解集为________； (3)将直线AB平移，与函数的图像交于C，D两点，且点C在第一象限，点D在第三象限．若四边形是矩形，请直接写出矩形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)10 【分析】本题考查待定系数法，图像交点与不等式的解集，矩形的性质，勾股定理等． （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）设直线与y轴的交点为E，则，延长，交y轴于点F，设，根据勾股定理在中构造方程，求出，待定系数法求出直线的解析式为，进而可求得点，从而根据两点间距离公式求出，，根据矩形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵点在的图像上，且点A的横坐标为2， 当时，． ∴， 将点代入，得， ∴一次函数的表达式为 （2）解：解方程组得，或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． 故答案为：或． （3）解：设直线与y轴的交点为E， 令，则， ∴， 延长，交y轴于点F，设 ∵，，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在，， 即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知点，． (1)求出抛物线的解析式； (2)若关于的方程（为实数）无解，求的取值范围； (3)点是抛物线上的任意一点（不与点重合），过点作轴于点，在轴上，以，为邻边作矩形． ①当点与点重合时，求的值； ②当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键． （1）先出点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据题意可得抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9，再由方程（为实数）无解，可得抛物线与直线无交点，即可求解； （3）①根据轴，可得，即可求解；②分两种情况：当时，点Q在点E的上方；当时，点Q在点E的下方，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴点C的坐标为， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线开口线下，且抛物线有最大值，最大值为9， ∵方程（为实数）无解， ∴抛物线与直线无交点， ∴； （3）解：①∵点与点重合，， ∴点， ∵轴， ∴点P的纵坐标为， ∵点， ∴， 解得：； ②根据题意得：点， ∵轴， ∴点， 当时，点Q在点E的上方， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴； 当时，点Q在点E的下方， ∵， ∴，解得：或， ∵， ∴； 综上所述，m的取值范围为或 3．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 类型八、二次函数与反比例函数中的正方形 【解惑】在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象与一个正方形有两个不同的交点，这个函数在正方形内部的部分能将正方形分成两部分，我们就称这个函数是这个正方形的“二分函数”．如图1，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数与正方形两边，的交点分别为点E，F，则函数就是正方形ABCD的二分函数． (1)求图1中的面积． (2)如图2，正方形各顶点的坐标分别为，，，，函数（m是常数，且）是正方形的二分函数，请直接写出m的取值范围． (3)在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B在x轴上，，，抛物线与x轴交于点和点F． ①如图3，若抛物线过点C，求点F的坐标； ②若抛物线是正方形的二分函数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的性质，平移变化以及与几何图形的综合应用. （1）先根据正方形边的特征求出点和的坐标，从而得到和的长度，再根据求解即可； （2）先讨论反比例函数与正方形边和边的交点条件，从而得到的初步范围，再排除反比例函数与正方形的交点为的情况 (此时仅一个交点，不满足“二分函数”条件)即可得到的取值范围； （3）①根据抛物线 过点，，代入即可求得抛物线的解析式，再令即可得到点的坐标； ②先根据抛物线过点得到与的关系式，从而得到抛物线的顶点坐标，再根据正方形的“二分函数”性质，分类讨论当抛物线顶点在正方形内部时和当抛物线与直线的交点在点上方，且与直线的交点在点下方时的情况即可. 【详解】（1）解：当时，， ． 当时，，解得， ， ，． ． （2）解：∵函数(是常数，且)是正方形的二分函数， ∴函数经过第一、三象限且与正方形有两个交点， ∵函数在线段和上都有交点， ∵，，，， ∴直线的表达式为，，直线的表达式为， ∴当时，函数与线段的交点的横坐标的取值范围为， ， ∴当时，函数与线段的交点的横坐标的取值范围为， ， ∵函数与线段和的交点都为即时，函数不是正方形的二分函数， ∴的取值范围为； （3）①抛物线过点，， ，解得 抛物线的表达式为． 当时，，解得（舍去），， ． ②四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2． 将代入，得， ， 顶点坐标为． 如图1，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， 解得； 如图2，当抛物线与直线BC的交点在点C上方， 且与直线AD的交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ，解得． 综上所述，a的取值范围为或． 【融会贯通】 1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．    (1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由； (2)连接、，若四边形为正方形． ①求k、b的值； ②若点P在y轴上，当最大时，求点P的坐标． 【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，见解析； (2)①；②当最大时，点P的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设点A的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于H，得到，求得，于是得到点E在这个反比例函数的图象上； （2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点A的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论； ②延长交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得，则点P即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论． 【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图象上， 理由：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A， ∴设点A的坐标为， ∵点C关于直线的对称点为点E， ∴，平分， 如图．连接交于H， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴于D， ∴轴， ∴， ∵， ∴点E在这个反比例函数的图象上； （2）①∵四边形为正方形， ∴，垂直平分， ∴， 设点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴（负值舍去），    ∴，， 把，，代入得， ， ∴； ②延长交y轴于P， ∵，， ∴点B与点D关于y轴对称， ∴， 则点P即为符合条件的点， 由①知，，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故当最大时，点P的坐标为． 2．如图，四边形为正方形，点，点，且反比例函数的图象经过正方形的中心E． (1)求反比例函数的解析式． (2)若点P是反比例函数图象上的点，的面积等于正方形面积的，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数和几何的综合，正方形的性质等知识． （1）由正方形的性质求出点E的坐标，根据点E的坐标即可求出反比例函数的解析式． （2）先得出点C的坐标，再求出正方形的面积，设点的横坐标为．根据，求出x的值，再根据反比例函数求出对应的y值即可得出点p的坐标了． 【详解】（1）解：点A的坐标为，点B的坐标为， ． 四边形为正方形， 点的坐标为， 即 ， 反比例函数的解析式为． （2）解：∵点，点 ∴ ， ∵是正方形， ∴点， 设点的横坐标为． 的面积等于正方形面积的， 则， 即． 解得或． 点在反比例函数图象上， 当时，； 当时，． 点的坐标为或 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 类型九、二次函数与反比例函数中的等角与倍角 【解惑】抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点． (1)如图1，若，为第四象限抛物线上一点． ①若交轴于点，求面积的最大值及此时点的坐标； ②如图2，若，试求点的坐标． (2)如图3，设抛物线的顶点为： ①求抛物线的顶点的坐标（用含的代数式表示）； ②规定抛物线与轴围成的封闭区域称为“区域”（不包含边界）．如果“区域”中仅有4个整数点且时，直接写出的取值范围．（整数点就是横纵坐标均为整数的点）． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①设面积为S，当时，，可得，设，求得直线解析式为，要求，可得直线的解析式为，联立，解得，根据，得,得当时，S有最大值，即得；②过点P作轴于点F，设交y轴于点E，得，根据，得，得，得,，设,求得直线解析式为，联立，解得，得，得，解得，即得； （2）①利用配方法将抛物线的解析式变形为顶点式，即可得出顶点的坐标；②抛物线与y轴的交点坐标为．当时，根据顶点坐标，依照题意画出图形，结合图形，得出关于a的不等式组，解得． 【详解】（1）解：①设面积为S， ∵， ∴当时，， 令，则， 解得， 令，则， ∴， 设，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， ∴， 联立， 解得， ∵， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值， ∴， ∴； ②过点P作轴于点F，设交y轴于点E， 则，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，直线解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或 (舍去), ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴顶点M的坐标为； ②当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，如图所示， ∵“区域”中仅有4个整数点， ∴有， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握二次函数与三角形面积综合，等腰三角形判定和性质，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数与方程组，二次函数与不等式组的关系，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于点、点B，经过点A、点O的直线与第三象限的双曲线交于点C，以为斜边作直角，直角顶点H落在第二象限． (1)求双曲线的解析式； (2)当时，求的面积； (3)若平分，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，得点，再将点A坐标代入，即可得出双曲线的解析式； （2）先求出直线的表达式为，进而可求出点，根据勾股定理得，再根据，可得出，进而求出的面积； （3）延长交的延长线于点，先证明，得；根据点D在直线，设，则，，再根据，得，由此可得，然后根据点是的中点，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点 将代入 ∴ ∴ 将代入 ∴ ∴； （2）解：设直线的表达式为 将代入，得 ∴直线的表达式为 ∵经过点、点的直线与第三象限的双曲线交于点， 可得方程组， 解方程组得：（舍去）或 ∴点 又∵ ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，延长交的延长线于点， ∵平分 ∴ ∵是直角三角形，且为斜线，点在第二象限 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴点是的中点 ∵点在直线上 ∴设点 ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 设点， ∵点是的中点 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，勾股定理，角平分线的定义，二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质． 2．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【详解】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．已知抛物线经过点，与x轴的正半轴交于点B，点，是直线上方抛物线上的两个动点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，．若，设，求出m的值； (3)当时， ①连接，，．若，点Q的横坐标为_______； ②若，将抛物线沿射线方向平移得到新的抛物线，P点的对应点为，Q点的对应点为，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为_______，的最小值为_______． 【答案】(1) (2) (3)①②， 【分析】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，两点间距离，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入计算解题； （2）求出直线的解析式，设，过点作轴于点，交于点，则，然后表示，求出比值即可； （3）①求出点的坐标，根据列方程解答即可； ②求出点P，Q的坐标，设平移后的点的坐标为，则点的坐标为，作点关于直线的对称点，连接，，当，A，，三点共线时，取最小值，过点作x轴的垂线交直线于点M，连接，可得点的坐标为，设直线的解析式为直线，代入解析式求出值即可得到顶点坐标，然后根据两点间距离公式求出最小值即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：令 则 ，解得：，， ∴, 设直线的解析式为，将, 代入解析式得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是此二次函数的图象上的两个动点， ， ∵过点作轴于点，交于点， ， ， ， ， ， ； （3）①解：当时，， ∴点P的坐标为， 设点Q的坐标为， ∵， ∴，即， 则， 解得（舍去），， 故答案为：； ②解：∵， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴点Q的坐标为， 当抛物线沿平移时，点P和Q同时平移， 设平移后点的坐标为，则点的坐标为， 作点关于直线的对称点，连接，， 则， ∴， 当，A，，三点共线时，取最小值， 对于直线，当时，， ∴点D的坐标为， 过点作x轴的垂线交直线于点M，连接， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为直线， 把点，代入得： ，解得， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴顶点坐标为， 这时，， ∴， 故答案为：，． 类型十、二次函数与反比例函数中的角度 【解惑】 如图1， 二次函数与x轴交于点A，B（点A 在点 B的左侧），与y轴交于点 C，点D 坐标为，过点D的直线与抛物线交于点 E，F，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为 (1)求证： (2)求m的值． (3)如图2，过点A 的直线交y轴于点 P，过点 E作， 连接FO交AP于点 H，此时，求是否为一定值．如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别过点E， 点F作轴于点H， 轴于点N，得到．证明即可得证． （2）根据，得到，解答即可． （3）如图2，过点F作轴于点 Q， 已知，，连接并延长交于点N．利用待定系数法，交点法，解答即可． 本题考查了待定系数法，三角形全等的判定和性质，交轨法求坐标，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）证明： 如图1， 分别过点E， 点F作轴于点H， 轴于点N， ∴． ∵点D 坐标为，点E 的横坐标为m，点F的横坐标为 ∴点H 的横坐标为m，点N的横坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：， 由（1）得，，点D 坐标为， 故， 整理，得， （舍去）， 综上所述， ． （3）解：如图2，过点F作轴于点 Q， 已知，，连接并延长交于点N． 设由（2）可得． ∵直线经过点， ∴． ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵直线经过点， ∴． ∵． 又∵， ∴， ∴． 当时，解得， 由题意可得， 点， ∴， 设直线的解析式为， 故，解得， 故直线的解析式为， 故， 解得 ， 又直线的解析式为， 故， 解得 ， 故， ， 设直线解析式为， 故， 解得， ， 解得， 故， 由（1）得，， 又∵，， ∴， ∴． 分别过点G，N作y轴的平行线，过点H作x轴的平行线，交于点K，点T， ，， ， ∴， ∴， ∴． ． 【融会贯通】 1．抛物线（，为常数，）的顶点为，与轴相交于，两点(点在点的左侧)，与轴交于，点． (1)若， ①求抛物线的解析式和点的坐标； ②点为第二象限的抛物线上一点，过点作轴，交于点，作轴于点，当时，求点的坐标； (2)若抛物线的对称轴交轴于点，点为线段上一点，过点作直线于点，当的面积的最大值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】（1）①利用已知点坐标带入抛物线方程求参数，再通过顶点公式直接计算顶点坐标． ②通过设定点坐标，结合几何图形条件（平行、垂直、角度），绘出相关图像，然后建立方程，利用坐标关系求解． （2）通过几何图形分析确定一次函数关系式，通过图像将三角形面积表示为变量的函数，利用二次函数的性质解决最值问题． 【详解】（1）①解：将带入中，得到， 将点带入解析式，得到方程，解得， 所以抛物线解析式为， 根据公式求得二次函数顶点坐标． ②根据题意画出图像： 由图可知：轴，轴， ， ， ， ， 点为第二象限的抛物线上一点， 设坐标为， 令，解得， 设所在直线的函数表达式为 将，带入表达式得 ，解得 所在直线的函数表达式为 设 解得：， （2） 已知经过点，代入得： 设，即的另一个解为 则 即 该二次函数的对称轴为 顶点的坐标为 则直线的斜率为 又 直线的函数表达式为 因此垂直于的直线斜率为1， 设， 直线的函数表达式为 联立，解得 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点： 最大面积为： 当时： 解得： 当时，的最大值位置为 【点睛】本题综合考察了二次函数的图像和性质，用图像明确几何图形中的角度与坐标的关系，通过二次函数模型解决三角形面积最值问题． 2．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】（1）代入点的坐标，求得系数，即可得抛物线的解析式； （2）过点作的平行线，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线方程，与抛物线的解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将以点为中心，逆时针旋转，由图形旋转的性质，可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，结合已知角度可知，点为直线与抛物线的交点，联立直线方程和抛物线的解析式，结合点所在象限，即可得出点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形相似的判定和性质，分析取最大值和最小值时，点所在的位置，用勾股定理解直角三角形，求出相应的最大值和最小值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ， 解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，平行线的性质，平行线间的距离，等面积转化，一次函数，矩形的性质，轴对称，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 3．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为， 把代入，可得：即，解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，可得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是． （3）解：设直线交y轴于点，如图， 轴， ，， 若为等腰三角形，则也为等腰三角形， ，， 直线的解析式为， 设， ， 直线的解析式为， 解方程组，得， 点的坐标是， ，，， 当时，，解得：（舍去正值）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ， 当时，，解得或（舍）或（舍）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 当时，，解得或（舍去）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 综上，或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$