第21章 二次函数与反比例函数（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数与一次函数的交点问题 【解惑】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点．即， 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故选： C． 【融会贯通】 1．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想成为解题的关键． 本题先把点代入，求得，然后观察函数图象即可求解； 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 2．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．设点横坐标，进而表示出点坐标，数形结合找到等量关系，即可解答． 【详解】解：延长交轴于点， 设点的横坐标为， ∵点是直线上一点， ∴，即：点的坐标， ∵平行于轴，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方， ∴点的坐标， ∵的面积为， 由图可得：， 即：， 解得：， ∴ 点的坐标， 故答案为：． 3．如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． （1）连接，则的面积为 ； （2）点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）根据反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点对称，则可推出，，进而可得； （2）利用待定系数法求出反比例函数解析式为；设点，，根据三角形面积计算公式可得；求出直线的表达式为，将代入中，得，解得或（舍去），据此可得答案． 【详解】解：（1）由反比例函数图象的对称性可知点A与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵点在的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； 设点，， ∴， ∴； 设直线的表达式为， 将，代入，， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入中，得， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点N的坐标为， 故答案为：． 类型二、二次函数与反比例函数的几何最值 【解惑】已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于，两点．若点的横坐标为1，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：二次函数与的图象均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：， 两个函数的解析式分别为，， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，点A在反比例函数y=的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则，证明，可得，，设，则，，，可得 ，再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交轴于，过作轴，垂足为，交于，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，，，， ∴， ∴， ∵，而当，时，则， ∴， ∴的最小值是， ∴的最小值是， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、轴对称-最短线路，熟练掌握以上知识点是关键． 利用求出反比例函数k值，继而得到，，再利用轴对称-最短路径求出点P坐标即可． 【详解】解：作轴， ∵点D、E都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴，， 找到点D关于y轴的对称点，则，连接交y轴于点P，此时，取得最小值， 设直线的解析式为，由条件可得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数的性质，过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分别表示出，进而根据二次函数的性质，求得取得最小值，最小值为，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为 设， ∵已知为等边三角形，边长为， ∴， ∴ ∵，则 ∴， ∴ ∴ ∴ 当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 故答案为：． 类型三、二次函数与反比例函数的增减性最值 【解惑】函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由，故该反比例函数图象位于第二、四象限，当时，函数的最大值为，可得出，再分析函数在上的极值即可得出答案． 【详解】解：∵，故该反比例函数图象位于第二、四象限． 当时，函数在第四象限，且，故随增大而递增． 因此，当时，取得最大值，即：， ∴， 当时，函数在第二象限，随增大而递增， ∴当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最大值，最大值为：， 故选：A． 2．已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，求反比例函数解析式和反比例函数的函数值，根据题意可得反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由当时，y的最大值是，可得当时，，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是， ∴反比例函数的图象经过第三象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 3．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 类型四、几何运动与函数图象结合问题 【解惑】如图，等边的边长为4，点P是上一动点（不与端点重合），作交于点E，作交AC于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，过点E作于点G，证明是等边三角形，即可表示出，在表示出，即可求得y关于x的解析式，即可解答，熟练利用表示相关图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，， ， ∵是等边三角形， , ， ∴，， 如图，过点E作于点G， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，∵， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图1，是等边三角形，点D在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接，设点P的运动时间为，为，当动点P沿匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示，有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由图知当动点P沿匀速运动到点C时，，作于点E，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点P沿匀速运动到点C时，， 作于点E， 是等边三角形，点D在边上，， ，， ∴， ∴， ∴. 故①正确； 当时，，, ， 是等边三角形， ∴， ∴. 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ∴， ∴最小为，即y能取到， 故③错误； 动点P沿匀速运动时， ∵， ∴， 由①知：，由， ∴， 当时，过D作，由③可知：，，则， ∴， ∴， ， 故④错误； 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 2．如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 连接交于点O，过点C作于点G，连接，根据菱形的性质以及，可得到为定值，从而得到y关于x的函数是反比例函数关系，结合图2可得，，然后在中，利用勾股定理可得，从而得到，进而得到关于的函数图象过点，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点C作于点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， ∴y关于x的函数是反比例函数关系， 根据题意得：当时，点E与点A重合，此时点F与点G重合， 当时，点E与点B重合，点F与点O重合， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴关于的函数图象过点， 设关于的函数表达式为， 把点代入得：， ∴关于的函数表达式为． 故答案为：． 3．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴， ∴． 故答案为：． 类型五、二次函数与反比例函数的平移 【解惑】如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 求得抛物线的顶点即可判断①对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得平移后的对应点为的最短路程为，即可判断②对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断③对． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①对； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点平移后的对应点为的最短路程为，故②对； ，当时，，随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故③对． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直角的一条直角边落在y轴上，且点A与点O重合，，将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度．若点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上．则的长度为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设的长度为，根据题意，得，，根据平移性质，得，即，根据点在反比例函数图象上，列出等式解答即可． 本题考查了平移的性质，反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的长度为，根据题意，得，，根据平移性质，得，即， 根据点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上． 故， 解得， 故选：C． 2．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，求反比例函数解析式，根据题意可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线，则新抛物线解析式为，利用待定系数法可求出平移后的抛物线解析式为，进而可求出点A的坐标，再利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式即可． 【详解】解：∵将抛物线沿向下平移得到新抛物线， ∴可设将抛物线向下平移t个单位长度，向左平移t个长度可得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线经过原点， ∴， 解得或（舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线对称轴为直线， 在中，当时，， ∴， 设经过点A的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点A的反比例函数解析式为， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2) (3)6 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点的问题、平移的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式． （1）利用平移的性质和待定系数法即可求解； （2）通过函数图象和不等式的关系即可求解； （3）先分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象得， ， 将代入得，， 解得， ∴； 将代入得，， 解得， ∴； 所以，一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2）解：根据函数图象的交点可得， 当时，； （3）解：由过点作x轴的平行线得， 当时，， 解得， ∴； 当时， 解得， ∴； ∴的面积为． 类型六、二次函数与反比例函数的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，如果将这个正方形绕点按顺时针方向旋转，则点恰好落在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正方形旋转后，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，由旋转的性质得，求出点B的坐标，代入解析式即可求出a的值． 【详解】如图，将正方形旋转后，连接，过点作轴的垂线，垂足为点，则， ∴， ∴， ∴点， ， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式，求出点B的坐标是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如图，A(4，0），B（1，3），以OA、OB为边作□OACB，反比例函数（k≠0）的图象经过点C．则下列结论不正确的是（　　） A．□OACB的面积为12 B．若y<3，则x>5 C．将□OACB向上平移12个单位长度，点B落在反比例函数的图象上． D．将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上． 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质得到点的坐标，再代入反比例函数（k≠0）求出其解析式，再根据反比例函数的图象与性质对选项进行判断. 【详解】解：A(4，0），B（1，3），， ， 反比例函数（k≠0）的图象经过点， ， 反比例函数解析式为. □OACB的面积为,正确； 当时，，故错误； 将□OACB向上平移12个单位长度，点的坐标变为，在反比例函数图象上，故正确； 因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上，正确. 故选：B. 【点睛】本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键. 2．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据所给条件判断出正方形的边长是解决本题的关键．根据点在的运动过程中，得到与的二次函数关系，根据有最大值6，可得到正方形的边长；进而得到当运动到点时，的值． 【详解】解：设正方形的边长为，由旋转可得：点在的运动过程中，， ， ， 抛物线的开口方向向下，对称轴为：直线， 有最大值6， ， 解得：（取正值）， ， 当点停止运动时，点运动到点处，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，如图： ， 四边形是正方形， ， ， 点、、在同一条直线上， ． 故答案为：48． 3．如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：①， 又∵对称轴为直线 ∴② 联立①②，可得，解得， ∴这个二次函数的表达式为 （2）解：∵， 抛物线开口向下，有最大值1， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：抛物线，该抛物线绕其顶点旋转，得出， 故答案为：． 类型七、二次函数与反比例函数的翻折 【解惑】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，以矩形的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点D．且与交于点E．过边上一点F，把沿直线翻折，使点C落在点处（点在矩形内部，且，若点的坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC=BC′=m，则EC′=m-2．在Rt△BEC′中，根据BC′2=BE2+EC′2，构建方程求出m即可解决问题． 【详解】解：连接OD、OE．设BC=BC′=m，则EC′=m-2． ∵CD=BD， ∴S△CDO=S矩形ABCD， ∵S△AOE==S△CDO=S矩形ABCD， ∴AE=EB， ∵C′（2，3）， ∴AE=EB=3， 在Rt△BEC′中，∵BC′2=BE2+EC′2， ∴m2=32+（m-2）2， ∴m=， ∴E（，3）， ∵点E在上， ∴k=， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题． 2．如图，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，点C的坐标为，将沿翻折，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，过点E作于点M，根据折叠的性质得，，易证；而，得到，即可得的比值；故可得出，而，从而求出，然后在中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程，即可求出k的值． 【详解】解：过点E作于点M，    ∵将沿翻折，C点恰好落在上的点D处， ， ，而， ， ， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∴，而， ， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 3．如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)，， (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴交点，再由待定系数法求解一次函数解析式； （3）先求出翻折后的解析式，设出平移后的直线解析式，找出两个临界状态，一个是直线经过点，一个是直线与抛物线相切时，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：将代入． ， 则， 则． 抛物线解析式为 即． 顶点坐标为； （2）解：当时，， ，． 点，． 设直线的表达式为．将，点代入得 ， 解得 直线的函数表达式为； （3）解：将直线向下平移个单位所得直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得； 将抛物线位于轴上方的部分关于轴对称， 得到新的图形的解析式为． 当直线与抛物线相切时， 令， 整理得， ． 解得 当时，直线与新的图形有四个不同交点． 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，翻折的性质，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点． 类型八、二次函数的铅垂高 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）或． 【分析】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质． （1）由待定系数法求出抛物线表达式，进而求解； （2）（Ⅰ）由题意知点的坐标为，点的坐标为，即可求解； （Ⅱ）由得到当时，为等腰直角三角形，再根据点在对称轴右侧或左侧分情况讨论，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 令，得，解得，， ，， ； （2）解：（ⅰ）由（1）知抛物线的解析式为． 令，得， ． 设直线的解析式为， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为， 由题意知点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长有最大值， 此时， 点的坐标为； （ⅱ）， ， 即当时，为等腰直角三角形． ①如图1，点在对称轴右侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ； ②如图2，点在对称轴左侧． ，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为， ． 由（ⅰ）知， ， 解得或（不合题意，舍去）， ． 存在，的值为或． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以AC为对角线或以AC为边这两个情况，进而求得点P的坐标即可． 【详解】（1）解：已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，得：， 解得：， 当时，， ，， 对称轴为直线， ， 抛物线经过A点，且与x轴的另一个交点为B， 将点A，点B的坐标代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1，作于F，交于E， ，， ， ， ， ， ∵，， 当时，， 当时，， ； （3）解：点P在抛物线对称轴上， 设， 以点A，C，P，Q为顶点作菱形， 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，两点坐标距离公式，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 3．综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，最大，最大面积为； (4)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解； （3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则，，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴ 解得， ∵在上， ∴ 解得， 当时，， 当时，， ∴或； （3）解：设直线为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于点， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴当时，最大，最大面积为； （4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接， ∵，， ∴轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴（） ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键． 类型九、二次函数与反比例函数的定值与比值 【解惑】如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M．      (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． (3)如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）令，求出，，根据，求出，即可得出答案； （2）先求出直线解析式为，分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点，设，则，求出，根据平行线分线段成比例定理得出：，根据，得出当时，有最大值为4，即可得出答案； （3）先求出顶点，对称轴为直线，设，，求出直线的解析式为：，求出当时，，根据根与系数的关系得出，，求出，根据，求出，为定值． 【详解】（1）解：令，则， ， 解得：，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：由得： ，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线解析式为， 分别过A，D作轴的垂线分别交于F，G点， 则，， 设，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4． ∴的最大值为． （3）解：∵， ∴顶点，对称轴为直线， 设，， 点P关于直线的对称点， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为： ， 当时，， 由得： ， ∴，， ∴， ∵， ∴，为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，平行线分线段成比例定理，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【融会贯通】 1．已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右边），交y轴于点C． (1)若． ①直接写出抛物线的解析式： ； ②如图1，连接，过抛物线第四象限上的点M作交y轴于N，若平分线段，求点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，点P在点B左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线的解析式为，当C为的中点时，试证明k为一个定值，并求出这个定值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． （1）①由待定系数法求解即可； ②过点作轴交于点，可求直线，设， 可求直线，则，那么，证明，则，同理可求直线，而，故，则，解得：或（舍），故； （2）联立直线和抛物线表达式，则，则，可得，则直线，同理可得直线，直线，可求得，，由为中点，得到，则，故． 【详解】（1）解：①将代入 ， 解得：， ∴抛物线解析式为； ②过点作轴交于点， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 设， ∵， ∴， 设直线， 代入点，得， 解得：， ∴直线， 当， ∴， ∴， ∵平分线段， ∴， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求直线， ∵轴， ， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴； （2）解：联立直线和抛物线表达式，则， 则， ∴， ∴， ∴直线， 同理可得直线， 直线， 对于直线，当，， ∴， 同理， ∵为中点， ∴， ∴， 又∵由题意可知， ∴， ∴． 2．已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 【答案】(1) (2)是， (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． （1）设二次函数的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）直线过点，求出直线，令，整理得，根据，求出．把代入直线解析式得，进而得出结论； （3）连接，令，求出，进而求出直线的解析式为，直线的解析式为，令，求出点的横坐标，即可求出，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 把点带入解析式，得， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：点纵坐标的值为定值．理由如下： 直线过点， ，即直线． 直线与反比例函数的图象只有一个交点， 令，整理得， ， 方程的解为． 把代入直线解析式得， 点的坐标为，即点纵坐标的值为定值； （3）解：如图，连接． 令，解得， ． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 同理，直线的解析式为， ． 令，解得（舍）， 点的横坐标． 点的横坐标， ． ， 当时，取得最大值，最大值为． 3．在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】（1）①将四个点的坐标代入反比例函数表达式即可求解； ②证明，得到，即，即可求解； （2）过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 由，则，，即可求解． 【详解】（1）解：①因为，，，， 所以除了第二个点外，其余点都在反比例函数上， ∴， 故答案为：2； ②是定值，理由： 设点，点， 如图1，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为点、， 四边形为正方形，则，， ，， ， ，， ， 则，即， 则为定值； （2）如图2，过点作直线轴，过点、分别作的垂线，垂足分别为点、， 设直线的表达式为：， 设点，点， 由（1）②知，， 则，， 即，， 由得，，由得，， 所以，， ∵，， ∴． 类型十、二次函数与反比例函数的新定义 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，若点满足我们称点P是“和谐等差点”．如：点，都是“和谐等差点”． (1)点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”，请直接写出点M的坐标； (2)若反比例函数k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点”，求k的值； (3)若点C是平面内一个“和谐等差点”，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，连接OC．设点C的横坐标为t，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②直线与函数S的图象有4个交点时，求出实数b的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)①；②当时，直线与函数图象有4个交点 【分析】（1）根据“和谐等差点”的定义，当时，求出y值，即可得出答案． （2）设点是反比例函数上的“和谐等差点”，根据“和谐等差点”的定义得出， 然后化为一元二次方程，再结合已知条件可知，进而可求出k的值． （3）①根据“和谐等差点”的定义可设点C的坐标为，然后分三种情况分别求出函数解析式式即可． ②分析出当直线过点和与函数有4交点时的情况然后根据零界状态分别求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”， 令, 则有，解得：， 当时，， 则点是一次函数图象上的一个“和谐等差点”． （2）解：设点是反比例函数上的“和谐等差点” 则根据题意得： 整理得： ∵反比例函数（，k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点” ∴ 解得： （3）解：①∵点C是平面内的一个“和谐等差点”， ∴可设点C的坐标为 I当，，即时， ∴ Ii当，，即时 Iii当，，即时， 综上所述， （或者写成） ②当直线过点和与函数有唯一一个交点时， 为两个临界状态， 当直线过点时，此时 解得∶ 当直线与函数有唯一一个交点时，与函数的图象有 3个交点，则有两个相等的实数根 整理得： ， 解得 当时，直线与函数图象有4个交点． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根判别式的应用，“和谐等差点”是解题的关键． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点和点．给出如下定义：若，则称点为点的伴随点．例如：点的伴随点为点． (1)若点的伴随点在双曲线上，则的值为______． (2)已知点在直线上，点是点的伴随点，求的值． (3)若点在直线上，则点的伴随点也在直线上，求点所在直线对应的函数表达式． (4)已知点的坐标分别为、，连接，若点在直线上，直接写出点的伴随点在线段上时的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)所在直线解析式为； (4)． 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握新定义及待定系数法求函数解析式是关键． （）按照新定义代入计算即可； （）按照新定义代入计算即可； （）根据点在直线上得到，根据新定义得到，即，设所在直线解析式为，代入点坐标得，根据等式对于所有都成立可得，继而得到直线解析式； （）由坐标可得线段解析式为，根据新定义，由点在线段上可得的取值范围，再利用条件得到，代入的取值范围即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：根据新定义可知点的伴随点， ∵点在双曲线上， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点是点的伴随点， ∴， ∵点在直线上， ∴； （3）解：∵点在直线上， ∴， 由新定义可知，即， 设所在直线解析式为，代入点坐标得： ， ∴，， ∴，， ∴所在直线解析式为； （4）解：∵、， ∴线段解析式为， 由新定义可知， ∵点在线段上， ∴，， 解得，， ∵点在直线上， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 2．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若点在某一个函数的图象上，且，则称该点是这个函数图象上的“和点”．例如：点（0，2）是函数图象上的“和2点”． 【基础应用】 （1）在函数：①；②；③；④的图象上，存在“和1点”的函数是___________．（填序号） （2）如图1，设函数与函数的图象的“和0点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的函数图象上只有1个“和点”时，求点的坐标． （4）在（3）的条件下，函数图象的顶点为，与轴交于点，线段轴，交函数图象于点．平移函数图象，使其顶点始终在直线上运动，当平移后的图象与射线只有一个公共点时，设此时图象的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）的值为或或1或0；（3）点的坐标为；（4）或 【分析】题目主要考查对新定义的理解，包括一次函数和二次函数综合问题，旋转的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“和1点”的定义，依次求解计算判断即可； （2）根据题意得出“和0点”在函数的图象上，然后联立两个函数求解得出点，再根据等腰三角形的定义分情况分析求解即可； （3）根据题意得出抛物线的顶点坐标为，设点的坐标为，再由旋转的性质确定旋转后的图象的顶点坐标为，旋转后的图象的解析式为，然后求解即可； （4）由（3）得旋转后的图象的解析式为，确定点，，．利用待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分三种情况，作出图象分析即可 【详解】解：（1）根据“和1点”的定义，得 ∴“和1点”在函数的图象上． 联立无解．故①不成立． 联立 解得故②成立． 联立 解得 故③成立． 联立无解． 故④不成立． 故答案为：②③． （2）根据“和0点”的定义，得． “和0点”在函数的图象上． 联立， 解得：和， 点． 轴， 点． 联立， 解得 点， ． ①当时，即． 解得． ②当时，即． 解得． ③当时，即． 解得（与点重合，舍去）． 综上所述，的值为或或1或0． （3）， 抛物线的顶点坐标为． 设点的坐标为． 将函数的图象绕轴上一点旋转， 为一对对应点的中点． 旋转后的图象的顶点坐标为． 旋转后的图象的解析式为． 旋转后的函数图象上只有一个“和点”， 联立 整理，得． 旋转后的函数图象上只有1个“和点”， 方程只有一个实数根， ∴ 解得． 点的坐标为． （4）在（3）的条件下，， 旋转后的图象的解析式为． 点，，． 设直线的解析式为， 代入得：， 解得： 直线的解析式为， 同理：直线的解析式为． 平移函数图象使其顶点始终在直线上运动， 平移后的图象的顶点的坐标为． 平移后的函数图象的解析式为． 平移后的图象与射线只有一个公共点， 联立 整理，得． 平移后的图象与射线只有一个公共点， ． 解得． 当时，如图1所示，平移后的函数图象与射线只有一个公共点． 当函数图象的顶点为时，与射线交于点和点， 将的图象沿向右移动时，函数图象与射线有1个交点，如图2所示，此时， 当函数图象经过点时，此时只有1个交点，如图3所示． 把点代入，得． 解得（舍去），． 当时，平移后的图象与射线只有一个公共点． 综上所述，当或时，平移后的图象与射线只有一个公共点． 3．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②； (2) 【分析】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“对角函数”，利用数形结合思想求解是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数与一次函数的交点问题 【解惑】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 2．如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 3．如图，点是反比例函数的图象上一点，连接并延长交反比例函数图象于点B，M为y轴正半轴上一点，连接并延长交反比例函数图象于点N，连接，已知的面积为． （1）连接，则的面积为 ； （2）点N的坐标为 ． 类型二、二次函数与反比例函数的几何最值 【解惑】已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于，两点．若点的横坐标为1，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点A在反比例函数y=的图象上，以为一边作等腰直角三角形，其中，，则线段长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形边在y轴上，在x轴上，且点B坐标为，反比例函数的图象与，交于D，E两点，的面积为8，点P为y轴上一点，当取得最小值时，点P的坐标为 ． 3．如图，已知为等边三角形，边长为，，分别为边，上的动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． 类型三、二次函数与反比例函数的增减性最值 【解惑】函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【融会贯通】 1．已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 2．已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 3．抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 类型四、几何运动与函数图象结合问题 【解惑】如图，等边的边长为4，点P是上一动点（不与端点重合），作交于点E，作交AC于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图1，是等边三角形，点D在边上，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线匀速运动，到达点A后停止，连接，设点P的运动时间为，为，当动点P沿匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示，有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点P沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 3．如图1，在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿的方向匀速运动；到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为ts，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为 ． 类型五、二次函数与反比例函数的平移 【解惑】如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直角的一条直角边落在y轴上，且点A与点O重合，，将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度．若点A、点C恰好同时落在函数（，）的图象上．则的长度为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，将抛物线沿向下平移，使平移后的抛物线经过原点，且平移后的抛物线的对称轴与原抛物线交于点，则经过点的反比例函数的解析式为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)连接，求的面积． 类型六、二次函数与反比例函数的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，如果将这个正方形绕点按顺时针方向旋转，则点恰好落在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，A(4，0），B（1，3），以OA、OB为边作□OACB，反比例函数（k≠0）的图象经过点C．则下列结论不正确的是（　　） A．□OACB的面积为12 B．若y<3，则x>5 C．将□OACB向上平移12个单位长度，点B落在反比例函数的图象上． D．将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上． 2．如图1，在正方形中，动点从点出发，沿的方向运动，当点到达点时停止运动，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，，设点的运动路程为，的面积为，图2表示的是关于的函数图象，已知点在的运动过程中，有最大值6，当点停止运动时，函数图象中的值为 ． 3．如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 类型七、二次函数与反比例函数的翻折 【解惑】如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，以矩形的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点D．且与交于点E．过边上一点F，把沿直线翻折，使点C落在点处（点在矩形内部，且，若点的坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，反比例函数的图象与矩形的边分别相交于点E、F，点C的坐标为，将沿翻折，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ． 3．如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 类型八、二次函数的铅垂高 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点． (1)求线段的长； (2)若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与点，重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． （ⅰ）当线段的长有最大值时，求点的坐标； （ⅱ）过点作交抛物线于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 3．综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 类型九、二次函数与反比例函数的定值与比值 【解惑】如图1，抛物线与轴交于A，B（点A在点B左侧），与轴相交于C．且，抛物线的顶点为M．      (1)求抛物线的解析式； (2)点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E，求的最大值． (3)如图2，直线与抛物线交于P，Q两点，点P关于直线的对称点为，直线与直线交点于点R，求证：的长为定值． 【融会贯通】 1．已知抛物线与x轴交于点A、B（A在B的右边），交y轴于点C． (1)若． ①直接写出抛物线的解析式： ； ②如图1，连接，过抛物线第四象限上的点M作交y轴于N，若平分线段，求点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线上，点P在点B左侧抛物线上，点Q在y轴右侧抛物线上，直线交y轴于点F，直线交y轴于点H，设直线的解析式为，当C为的中点时，试证明k为一个定值，并求出这个定值． 2．已知二次函数的图象经过点，一次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，若直线与该二次函数的图象的另一个交点为，与反比例函数的图象只有一个交点，判断点纵坐标的值是否为定值？如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作直线平行于轴，交抛物线于点F，H（点在点左边），当点在直线下方抛物线上运动时，求的最大值． 3．在平面直角坐标系中，点A在y轴上，正方形的顶点B在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，点D在反比例函数（k为常数，且，）的图像上，设点B、D的横坐标分别为m、n. (1)已知四个点，，，恰有三个点在反比例函数（k为常数，且）的图像上. ①__________； ②如图1，当正方形的顶点A与点O重合时，试探究是否为定值.如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (2)如图2，当正方形的顶点A在y轴的正半轴时，直接写出m、n满足的等量关系式. 类型十、二次函数与反比例函数的新定义 【解惑】定义：在平面直角坐标系中，若点满足我们称点P是“和谐等差点”．如：点，都是“和谐等差点”． (1)点M是一次函数图象上的一个“和谐等差点”，请直接写出点M的坐标； (2)若反比例函数k为常数）图象上有唯一一个“和谐等差点”，求k的值； (3)若点C是平面内一个“和谐等差点”，过点C作x轴的垂线交x轴于点D，连接OC．设点C的横坐标为t，的面积为S． ①求S与t的函数关系式； ②直线与函数S的图象有4个交点时，求出实数b的取值范围． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，对于点和点．给出如下定义：若，则称点为点的伴随点．例如：点的伴随点为点． (1)若点的伴随点在双曲线上，则的值为______． (2)已知点在直线上，点是点的伴随点，求的值． (3)若点在直线上，则点的伴随点也在直线上，求点所在直线对应的函数表达式． (4)已知点的坐标分别为、，连接，若点在直线上，直接写出点的伴随点在线段上时的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若点在某一个函数的图象上，且，则称该点是这个函数图象上的“和点”．例如：点（0，2）是函数图象上的“和2点”． 【基础应用】 （1）在函数：①；②；③；④的图象上，存在“和1点”的函数是___________．（填序号） （2）如图1，设函数与函数的图象的“和0点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的函数图象上只有1个“和点”时，求点的坐标． （4）在（3）的条件下，函数图象的顶点为，与轴交于点，线段轴，交函数图象于点．平移函数图象，使其顶点始终在直线上运动，当平移后的图象与射线只有一个公共点时，设此时图象的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 3．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$