第21章 二次函数与反比例函数（基础+中等类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数与二次函数的定义 【解惑】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列函数中，是反比例函数的是：（　　） A． B． C． D． 2．如果是二次函数，那么 ． 3．若是反比例函数，那么的值是 ． 类型二、反比例函数与二次函数的关系式 【解惑】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 2．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 3．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为时，视野为80度.如果视野f(度）是关于车速的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为 ；当车速为时，视野的度数为 度. 类型三、二次函数的图象与性质 【解惑】设是二次函数图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 2．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 3．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 类型四、反比例函数的图象与性质 【解惑】，是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【融会贯通】 1．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 2．点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是 ． 3．某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式： 类型五、一次函数、反比例函数、二次函数图象判断 【解惑】二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 3．函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 类型六、二次函数与反比例函数的对称性 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【融会贯通】 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．二次函数，当和时，的值相等． （1） ；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 3．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 类型七、反比例函数k的几何意义 【解惑】如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【融会贯通】 1．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，B是的中点，过点B作x轴的平行线交y轴于点C，交反比例函数的图象于点D，连接，，，则四边形的面积为 ． 类型八、二次函数的图象与各系数关系 【解惑】抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 类型九、二次函数的实际应用 【解惑】体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【融会贯通】 1．某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 2．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 3．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每月可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每月的销售数量将减少10件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售件数为件． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设每月利润为，求关于的函数关系式； (3)每件商品的涨价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (4)每件商品的涨价为多少元时，每个月的利润恰为1250元？根据以上结论，请你直接写出在什么范围时，每个月的利润不低于1250元？ 类型十、反比例函数的实际应用 【解惑】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【融会贯通】 1．在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 2．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 3．综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、反比例函数与二次函数的定义 【解惑】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别．掌握相关定义即可．二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次． 【详解】解：A．最高次项为一次，不符合题意； B．当时，不是二次函数，不符合题意； C．不是整式，不符合题意； D．满足二次函数的定义，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列函数中，是反比例函数的是：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式，也可转化为的形式，特别注意不要忽略这个条件． 根据反比例函数的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、是二次函数不是反比例函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不符合题意； D、不是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．如果是二次函数，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数是二次函数是解题的关键，根据二次函数定义求出即可． 【详解】解：是二次函数， 且， 解得， 故答案为：． 3．若是反比例函数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 类型二、反比例函数与二次函数的关系式 【解惑】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 【融会贯通】 1．杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即．如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是（    ）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】根据杠杆平衡条件：，并结合题意可得左侧是定值，从而进行判断． 【详解】由杠杆平衡条件：， ∵铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡， ∴右侧力F与力臂L的乘积是定值，即右侧力F与力臂L满足反比例函数关系． 故选：C 【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数中，自变量x与函数值y的积是定值是解题的关键． 2．长方形的周长为，其中一边，面积为，那么与的关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数解析式，解题关键是利用长方形的面积公式求得答案． 根据长方形的面积公式即可获得y与x的关系式． 【详解】解：长方形的周长为，其中一边， 另一边长为， ， 故答案为：． 3．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为时，视野为80度.如果视野f(度）是关于车速的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为 ；当车速为时，视野的度数为 度. 【答案】 40 【分析】首先根据题意，视野f（度）是车速v（km/h）的反比例函数，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设f，v之间的关系式为（k≠0）， ∵v＝50km/h时，f＝80度， ∴80＝， 解得k＝4000， 所以， 当v＝100km/h时，f＝＝40（度）． 故答案为，40. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 类型三、二次函数的图象与性质 【解惑】设是二次函数图象上的三点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，利用二次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， 且时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 2．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线，又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又∵抛物线过， ∴对称轴是直线． 又∵，且抛物线过， ∴． ∴． ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，， ∴无解； 综上所述，或． 故答案为：或． 3．在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x …… 1 … y … 0 … 则当时的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及用待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求出二次函数的解析式及对称轴方程是解答此题的关键． 由表中数据可得抛物线的对称轴为，运用待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象与性质可得出结论． 【详解】解：由表格可知，和时均有， ∴对称轴为：   观察表格，时，即顶点为， 设二次函数的顶点式为：   由表格中，，代入顶点式得：   ， 即， 解得  ， ∴二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值0，开口向下，越远离对称轴的函数值越小， ， 当时，取得最小值，为． 故答案为：． 类型四、反比例函数的图象与性质 【解惑】，是反比例函数图象上的两点，下列判断正确的是（  ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的性质，分析点和的横坐标符号及大小关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：∵反比例函数常量， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， A、当时，两点都在第一象限，，原说法错误，不符合题意； B、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法错误，不符合题意； C、当时，，两点都在第三象限，，原说法错误，不符合题意； D、当时，在第一象限，在第三象限，，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．一次函数与反比例函数在同平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一次函数和反比例函数图象经过的象限求参数，二次函数图象与其系数的关系，根据一次函数与反比例函数图象经过的象限可得，，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴右侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴， ∵对称轴为直线， ∴二次函数的对称轴在y轴右侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2．点都在双曲线上，则的大小关系（用“”表示）是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入反比例函数，求出的值，再比较出其大小即可． 【详解】解：∵点都在双曲线上， 则 ∵， ∴， 故答案为： 3．某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而减小．请写出一个符合上述条件的函数表达式： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 根据题意，找出符合条件的函数即可． 【详解】解：根据题意得， 符合条件的函数为：， 故答案为：（答案不唯一）． 类型五、一次函数、反比例函数、二次函数图象判断 【解惑】二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数和一次函数的图象与性质逐项判断分析即可． 【详解】解：A、图象中，二次函数开口向下，故，与轴交点为，一次函数的随的增大而减小，故，与轴交点为，此两个函数图象可在同一直角坐标系中，故此选项符合题意； B、图象中，二次函数开口向上，故，与轴交点为，这与二次函数与轴交点相矛盾，故此选项不符合题意； C、图象中，二次函数开口向下，故，一次函数的随的增大而增大，故，且两图象的交点为，与二次函数与一次函数在同一直角坐标系中的交点为相矛盾，故此选项不符合题意； D、图象中，二次函数开口向上，故，一次函数的随的增大而增大，故，此相矛盾，故此选项不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：二次函数，对称轴直线为， 当时，二次函数图象开口向上，则反比例函数的图象经过第一、三象限； 当时，二次函数图象开口向下，则反比例函数的图象经过第二、四象限； 只有B选项符合题意， 故选：B ． 2．在平面直角坐标系中，已知点，若抛物线与线段有两个不同的交点，则a的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 先求出线段的表达式为：，当抛物线与线段有两个不同交点，则，由得，当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入可得，故；当时，且抛物线经过点，代入解得：，故满足题意． 【详解】解：设直线的表达式为，代入， 得， 解得：， ∴线段的表达式为：， 当， 化简得：， 则， 解得：， 当抛物线经过点A时，满足两个交点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当符合题意； 当时，且抛物线经过点，代入得：， 解得：， 如图示： ∴当时符合题意， 综上所述：当或满足题意． 故答案为：或． 3．函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 类型六、二次函数与反比例函数的对称性 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 2．二次函数，当和时，的值相等． （1） ；（用含有的式子表示） （2）无论为何值，二次函数与交于点，当时，总存在随的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由当和时，的值相等，可得对称轴为，再由一般式对称轴公式即可得到，再化简即可； （2）根据相交得到，先求出，而总存在随的增大而减小，得到，那么，再由，即可求解最值． 【详解】解：（1）由题意可知， 解得； （2）令， 可得， 若和无关，则， 此时，即点的坐标为． 当时，总存在随的增大而减小， ，解得， 而， 故当时，代数式有最小值3， 故答案为：，3． 3．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 类型七、反比例函数k的几何意义 【解惑】如图，已知A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义．结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是反比例函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握反比例函数上的点的特征． 设，，由轴，轴于点推出，，，结合反比例函数图象与性质求出，，即可求得、，则． 【详解】解：设，， 轴，轴于点， ，，，四边形是直角梯形， 点在函数的图象上，点在函数的图象上， ，， 则，， ． 故选：． 2．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 3．如图，点A在反比例函数的图象上，B是的中点，过点B作x轴的平行线交y轴于点C，交反比例函数的图象于点D，连接，，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】该题考查了反比例函数中k值的几何意义，三角形中线性质，根据三角形中线性质得出，，从而得，根据，即可得出，即可求解． 【详解】解：点B是的中点， ，， ， ． 点D在反比例函数的图象上，且轴， ， ， ． 故答案为：6． 类型八、二次函数的图象与各系数关系 【解惑】抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的正负，根据对称轴判断a与b的关系式，根据特殊值和判断与的正负，根据判断a、b、c的关系，然后综合分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点为，， ∴，， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，，，， ∴函数图象大致如图所示： 由图象可知，， 所以， 故①正确； ②∵， ∴，， 故②正确； ③由图象可知，当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④当时，， ∴， 当时，， 由，得， ∴，即， ∴， 两个不等式相加，得， 由②，则， ∴， 解得， ∵， ∴，又， ∴． 故④错误． 综上所述，正确的有①②③，一共3个． 故选：C． 【融会贯通】 1．二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； ∴， ∵抛物线与 y 轴交于负半轴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线与 x 轴一个交点为 ，对称轴为， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 ， ∴ 时 ， ∴时 ，故选项B正确，不符合题意； 当 时，， ∵抛物线与 x 轴的交点为 ， ∴，故选项C正确，不符合题意； 故选：D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列6个结论：（1）；（2）；（3）；（4）（的实数）；（5）；（6）其中正确结论的有 个． 【答案】4 【分析】（1）由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴位置确定的符号，可对（1）作判断；（2）根据时，函数值小于，即可求解；（3）根据对称性可得：当时，，可作判断；（4）根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；（5）根据对称轴为，即可判断；（6）根据对称轴为：可得：，结合时，，可作判断； 【详解】解：（1）该抛物线开口方向向下， 抛物线对称轴在轴右侧， 、异号， ； 抛物线与轴交于正半轴， ， ；故（1）正确； （2）根据函数图象，可得当时，函数值小于， 即，故（2）不正确； （3）根据抛物线的对称性知，与的函数值相等，故当时，，即；故（3）正确； （4）对应的函数值为， 对应的函数值为， 又时函数取得最大值， 当时 即，故（4）错误 （5）∵对称轴为：, ， ，故（5）正确. （6）∵对称轴方程， ， ， 当时，， ∴， ，故（6）正确； 故正确的有（1）（3）（5）（6），共5个 故答案为：． 3．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 类型九、二次函数的实际应用 【解惑】体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，A处为喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图①）．如图②，曲线表示的是落点B离点O最远的一条水流，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的表达式是，求圆形水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【答案】圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【分析】本题主要考查二次函数的应用．求出函数解析式中时x的值，结合可得最终的x的值，从而得出的长． 【详解】解：当时，， 解得，， ∵， ∴，即． 答：圆形水池半径至少为时，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【融会贯通】 1．某经销商以元个的价格购进了一批摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，调查发现线下每周销量y个与售价元个满足一次函数关系（如下表)；线上售价为元个，供不应求．规定无论线上线下销售，每个摆件利润均不得高于进价的． 售价（元个） 销量（个） (1)求与的函数解析式； (2)若该经销商共购进个摆件，一周内全部售完．如何分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，最大利润是多少？（不计其他成本） 【答案】(1)； (2)线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （）待定系数法求解可得； （）根据“总利润线上利润线下利润”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 由表格可知，当，，当，， ∴，解得：， ∴与的函数解析式； （2）解：当线下销量为个时，线上销量为（个），设全部售完后获得的利润为w元， 根据题意得 ， ∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的， ∴，解得， ∵， ∴线上销售符合要求， ∵，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时线下销售量为（个），线上销售量为个， 答：线下销售个，线上销售个时获利最大，最大利润是元． 2．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 3．某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每月可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每月的销售数量将减少10件．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售件数为件． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设每月利润为，求关于的函数关系式； (3)每件商品的涨价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少？ (4)每件商品的涨价为多少元时，每个月的利润恰为1250元？根据以上结论，请你直接写出在什么范围时，每个月的利润不低于1250元？ 【答案】(1)（，是正整数） (2) (3)每件商品涨价5元时，每个月获利最大，最大的月利润为2250元 (4)每件商品涨价15元时，每个月的利润恰为1250元．当，是正整数时，每个月的利润不低于1250元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键． （1）当售价超过50元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件，直接根据销量等于原销量上涨的钱数即可求解，然后确定取值范围即可； （2）由利润（售价成本）销售量，即可列出函数关系式； （3）根据二次函数的性质解答即可； （4）令，得到关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：与的函数关系式为， ∵，且是正整数， ∴自变量的取值范围为，是正整数； （2）解：根据题意得：关于的函数关系式为 ， （3）解：∵，， ∴有最大值，当时，最大，此时为2250元． ∴每件商品涨价5元时，每个月获利最大，最大的月利润为2250元． （4）解：令，即， 解得：或（舍去） 即每件商品涨价15元时，每个月的利润恰为1250元． 所以当，是正整数时，每个月的利润不低于1250元． 类型十、反比例函数的实际应用 【解惑】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2)火焰的像高为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确列出函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：． 把代入，得．解得． 关于的函数表达式为； （2）解：把代入，得． 火焰的像高为； 【融会贯通】 1．在力的作用下，物体会在F的方向上发生位移，力F所做的功满足．当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示． (1)力F所做的功是多少？ (2)写出F与s之间的函数解析式． (3)当时，求s的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）把，，代入计算即可得解； （2）由题意可得，结合（1）可得，即可得解； （3）将代入（2）中的关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：把，，代入可得，力F所做的功是； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴F与s之间的函数解析式； （3）解：当时，， 解得． 2．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：    (1)当时，求y与x的函数关系式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答时应注意临界点的应用． （1）应用待定系数法求函数解析式即可； （2）观察图象可知：三段函数都有的点，而且段是恒温阶段，，所以计算和两段当时对应的x值，相减可得结论． 【详解】（1）解：设双曲线解析式为：， ， ， 双曲线的解析式为：； （2）解：设的解析式为： 把代入中得： 解得： 的解析式为： 当时，，解得 把代入，得 解得： 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 3．综合与实践 如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如表： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)把表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出这些点，并用一条光滑曲线连接起来； (2)观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式； (3)当砝码质量为时，求托盘B与点O的距离； (4)当托盘 B 向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量． 【答案】(1)详见解析 (2)y与x的函数关系式为： (3)当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是 (4)在移动前托盘B中的砝码质量 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图象，正确得出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可； （2）根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）当时，，求解即可； （4）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由图象猜测y与x之间是反比例函数关系， ∴设，将代入，得， 解得， ∴， ∴y与x的函数关系式为：； （3）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，活动托盘B与点O的距离是； （4）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$