精品解析：2025年河北省唐山市第三十九中学中考三模数学试卷

2025中考数学三模试卷（39中） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 两点间距离的定义 2. 下列各数中，与的差为有理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的对角线相交于O，，若，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 28 D. 26 7. 若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 1.5 B. C. D. 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为1，则点P的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. “五一”假期前，小华家设计了三种度假方案：参观植物园、看电影、爬山．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小华随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小华和姐姐抽取的度假方案不相同的概率是_______． 15. 将长方形沿按如图中那样折叠后，点A，B分别落在点G，H处，若，则的度数是_______ 16. 如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． （1）求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 18. 复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ （2）小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 19. “推进全民阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了九年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表： 时间（小时） 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 （1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数； （2）根据上述表格补全条形统计图； （3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于8小时的概率是多少？ 20. 如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． （1）求山顶点C到水平面的距离； （2）求山坡的长． 21. 如图，矩形位于平面直角坐标系第一象限，点O与原点重合，边和边分别与x轴、y轴重合，，B为中点，直线的函数关系式是，点P由A点出发，沿折线运动，运动路程为m，连接所在直线l的关系式为． （1）求b的值及点C坐标； （2）在点P运动过程中，若中的随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若直线l将线段分成两部分，请直接写出此时m的值． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，点A是外一点，连接交于E，分别以O，A为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线交于B，以B为圆心，为半径作圆，交于C、D两点，连接，交于F，连接、． （1）判断、与的位置关系，说明理由； （2）判断、的位置关系，说明理由； （3）若，弦，求的长及其阴影部分的面积． 24. 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025中考数学三模试卷（39中） 注意事项：1．本试卷共6页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．答题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 嘉琪将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个小三角形后，发现剩下纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 两点间距离的定义 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点之间，线段最短解答即可. 【详解】将一个正五边形纸片沿图中虚线剪掉一个三角形后，发现剩下的纸片的周长变小了，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短. 故选C. 【点睛】本题考查的是线段的性质，掌握两点之间线段最短是解题的关键. 2. 下列各数中，与的差为有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，实数，根据二次根式的加减法、无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是无理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项符合题意； C、是无理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图是由6个完全相同的小正方体搭建而成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得的图形即可． 【详解】解：从正面看，底层有3个正方形，第二层有2个正方形，第三层有1个正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体三视图的识别，主视图是指从物体的正面看物体所得到的图形． 5. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法，形式为，其中，为整数．将的小数点向右移动6位得到，所以． 【详解】解：∵， ∴，． 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线相交于O，，若，，则四边形的周长是（ ） A. 10 B. 20 C. 28 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 由四边形为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，根据的长求出的长，即可确定出其周长． 【详解】解：∵四边形 为矩形，，， ∴且， ∴， ∵ ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 则四边形的周长为， 故选：D． 7. 若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法，根据，可得，化简即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以“”中添加的代数式为． 故选：A． 8. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 9. 如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（ ） A. 1.5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由网格知，即可得，即可得到，再由勾股定理解三角形确定，即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由网格可知，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 10. 如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 根据二次函数与轴的交点问题可得关于的一元二次方程有两个不相等的实根，再利用根的判别式可判断①；先根据二次函数图象的开口向下可得，再根据对称轴、与轴的交点位置可得的符号，由此可判断②；根据二次函数的对称轴可判断③；根据时，可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，此二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 因此其根的判别式， 即，结论①正确； 此二次函数的开口向下， ， 二次函数的对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于轴的正半轴， ， ，结论②错误； 二次函数的对称轴为， ，结论③正确； 当时，， ，结论④错误； 综上，正确的结论有2个， 故选：B． 11. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上，若P到BD的距离为1，则点P的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°， ∵sin∠ABD=， ∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45° =•=2＞1， 所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为1的点2个， ∵sin∠CDF=， ∴CF=CD•sin∠CDF==1， 所以在边BC和CD上到BD的距离为1的点有1个， 总之，P到BD的距离为1的点有3个． 故选C． 考点：1.直角梯形；2.解直角三角形． 12. 如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接，若，，则线段的最大值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系等知识．连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，则， ∴， 由旋转可知，， ∵D是的中点， ∴， 在中，利用三角形三边关系可得（当B，C，D三点共线时取等号）， ∴， ∴的最大值为8， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案． 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 14. “五一”假期前，小华家设计了三种度假方案：参观植物园、看电影、爬山．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小华随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小华和姐姐抽取的度假方案不相同的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及小华和姐姐抽取的度假方案不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小华和姐姐抽取的度假方案不相同的结果有6种， ∴小华和姐姐抽取的度假方案不相同的概率为． 故答案为：． 15. 将长方形沿按如图中那样折叠后，点A，B分别落在点G，H处，若，则的度数是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，由平行线的性质并结合题意可得，由折叠的性质可得，再由平角的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作等边，交x轴于点，……，依次类推，的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的规律探索，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，作轴于，则，，即可得出，求出，，…，得出规律，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴， 如图，作轴于， ， 则，， ∴， ∵过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∵以为边作等边，交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，数轴上从左到右有点A、B、C、D，其中点C为原点，A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点． （1）求点B所表示的数，并在图中标出点B、C的位置； （2）若在数轴上另取一点E，且B、E两点间的距离是4，求A、B、C、D、E对应数的和． 【答案】（1）B点表示的数是， 在图中标出点B、C的位置如图所示： （2）或 【解析】 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，熟练掌握并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上中点的性质计算得出B点表示的数，表示在数轴上即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式计算得出E表示的数或，再分两种情况计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵A、D所对应的数分别为，1，点B为的中点， ∴B点表示的数是； 【小问2详解】 解：∵， ∴E表示的数是或， 当E表示的数是2时，A、B、C、D、E表示数的和为：； 当E表示的数是时，A、B、C、D、E表示的数的和为：． 18. 复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ （2）小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【答案】（1） （2）小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设淇淇把式中的一次项系数看成了，由题意可得，整理可得，再代入计算即可得解； （2）先求出的值，再代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：设淇淇把式中的一次项系数看成了， 根据题意，淇淇的计算结果为， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， 淇淇把式中的一次项系数看成了． 【小问2详解】 解：，， 当时，原式， 与互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． 19. “推进全民阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了九年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表： 时间（小时） 6 7 8 9 10 人数 5 8 12 15 10 （1）写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数； （2）根据上述表格补全条形统计图； （3）学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于8小时的概率是多少？ 【答案】（1）平均数为，众数是9，中位数为 （2） 补全图形如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数、众数以及中位数，用样本估计总体的知识，解题的关键是牢记概念及公式． （1）先得出50名学生读书的总时间，除以50即可求出平均数；在这组样本数据中，9出现的次数最多，所以求出了众数；将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，从而求出中位数是8.5； （2）根据题意直接补全图形即可． （3）从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于8小时的有37人再除以50即可得出结论． 【小问1详解】 解：观察表格，可知这组样本数据的平均数为：， 故这组样本数据的平均数为； ∵这组样本数据中，9出现了15次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是9； ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9， ∴这组数据的中位数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵读书时间是8小时的有12人，读书时间是9小时的有15人，读书时间是10小时的有10人， ∴读书时间不少于8小时的有（人）， ∴被抽到学生的读书时间不少于8小时的概率是． 20. 如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． （1）求山顶点C到水平面的距离； （2）求山坡的长． 【答案】（1）山顶点C到水平面的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【小问1详解】 解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． 【小问2详解】 解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 21. 如图，矩形位于平面直角坐标系第一象限，点O与原点重合，边和边分别与x轴、y轴重合，，B为中点，直线的函数关系式是，点P由A点出发，沿折线运动，运动路程为m，连接所在直线l的关系式为． （1）求b的值及点C坐标； （2）在点P运动过程中，若中的随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）若直线l将线段分成两部分，请直接写出此时m的值． 【答案】（1），点 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形和边的长，可求出b的值和C点的纵坐标 ，再把C点纵坐标代入中即可求出C点坐标． （2）设中点为Q，当点P从Q运动到D点时，，即可求出答案． （3）分两种情况：当时或时，用三角形相似即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，点B是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：设的中点为Q，如图所示， 当点P在折线上时（不包括点Q），，y随x的增大而增大，， 当点P在上时（不包括点Q），，y随x的增大而减小，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示， 设与的交点为E，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或20． 【点睛】本题考查了矩形和一次函数的综合问题，涉及到了动点、相似三角形、一次函数的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 22. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，面积最大为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【小问1详解】 解：将，代入． 得解得：， ； 【小问2详解】 设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 23. 如图，点A是外一点，连接交于E，分别以O，A为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线交于B，以B为圆心，为半径作圆，交于C、D两点，连接，交于F，连接、． （1）判断、与的位置关系，说明理由； （2）判断、的位置关系，说明理由； （3）若，弦，求的长及其阴影部分的面积． 【答案】（1） 和为的切线， 理由如下： 由作法得为的直径， ， ，， 、为的半径， 和为的切线． （2） ， 理由如下： 在中，，，，． ∴ 又∵ ∴． （3）弧的长为，阴影部分面积为 【解析】 【分析】（1）由作法得为的直径，由圆周角定理可得，然后根据切线的判定方法得到和为的切线； （2）证明得出，再结合，即可得证； （3）由垂径定理可得，，设的半径为，则，再结合勾股定理计算可得，解直角三角形得出，再结合圆周角定理和弧长公式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ， ， 设的半径为，则， ， 在中，， 解得， ， ， ， 弧的长为， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定定理、解直角三角形、弧长公式、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 24. 综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ． 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为．求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1），； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），最小值18 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，相似三角形判定及性质，正方形判定及性质，勾股定理，二次函数最值等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据题意证明，再利用性质得到，，继而得到本题答案； （2）先证明，再利用相似性质得，再得到，即可； （3）连接交于，利用勾股定理得到，再证明出四边形是正方形，继而得到关系式，并利用二次函数顶点式即可得到最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：，； （2）略 （3）连接交于，由（1）知，，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴与的函数表达式：， 由， ∴其最小值为18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $