精品解析：云南省昆明市莲华中学2024-2025学年上学期10月月考 九年级数学试卷

云南省昆明市莲华中学2024-2025学年上学期10月月考 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的有（　　） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若则代数式的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 3. 下列说法：其中正确的说法有（ ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： … －5 －4 －3 －2 －1 0 … … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线与轴的交点坐标为 C. D. 当时，随着的增大而增大 5. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点抛物线经过点如果抛物线的顶点位于内（不包含边界），则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（ ） A. B. C. D. 9. “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 26 10. 如图所示的抛物线经过点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 11. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 关于x的一元二次方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 13. 如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（ ） A. 36° B. 30° C. 25° D. 22.5° 14. 某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为_____． 17. 在平面直角坐标系中，点A为，点B是x轴上任意一点，则线段的最小值是_______． 18. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___． 19. 已知圆锥的高是，圆锥的底面半径是，则该圆锥的侧面积是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程 （1） （2） （3） （4）先化简再求值，其中是方程的解． 21. 2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． （1）用含x的代数式表示的长； （2）矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 22. 如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度： （1）的面积等于 ； （2）将以原点O为旋转中心，旋转得，画出旋转后的图形，并写出的的坐标． 23. 如图，已知为半圆O的直径．弦相交于点E．连接，点C是的中点．若，． （1）求的长： （2）M为的中点，点P在直径上，直接写出的最小值为______． 24. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 25. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 26. 如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点B作交于点D，连接并延长交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径的长． 27. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省昆明市莲华中学2024-2025学年上学期10月月考 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列函数中，是二次函数的有（　　） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：①，是二次函数，符合题意； ②，不符合二次函数的定义，不是二次函数； ③，整理后是二次函数； ④，整理后是二次函数； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如：这样的函数是二次函数是解题的关键． 2. 若则代数式的值为（ ） A. 或3 B. 1或 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 3. 下列说法：其中正确的说法有（ ） ①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②相等的弦所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ④长度相等的弧所对的圆心角相等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆相关定义，垂径定理，掌握圆的相关性质定理是解题的关键．根据圆相关定义，垂径定理，逐项分析判断即可求解． 【详解】①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故②错误， ③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故③错误； ④同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆心角相等，故④错误． 故正确的是①， 故选：A． 4. 二次函数的图象是抛物线，自变量与函数的部分对应值如下表： … －5 －4 －3 －2 －1 0 … … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴是直线 B. 抛物线与轴的交点坐标为 C. D. 当时，随着的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据表格信息求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数解析式为， 抛物线的对称轴是直线，故A选项不符合题意， 抛物线与轴的交点坐标为，B选项符合题意， ，故C选项不符合题意, 当时，随着的增大而增大，故D选项不符合题意， 故选： B． 5. 下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 故选D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点抛物线经过点如果抛物线的顶点位于内（不包含边界），则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将点坐标代入抛物线解析式中得出代入抛物线解析式中得出即可得出结论． 【详解】解：令则 ∵点在抛物线中，得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为 将代入中，得 ∵顶点位于内， 故选： 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标的求法，求出点的坐标是解题的关键． 7. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，解题关键在于画出半径，构造圆心角． 连接，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，四条边都大于2的平行四边形，分别以四个顶点为圆心，半径都为1在四边形内画弧，则阴影部分四段弧长之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据n边形的内角和定理计算出四边形的内角和，而四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，然后利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵四个扇形的圆心角的和等于四边形的内角和，即为， ∴阴影部分面积之和为． 故答案为：C． 9. “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，为的直径，弦于E，寸，弦寸，则的半径为多少寸 （ ） A. 5 B. 12 C. 13 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】连接，构造直角三角形，根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：连接，如图所示， 设直径的长为，则半径， 为的直径，弦于，， ， 而， 根据勾股定理得， 解得， 即的半径为13寸． 故选C． 【点睛】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 10. 如图所示的抛物线经过点，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，再判断两点到对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线经过点， ∴， 故选：A． 11. 某工厂2021年数字化改造总投入万元，2023年总投入预计达到万元，设年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据“2021年数字化改造总投入100万元，2023年总投入预计达到180万元”即可得出方程． 【详解】解：设年平均增长率为x，则2022的数字化改造总投入为：100（1+x）万元，2023的数字化改造总投入为：100（1+x）2万元，那么可得方程：100（1+x）2=180． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率某工厂对数字化改造总投入相等的方程． 12. 关于x的一元二次方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据题意列出关于k的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：且， 即， 解得：，且， 故选：C． 13. 如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（ ） A. 36° B. 30° C. 25° D. 22.5° 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG， 由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α ∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等， ∴OA=OB=OG=BG=AB， ∴△OAB和△OBG都是等边三角形， ∴∠OBA=∠OBG=60°， ∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质）， ∴∠CBG=30°， ∴α=30°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 14. 某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数的一般式写成顶点式，即可知道从点火升空到引爆需要的时间． 【详解】解：， ∵， ∴这个二次函数图象开口向下． ∴当时，礼炮升空到最高点， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 故选B． 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为_____． 【答案】##72 度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴五边形的各边都相等， ∴的度数为， ∴， 故答案为：． 17. 在平面直角坐标系中，点A为，点B是x轴上任意一点，则线段的最小值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是垂线段最短，坐标与图形，掌握“垂线段最短”是解本题的关键． 根据点到直线的距离垂线段最短，当是轴上任意一点时，轴时，线段的最小，点坐标为，故，即可得出答案． 【详解】解：依题意，点到轴的最短距离是垂线段的长度， ∵是轴上任意一点， 故当轴时，线段的最小， ∴根据坐标轴的性质可得，此时点坐标为， ∴， 即线段的最小值是， 故答案为：4 18. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程计算求出的值，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴． 故答案为：． 19. 已知圆锥的高是，圆锥的底面半径是，则该圆锥的侧面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算方法，解决本题的关键是根据已知条件求出圆锥的母线长和侧面展开扇形的弧长，然后用弧长与母线长乘积的一半求扇形的面积．根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，最后利用扇形的面积计算方法求得侧面积． 【详解】解：由勾股定理得：圆锥的母线长， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程 （1） （2） （3） （4）先化简再求值，其中是方程的解． 【答案】（1） （2）无解 （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解一元二次方程，分式的化简求值． （1）根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，再检验即可； （2）根据分式方程的解法，经过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，再检验即可∶ （3）用公式法解一元二次方程的解法即可； （4）根据分式的混合运算的方法进行化简，再用因式分解法求出方程的解，再根据解的合理性进行判断，代入计算即可 【小问1详解】 解： ， ， 经检验，是原方程的解， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 经检验，是方程的增根， ∴原分式方程无解． 【小问3详解】 即 ，，， ∵ ∴， ∴， 【小问4详解】 ∴或， 当时，原分式无意义， ∴， ∴原式 21. 2024年7月，受台风影响，我市某地遭受特大暴雨，受灾严重．我市迅速启动救援，拟建一批临时安置房．如图所示，现有一面长为米的墙，欲利用该墙搭建一间矩形临时安置房．已知目前有可搭建总长为米围墙的建筑材料（损耗忽略不计）．设边长为x米． （1）用含x的代数式表示的长； （2）矩形安置房总占地面积可能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1）米 （2）矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据矩形安置房总占地面积能为288平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵可建围墙的总长为米，且边长为米， ∴边长为：米； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意． 答：矩形安置房总占地面积能为288平方米此时，的长为米． 22. 如图所示：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度： （1）的面积等于 ； （2）将以原点O为旋转中心，旋转得，画出旋转后的图形，并写出的的坐标． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换． （1）分割法求三角形的面积即可； （2）根据中心对称的性质，画出，进而写出的的坐标即可． 【小问1详解】 解：的面积等于； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：． 23. 如图，已知为半圆O的直径．弦相交于点E．连接，点C是的中点．若，． （1）求的长： （2）M为的中点，点P在直径上，直接写出的最小值为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，，则，可得，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求解； （2）作于H，延长交圆O于N，连接，则的长即为的最小值，连接，，求出，根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵为半圆O的直径．，， ∴，，， ∴， ∵点C是的中点． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作于H，延长交圆O于N，连接，则的长即为的最小值，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及解直角三角形，轴对称求最小值，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，轴对称求最小值是解决问题的关键． 24. 如图，是正三角形内的一点，且．若将绕点A逆时针旋转后，得到． （1）求点与点之间的距离； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识．解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）连接，根据旋转的性质，证明是等边三角形，进而可得点P与点之间的距离； （2）根据勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，且，根据计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点P与点之间的距离为6； 【小问2详解】 解：在中， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为． 25. 网络直播已经成为一种热门的销售方式，某销售商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/，每日销售量与销售单价x（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经调查发现销售单价不低于成本价且不高于30元/．设销售板栗的日获利为w（元）． x（元/） 7 8 9 4300 4200 4100 （1）求日销售量y与销售单价x之间的函数解析式；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）设y与x之间的函数解析式为，把，和，代入即可得到答案； （2）由每千克利润乘以销售数量建立二次函数的解析式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数解析式为， 把，和，代入， 得， 解得， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w有最大值为48400元． ∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元． 26. 如图，是的直径，与相切于点A，连接，过点B作交于点D，连接并延长交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径，与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，由，得，，则，可证明，则，即可证明是的切线； （2）由，求得，则，而，所以，因为，所以，则的半径的长为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径的长为． 27. 如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值； 若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把点、代入中求出，的值即可； （2）由点得，，从而得，化为顶点式，根据二次函数的图象与性质即可得到结论； 易得到，则分为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中，得 ， 解得， ； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 把，代入得， ，解得， ． 点是轴上的一动点，且轴， ，， ． ， 抛物线开口向下． 又点在线段上运动， ， ， 当时，有最大值； 轴， 轴，即， 、是以、为顶点的菱形的边； 如图所示，当为对角线时，      ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 轴， 轴，即轴， 点与点关于抛物线对称轴对称， ， 对称轴为直线， 点的坐标为， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      ，，， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则，      同理可得， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 如图所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图所示，当为对角线时， ， ， ， x， 轴， 轴，这与题意相矛盾， 此种情形不存在； 如图所示，当为对角线时，设，交于， 轴， ， ， ，这与三角形内角和为度矛盾， 此种情况不存在； 综上所述，存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $