精品解析：2025学年山东省济宁市济宁学院附属中学教育集团中考第三次模拟数学试题

2024-2025学年第二学期第三次阶段评测初四数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是物理中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某种病毒的粒子形状不规则，其平均直径约是，数据转化为以m为单位后（），用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元 A. 32 B. 28 C. 32或36 D. 32或28 9. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：___________. 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 14. 现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 15. 如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是______． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）分式化简求值：，其中为满足的整数． 17. 如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 18. 2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 八年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接． （1）求反比例函数的解析式． （2）求的度数． （3）请直接写出图中阴影部分的面积． 20. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 21. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，此时、交于点，过点作于点，若，，求的长． 23. 已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线． （1）求出直线和抛物线的表达式； （2）将向下平移个单位后，所得直线与抛物线有两个交点，，且，求的值； （3）平移抛物线得到抛物线，若直线与抛物线仅有一个交点，且当时，有最小值，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第三次阶段评测初四数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在，，，四个数中，绝对值最小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，绝对值，掌握绝对值的规律：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是是解题的关键．根据绝对值的定义分别求出这四个数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，且， 绝对值最小的数是， 故选：A． 2. 下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式．根据单项式乘以单项式，积的乘方，完全平方公式法则进行计算即可求解． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图是物理中经常使用的型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，从左面看得到的图形是左视图，据此可得答案． 【详解】解：从左边看只能看到一个竖着放置的长方形，且靠近下面还有一条横着的虚线，即看到的图形如下： ， 故选：C． 5. 某种病毒的粒子形状不规则，其平均直径约是，数据转化为以m为单位后（），用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 6. 如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 延长交于点，得到，得到，根据平行线的性质得到，得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ，， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 7. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 【详解】解：列表如下， 共有12种等可能结果，其中符合题意的有4种， 小亮和爸爸相邻而坐的概率是, 故选：C． 8. 某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（ ）元/个时，月利润为9600元 A. 32 B. 28 C. 32或36 D. 32或28 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 9. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 10. 已知二次函数与的图象均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图象如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图象交于两点．若点的横坐标为1，点在轴上（三点不共线），则周长的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，则可得直线的解析式为，然后得出点C坐标，由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，进而求解即可． 【详解】解：把点代入得：， 解得：， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 假设点B是过点P的直线与的交点，∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 由的周长为可知，要使的周长为最小，则需满足为最小，则过点B作关于y轴的对称点E，连接，交y轴于点D，此时点D即为所求，即为最小，如图所示： ∴，， ∴， ∴的周长最小值为； 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件．从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 13. 周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出，，的长，进而利用求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设河宽为米，在中，， ∴， 在中 ， ∴， ∵， ∴， 解得： 所以河的宽度为（）米， 故答案为：。 14. 现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 15. 如图，平行四边形，，对角线，将绕点B旋转，使得点A落在直线上的点处，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，旋转的性质；如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，设，则，，，再证明得到，，代入求出，，利用勾股定理求出，即可求出和，再求即可，注意分情况讨论． 【详解】解：如图，以点B为圆心，为半径画圆，与直线交点即为，过作交直线于，则； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 当在右边时，， ， ∴； 当在左边时，， ， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 三、解答题（共8小题） 16. （1）计算：． （2）分式化简求值：，其中为满足的整数． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，求特殊角三角函数值，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算特殊角三角函数值和乘方，再计算负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据分式有意义的条件结合已知条件确定x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∵为满足的整数， ∴， ∴原式． 17. 如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）菱形的面积为120． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，尺规作图等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）分别以B、C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，连接，，则四边形即为所求； （2）连接交于点，利用菱形的对角线互相垂直平分得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案． 【小问1详解】 解；如图所示，四边形即为所要作的菱形； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ． 18. 2024年12月4日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩90分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级20名学生的竞赛成绩是：72，74，75，76，78，78，88，88，88，89，90，92，94，94，95，96，97，98，98，100． 八年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：89，89，88，87，86，85，83． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 八年级 88 94 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的____________，____________，____________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七年级有500名学生，八年级有600名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）88；， （2）八年级成绩更好，见解析 （3）该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的约有490人 【解析】 【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出； （2）根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； （3）用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数． 【小问1详解】 解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分， ； 从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到组的占， 八年级学生成绩达到的人数为：， 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是89，89，88，87，86，85，83， 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人， 八年级名学生竞赛成绩的中位数为， ； 八年级名学生竞赛成绩在组的人数为， 八年级名学生竞赛成绩在组的百分率为， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定； 【小问3详解】 解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的， 估计七年级的名学生达到优秀的有人， 八年级参加竞赛的人中达到优秀的有， 估计八年级的名学生中达到优秀的有人， 估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小． 19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接． （1）求反比例函数的解析式． （2）求的度数． （3）请直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由勾股定理求出，的长，然后证明是等边三角形，进而可求出． （3）根据求解即可． 【小问1详解】 把点 代入 ，得 ． ∴反比例函数的解析式是． 【小问2详解】 ∵矩形 中 ， ∴， ，， 由题意知． 由勾股定理得 ， ∴． 由勾股定理得， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【小问3详解】 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明是等边三角形是解答本题的关键． 20. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品2包，B种食品4包； （2）选用A种食品6包，B种食品2包． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求得的范围，设总热量为，得到，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品2包，B种食品4包； 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品6包，B种食品2包． 21. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ，即点D为中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接， 由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部． ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明； ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，此时、交于点，过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析 （2）①，证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，，根据平行线的判定和性质，得到，即可得到答案； （2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到，即可得到结论； ②由旋转的性质可得，进而得出，由勾股定理得，，设，利用勾股定理列方程求得，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，理由如下， 由题意可知，，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； 【小问2详解】 解：①，证明如下： ∵， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 由旋转的性质可得，， ∴， ∴； ②由旋转的性质可得，， ∴，，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 由勾股定理得，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形和矩形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 23. 已知直线与抛物线的一个交点坐标为，抛物线对称轴是直线． （1）求出直线和抛物线的表达式； （2）将向下平移个单位后，所得直线与抛物线有两个交点，，且，求的值； （3）平移抛物线得到抛物线，若直线与抛物线仅有一个交点，且当时，有最小值，求的值． 【答案】（1）； （2） （3）的值或7 【解析】 【分析】（1）将代入，，结合对称轴是直线，利用待定系数法即可求解； （2）由（1）可知，则向下平移个单位后，解析式为，设直线与抛物线有两个交点，的坐标分别为，则，是方程的两个根，即，得，，由，列方程即可求解； （3）由题意可知方程只有一个根，即只有一个根，得，即，当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，由当时，有最小值，分两种情况：若时，若时，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为 ∵点在抛物线上，对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知，则向下平移个单位后，解析式为， 设直线与抛物线有两个交点，的坐标分别为， 则，是方程的两个根，即， ∴，， ∵ 即：， ∴； 【小问3详解】 ∵直线与抛物线仅有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 即有两个相等的实数根， ∴， ∴， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵当时，有最小值， ∴若时，当，有最小值，即，解得； 若时，当，有最小值，即，解得（舍去）； 综上，或7． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $