精品解析：2025年河南省郑州枫杨外国语学校中考五模数学试题

2024-2025年下期九年级五质检模拟考试数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生对人工智能的了解情况 B. 对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查 C. 调查罗庄区2025年空气质量情况 D. 对临沂市初中学生每天写作业时间的调查 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线交x轴于点A、B，点A的坐标为(－4，0)，对称轴为直线x= －1，有以下结论： ① 该抛物线的最大值为a -b+c；② a+b+c＞0；③ ；④；⑤一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根． 其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，，按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 13. 如图，用六块全等的含的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为______． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为__________． 三、解答题（共8小题，16题10分，17-22题每题9分，23题11分，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：___________，___________； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自___________树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标是． （1）求反比例函数的表达式． （2）设直线与反比例函数的图象的交点横坐标分别为，与直线的交点横坐标为，若，求的取值范围． 19. 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． （1）连接，求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 20. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 21. 如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： （1）观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． （2）当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． （3）在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 23. 四边形是边长为10的菱形，与相交于点．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）如图1，当点第一次落在对角线上时，求与的数量关系以及的度数． （2）如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年下期九年级五质检模拟考试数学试题 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 2. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 调查全国中学生对人工智能的了解情况 B. 对即将发射的“神舟二十号”载人飞船的零部件质量情况的调查 C. 调查罗庄区2025年空气质量情况 D. 对临沂市初中学生每天写作业时间的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用情况．全面调查适用于需要精确结果或调查对象数量较少的情况，而抽样调查适用于对象数量多、范围广或具有破坏性的情况，据此解答即可． 【详解】解：A． 全国中学生数量庞大，全面调查成本高，适合抽样调查，故A不符合题意． B． 载人飞船零部件必须全部合格，否则存在安全隐患，必须全面检查，故B符合题意． C． 空气质量涉及长期监测且范围广，无法全面调查，故C不符合题意． D． 临沂市初中学生数量多，全面调查难度大，适合抽样调查，故D不符合题意． 故选：B 3. 歼－20是我国自主研发的第五代战斗机，具备高隐身性、高机动性等特点，它是我国空军崛起的关键，堪称我国航空工业史上最伟大的战斗机．它的报大航速约为每小时3427000m．数据3427000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据3427000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、乘方运算、合并同类项、完全平方公式，根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. 与不是同类项不能合并，故错误，不合题意； B.，故正确，符合题意； C.，故错误，不合题意； D.，故错误，不合题意； 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 6. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 7. 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【详解】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 8. 如图，是的直径，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是圆周角定理．添加辅助线，熟练掌握圆周角定理，是解答本题的关键． 连接，由圆周角定理可得，，再根据平角即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴． 故选：C． 9. 如图，抛物线交x轴于点A、B，点A的坐标为(－4，0)，对称轴为直线x= －1，有以下结论： ① 该抛物线的最大值为a -b+c；② a+b+c＞0；③ ；④；⑤一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根． 其中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、与x轴交点以及图像上点的坐标特征逐个进行分析判断即可． 【详解】解：由于抛物线的对称轴为x=-1，且开口向下，所以当x=-1时， ，故①正确； 由抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点为（-4，0），则根据对称性可知它与x轴的另一个交点为（2，0），所以当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确； 由于抛物线与x轴有两个不同交点，则，故③正确； 对称轴为，即b=2a＜0，所以b+2a≠0，故④不正确； 由（a≠0）可化为，可认为是和直线y=-1的交点情况，从函数图像可知这两个图像有两个交点，即一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，故⑤正确； 综上所述，正确的结论有①②③⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，对于二次函数 （a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：Δ=＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，，，，，按照此规律，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图象与点坐标可知，每两个坐标一个周期，每个周期横坐标，纵坐标，找到规律求解即可． 【详解】解：根据题意可得每两个坐标一个周期，每个周期横坐标，纵坐标， 即，， ∴， 即， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，则______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可． 【详解】解：若，则，，， 此时，， 若，则， 综上所述，k的值为或2． 故答案为：或2． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．根据根的判别式进行计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等实数根， ，且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，用六块全等的含的灰色直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，现在向大正六边形内部投掷飞镖，则飞镖射中灰色部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求解，勾股定理，设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，利用勾股定理求出另一条直角边，分别求出小正六边形，大正六边形的面积，再求概率即可． 【详解】解：设直角三角形中所对的直角边边长均为1，则斜边为2，所以另一条直角边为， 小正六边形的边长为， 小正六边形的面积为， 大正六边形的面积为， 飞镖射中灰色部分的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，．将绕点B逆时针旋转一定角度后得到，其中点C的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，旋转的性质，连接，根据旋转的性质，利用分割法得到阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵将绕点B逆时针旋转一定角度后得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：． 15. 如图，将边长为5的正方形的边绕点A逆时针旋转至，连接，过点D作垂直于直线，垂足为E，连接，，当以，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，的长为__________． 【答案】10或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质和勾股定理，三角形面积计算，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，如图所示： ∵四边形是平行四边形，正方形的边长为5， ∴，， ，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得： ； 当为平行四边形的边时，如图所示： 此时四边形为平行四边形，点E与点A重合， ∴， ∴． 综上分析可知：或10． 故答案为：10或． 三、解答题（共8小题，16题10分，17-22题每题9分，23题11分，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键，注意解分式方程要检验． （1）先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入、求出绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先去分母化成整式方程求解，然后再检验即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得：， 解整式方程，得：， ， ， 经检验：是原方程的根． ∴方程的解为． 17. 【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动． 【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 杨树叶的长宽比 2 杏树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 杨树叶的长宽比 杏树叶的长宽比 【问题解决】填空： （1）上述表格中：___________，___________； （2）这两种树叶从长宽比的角度看，___________树叶的形状差别比较小；一片长为，宽为的树叶，这片树叶来自___________树的可能性比较大． （3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？ 【答案】（1）； （2）杏；杨 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了中位数、众数，方差，统计图等知识． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据方差的意义求解即可，计算出该树叶的长宽比即可得出答案； （3）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将杨树叶的长宽比重新排列为、、2、、、、、、、， 所以其中位数， 杏树叶的长宽比的众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差， 所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小； ， 所以这片树叶来自杨树的可能性比较大， 故答案为：杏，杨； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： ∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种． ∴恰好小娟小东被选中的概率为． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标是． （1）求反比例函数的表达式． （2）设直线与反比例函数的图象的交点横坐标分别为，与直线的交点横坐标为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，理解反比例函数的图象及其性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解决问题的关键． （1）将点代入和中得，，由此可得点，及反比例函数的表达式； （2）先根据对称性求出点，当直线过点时得，当直线经过点时得，结合函数的图象即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点， ， 点，反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 正比例函数的图象与反比例函数的图象都关于原点点对称， 点，关于原点对称， 点的坐标为， 当直线经过点时，则 ， 当直线经过点时，则 ， 结合函数的图象可知：当时，直线与的交点在线段上，如图所示： 的取值范围是：． 19. 数学实践小组对卧式手摇纺车纺线时的场景进行了探究：纺线时（如图），木架水平放置，即绳轮与水平面相切于点E，线绳绕过绳轮汇聚于点D处放置的锭子上，即线绳与相切于点C，过切点E的直径与交于点A（图中点O，A，E，D，C在同一平面内）． （1）连接，求证：． （2）该小组在实践过程中发现，当纺车的绳轮半径为，且圆心O与D处锭子之间的水平距离在与之间时，纺线较为舒适．若，请判断使用该纺车纺线时是否舒适，并说明理由．（参考数据：，最后结果精确到个位） 【答案】（1） 证明：切于点C， ． ， ． ， ， ． （2）使用该纺车纺线时舒适， 理由：如图，连接， 切于点E，切于点C， ，， ，， ， ， 作的垂直平分线交于F，连接， 则， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ， 使用该纺车纺线时舒适． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，等于三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握切线的性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据切于点C，得出，根据等腰三角形的性质得出．根据，得出，最后证明结论即可； （2）连接，证明，得出，作的垂直平分线交于F，连接，根据等腰三角形的性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，即可得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形． 过点A作于，过点作于，利用矩形的判定与性质求得，，，在Rt中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在Rt中，，， ，， ，， 中，， ， ， 答：的长约为． 21. 如图1，在中，分别是的中点，连接，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿匀速运动，到点停止，将射线绕点顺时针旋转，与的边或交于点，设点的运动时间为的长为，探究与的函数关系．经过探究发现在点从点运动到点的过程中，是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．根据以上信息，回答下列问题： （1）观察图象，直接写出： ①的长为___________； ②点从点运动到点的过程中，的最大值是___________． （2）当点从点运动到点时，求与的函数关系式（写出自变量的取值范围）． （3）在点的运动过程中，若恰有两个时刻和，使其对应的的值相等，请你借助函数图象分析，直接写出和的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，三角形相似、二次函数的图象和性质、动点问题，明确点的移动情况是解题的关键． （1）①由图（2）知，，而，则，即可求解； ②点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线，即可求解； （2）证明，则．由题意，可知，，，．即可求解； （3）画出的图象，由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意，即可求解． 【小问1详解】 解：①由图（）知，，而， 则； ②由①知，， 点从点运动到点的过程中，点在上，长度由逐渐变大，当点移动到的中点时，为等腰直角的中位线， 则， 故答案为：①，②； 【小问2详解】 由函数图象，可知． ，，是的中点， ，． ，． 是的中点， ． ，， ． ， ， ，，，， ， ， 当点从点运动到点时，，与的函数关系式为； 【小问3详解】 画出的图象，如图所示． 由函数图象，可知当的值为时，恰有两个时刻和，满足题意． ， 解得：或（舍去）， ， 根据函数图象可得在中间，， ． 22. 四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 （2）商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【小问1详解】 解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； 【小问2详解】 解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 23. 四边形是边长为10的菱形，与相交于点．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为． （1）如图1，当点第一次落在对角线上时，求与的数量关系以及的度数． （2）如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2） 四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）设交于点O，由菱形的性质可得，，再由旋转的性质得，可得，即可求解； （2）由菱形的性质得，再由旋转的性质得，，证得四边形是平行四边形即可得证； （3）分三种情况：①当时，证明四边形是菱形，过点D作于点H，设，则，由菱形的性质求得，则，，再利用勾股定理求得，再利用勾股定理求得，即可求解；②当时，则，证E、B、C三点共线，即可求解；③当，且在上方时，过点E作于点G，则，由锐角三角函数定义求得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 如图，设交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图，当时， ∵四边形是菱形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴四边形是菱形， 过点D作于点H， 则， 设，则， 由勾股定理得， ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E、B、C三点共线， ∴； ③如图，当，且在上方时，过点E作于点G， 则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质和旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $