18.1 勾股定理 教学设计 2024－2025学年沪科版数学八年级下册

18.1 勾股定理 第1课时 勾股定理 课题 勾股定理 课型 新授课 教学内容 教材第52-54页的内容 教学目标 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容. 2.会初步运用勾股定理进行简单的计算. 3.在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法. 教学重难点 教学重点：探索勾股定理. 教学难点：利用数形结合的方法验证勾股定理. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 课件展示：这是1955年希腊为了纪念数学家毕达哥拉斯而发行的一枚纪念邮票. 【问题】观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？ 预设答案：两个小正方形中的小方格个数之和=大正方形中的小方格个数之和 【追问】同学们知道这个图案的由来吗？今天我们将要学习与这个图形有关的一个重要定理——勾股定理. 2.合作探究，探索新知 活动一：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图.并以 S1， S2与S3分别表示几个正方形的面积. 【观察】 观察图(1)，并填写： 观察图(2)，并填写： S1=____个单位面积； S1=____个单位面积； S2=____个单位面积； S2=____个单位面积； S3=____个单位面积. S3=____个单位面积. 答案： 图(1)：9；9；18. 图(2)：9；16；25. 【猜想】 图(1)，(2)中，三个正方形面积具有怎样的关系呢？用它们的边长表示是 . 【学生活动】根据上表中的数据进行猜想，同桌之间进行交流. 分析：面积之间的关系： 图(1)中，S1=9 S2=9 S3=18 ，即9+9=18 → S1+S2=S3. 图(2)中，S1=9 S2=16 S3=25 ，即9+16=25 → S1+S2=S3. 用它们的边长表示：S1=a² S2=b² S3=c² → a²+b²=c² 【操作】 下面请同学们在你们的方格纸上再画出几个不同的直角三角形，看一下这个关系“a²+b²=c²”是否依然成立. 【学生活动】作图、计算并进行验证. 得出结论：依然成立 【思考】 问题：你能用自己的语言归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？ 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 追问：这个结论是由我们画的有限个直角三角形猜想推导出来的，是否正确呢？如何确定它的正确性呢？ 方法1：拼一拼 以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图连在一起，通过剪、拼证明刚刚的猜想. 方法2：面积计算 已知：如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. 求证：a²+b²=c². 证明：取4个与Rt△ABC全等的直角三角形，把它们拼成如图(2)所示的边长为a+b的正方形EFGH. 从图中可见，A1B1=B1C1=C1D1=A1D1=c.∵∠B1A1E+ ∠A1B1E=90°，而∠A1B1E=∠D1A1H，因此∠B1A1E+ ∠D1A1H=90°，∠D1A1B1=90°.同理∠A1B1C1=∠B1C1D1 =∠C1D1A1=90° 所以四边形A1B1C1D1 是一个边长为c 的正方形. 则 这样我们就证明了上述结论成立，即得定理. 【归纳】 定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 我国古代把直角三角形中较短的边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我们称上述定理为勾股定理，国外称为毕达哥拉斯定理. 如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a²+ b²= c². 强调： ①成立条件：在直角三角形中 ②公式变形：a²= c²b² b²= c²a² ③作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长 【做一做】 下列说法中正确的是(　　) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2 = c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2+b2 = c2 D.在Rt△ABC中，∠B = 90°，则a2+b2 = c2 答案：C 3.学以致用，应用新知 【例1】求出图中字母所代表的正方形的面积. 解：(1) SA22514481； (2) SA802456；SB245680. 【例2】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a＝5，b＝12，求c； (2) 已知a＝6，c＝0，求b； (3) 已知c＝25，b＝15，求a. 解：(1) ； (2) ； (3) . 【变式】若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则它的 第三边长的平方是 . 解：当3，4均是直角边长时，第三边是斜边，根据勾股定理， 得第三边长的平方=32+42=25；当4是斜边长时，第三边是直 角边，根据勾股定理，得第三边长的平方=42-32=7.综上， 第三边的平方是25或7. 4.随堂训练，巩固新知 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b. (1) a6，b=8，求c； (2) a8，c=17，求b. 解：(1)∵在Rt △ABC中，∠C=90°， ∴. (2)∵在Rt △ABC中，∠C=90°， ∴. 2.如图，楼梯的高度为2m，楼梯坡面的长度为4m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到0.1m) 解：如图，由勾股定理得AB² AC²+ BC²， ∴（米）. ∴AC+BC=2+≈5.5(米) 答：地毯的长度至少需要5.5米. 3.已知：Rt△ABC中，AB=4，AC=3，则BC= . 解：5或. 5.课堂小结，自我完善 回顾思考，回答下面的问题 （1） 勾股定理的内容是什么？ （2） 如何证明勾股定理？在证明勾股定理时运用了什么思想方法？ （3）在应用勾股定理时应注意什么？ 6.布置作业 教科书P57习题18.1第1、2题. 通过故事创设情境，再加上多媒体的配合，激发了学生的求知欲. 可以插入毕达哥拉斯的图像，AI指导下让其和同学们对话！ 让学生独立完成观察、思考、交流等实践过程，由具体到抽象，形成关于勾股定理的猜想. 通过猜想，让学生深入了解勾股定理的发现过程，加强对于勾股定理的理解. 教师引导学生自主探究，发现结论.学生通过画图、观察、思考、归纳，从而得出勾股定理，教师及时予以总结. 渗透从特殊到一般的数学思想，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法 在拼接之前首先向学生说明图形拼接后只要没有重叠和空隙，面积不会发生改变 探索勾股定理证明的不同思路，并进行适当的比较和讨论，有利于开阔学生的视野，增强论证的趣味性，以激发学生对数学证明的兴趣和掌握数学证明方法的信心，提高思维水平. 利用等面积法进行证明 渗透“等求法” 通过推理证明，体会数学的严谨性和严密性. 通过归纳让学生熟悉勾股定理，并了解勾股定理的相关背景知识. AI让古代数学家开口总结！ 在直角三角形中已知两边求第三边长时，应先明确直角边和斜边，若不明确，则应进行分类讨论. 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. 板书设计 勾股定理 一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方． 如果直角三角形的两直角边用a，b来表示，斜边用c来表示，那么勾股定理可表示为a²+ b²= c². 二、证明方法：面积法 三、思想方法： （1）特殊——一般——特殊 （2）数形结合思想； 四、注意问题: （1）勾股定理的适用条件，在直角三角形中； （2）当不能确定那条边是斜边时，需分类讨论. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课从实际问题引入，激发学生的学习兴趣.勾股定理的发现之路也体现了数学来源于生活，又服务于生活，激发学生的研究热情.然后整个教学流程从特殊的等腰直角三角形到一般的直角三角形，从最初的猜想到最后的证明，既体现了数学的严谨，又符合学生的认知特点，便于学生接受和理解.其中勾股定理的证明方法多样化，利用数形结合，给出严密的证明.在给出证明方法的同时对学生进行数学史教育，中外都有所涉及，特别是通过中国古代对勾股定理的证明和利用，激发民族自豪感和爱国热忱. 学科网（北京）股份有限公司 $$