18.2勾股定理的逆定理 教学设计 2024—2025学年沪科版数学八年级下册

课题 勾股定理的逆定理 课型 新授课□√ 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□ 教学内容分析 “勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面只是的继续和深化.勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一. 学习者分析 学生此前学习了三角形、全等三角形的判定等有关的知识，掌握了直角三角形的性质和勾股定理，学生在此基础上学习勾股定理的逆定理可以加深理解。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉上出发想当然的认为勾股定理的逆命题也一定成立，从而这种直觉上升到逻辑严密的思考和证明，认识到两个结论有联系却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格的证明，这是思维能力提高的重要体现。 八年级学生思维比较活跃，喜欢发表自己的见解，善于进行小组合作学习，学生动手操作，动脑思考，动口表达，积极参与的实践操作能力较强，但是学生的思维的局限性还很大，特别是勾股定理逆定理的证明要根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生现有智能状况，学生不容易想到，因此是本节课的难点，引导学生构造一个直角三角形是学生本节课能力发展的关键点 学习目标确定 1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理． 2．掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形． 3．在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 学习重点难点 重点 1．勾股定理的逆定理及运用. 2．灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 难点 1．勾股定理的逆定理的证明. 2．说出一个命题的逆命题及辨别其真假性 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：复习导入 教师活动1 师：上一节课我们学习了勾股定理，请同学们回忆一下：勾股定理的内容是什么？ 师：勾股定理反映了直角三角形三边间的数量关系，即 直角边为a,b斜边为c,则三边满足a2+b2=c2（带领学生集体复习勾股定理）.思考：勾股定理的题设、结论分别是什么? 师：如果把勾股定理的题设、结论交换一下位置，即如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是否是直角三角形？本节课我们一起来研究这个问题. 学生活动1 生：如果直角三角形的两条直角边为a、b,斜边为c，那么三边满足的关系为a2+b2=c2. 生：题设为直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,结论为a2+b2=c2 活动意图说明：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，自然地引出勾股定理的逆定理. 环节二：教学新知（发现勾股定理的逆定理） 教师活动2 观察发现：师生共同学习古埃及人画直角的方法：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。 师：相传，我国古人大禹治水也用类似的方法确定直角.下面我们来观察这个三角形，如果把一个节间距看为一个单位长度，则三角形的边长分别是多少？ 师：三边满足什么样关系呢？ 师：也就是说，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形. 师：对于其它的数，如：2.5、6、6.5；6、8、10它们也满足两个数的平方和等于第三个数的平方即2.52+62=6.52、62+82=102，那么以它们为边长的三角形是否为直角三角形呢？ 实验操作：（1）画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm)画出三角形： ①2.5，6，6.5 ②6，8，10 （2）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想. 师：根据上面的验证，你会猜想到什么？ 师：这就是今天我们要学习的命题2. 学生活动2 生：3、4、5 生：32+42=52. 教师指导学生按要求画三角形、判断形状、猜想命题. 学生展示：画出的图形（展台展示）并说明做法. 生：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那 么这个三角形是直角三角形. 学生回答，教师板书：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 活动意图说明：介绍前人经验，启发思考，使学生意识到数学来源于生活实际，激发兴趣. 通活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件，让学生经历测量、计算、归纳和猜想的过程，了解几何知识的探索过程. 环节四：证明勾股定理的逆定理 教师活动1 师：对于刚才的猜想-命题2，你能给出证明吗？它的题设和结论是什么？ 师：要证明△ABC是直角三角形，我们需要知道∠B是直角，那如何证明∠B是直角呢？直接在△ABC中证明，可以吗？上面我们证明了以2.5、6、6.5为边长的三角形是直角三角形，这个问题和前面的的问题有相似的地方吗？ 师：通过刚才的证明，我们可以得出前面的猜想是正确的.正确的命题我们成为真命题，通过证明的真命题我们称为定理.我们把它称为勾股定理的逆定理. 师：要判定一个三角形是直角三角形，只需要知道三边是否满足“两边的平方和是否等于第三边，即较小的两边的平方和是否等于较长边的平方”. 学生活动1 生：题设是三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,结论是这个三角形是直角三角形. 根据题设、结论师生共同写出已知、求证.  　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c， 满足a2+b2=c2． 求证：△ABC是直角三角形． ( A B C ) 小组讨论得出证明思路，证明猜想的正确性.教师适时点拨，总结证明步骤. 活动意图说明：引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点. 环节五：定理的应用 教师活动2 例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 师生共同分析（1），学生判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形，教师板书做题过程;学生独立完成(2). 练习: 1、如果三条线段长a,b,c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 2、判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ （1） a=7,b=24,c=25; （2） a=3,b=4,c=5; （3） a=5,b=12,c=13; （4） a=40,b=50,c=60. 学生活动2 活动意图说明：这是利用勾股定理的逆定理进行判断练习，通过练习把陈述性的定理转换为认知操作，学会用勾股定理及其逆定理判断一个三角形是否为直角三角形.确定勾股数，可以让学生快速通过数来确定形。 环节六：巩固应用，能力提升 教的活动3 1.在△ABC中，a=16, b=20, c=12,求此三角形的面积。 2.如图，在四边形ABCD中， AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B =90° 求：四边形ABCD的面积。 学的活动3 活动意图说明：通过规范化的解答过程及练习，提升对勾股定理逆定理的认识以及实际应用的能力，同时让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识. 板书设计 18.2勾股定理的逆定理 1.勾股定理逆定理及其证明。 2.勾股数。 作业与拓展学习设计 必做：教材课后练习． 选做：找出20组勾股数，并画出相对应的直角三角形，能力提升 特色学习资源分析、技术手段应用说明 多媒体课件、网格图，直尺、四个全等直角三角形纸片 多媒体、教具辅助教学、几何画板。 采用以教师为主导、学生为主体的引导探索法 学科网（北京）股份有限公司 $$