第四单元 比（解决问题讲义）数学青岛版六年级上册

第四单元 比 1.按比分配应用题： 根据比的意义，总数÷总份数=1份量，再由一份量求出部分量。 2.其他应用题： 与比相关应用题，主要分成按和、差等分配，总数除以份数和还是份数差，取决于实际情 况。 类型1 按比分配应用题 典型例题1： 学校把360棵树苗按2∶3∶4分配给四、五、六年级学生去植树，每个年级各分多少棵？ 思路分析： 根据比的意义，四年级植树的棵数看作2份，五年级植树的棵数看作3份，六年级植树的棵数看作4份，三个年级总棵数就有份，用360除以总份数可得每份的棵数，再用每份的棵数乘四、五、六年级对应的份数即可得解。 答题区： 变式训练： 学校计划制作50个“中国结”，按照人数的比把制作“中国结”的任务分配给四、五、六这三个年级，四年级有56人，五年级有64人，六年级有80人，每个年级各应制作多少个？ 类型2 长方体与比应用题 典型例题2： 一个长方体的棱长之和是120厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 思路分析： 已知一个长方体的棱长之和是120厘米，由长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4可知，长、宽、高之和＝长方体的棱长之和÷4；已知长、宽、高的比是3∶2∶1，即长、宽、高占长、宽、高之和的、、，根据分数乘法的意义求出长、宽、高；再根据长方体的体积公式V＝abh求出这个长方体的体积。 答题区： 变式训练： 一个长方体，所有棱长之和是520厘米，它的长、宽、高的比是3∶2∶5，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 类型3 溶液配制应用题 典型例题3： 王老师的科学实验课上需要用食盐和水按1∶10的比配制132克盐水。王老师需要准备盐和水多少克？ 思路分析： 1．确定总份数 已知食盐和水的比是1∶10，那么总份数为1＋10＝11份。这是根据比的概念，将表示食盐和水的份数相加，得到盐水总共的份数。 2．计算盐的质量 因为盐水总质量是132克，盐占总份数的。根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，可得盐的质量为132×＝12克。这里运用了分数乘法的知识，通过盐水总质量乘以盐所占的比例，求出盐的质量。 3．计算水的质量 水占总份数的，同理，水的质量为132×＝120克。也可以用盐水总质量减去盐的质量来计算，即132－12＝120克。 答题区： 变式训练： 疫情期间学校给教室消毒，需要配置802毫升的消毒液。如果原液与水的比是1∶400，那么需要原液多少毫升？需要水多少毫升？ 类型4 分数与比应用题 典型例题4： 一批化肥重180吨，甲队分到总数的，余下的化肥按5∶7分给乙、丙两队，乙队和丙队各分到化肥多少吨？ 思路分析： 将化肥总吨数看作单位“1”，甲队分到总数的，余下（1－），总吨数×余下的对应分率＝余下的吨数，将比的前后项看成份数，余下的吨数÷总份数，求出一份数，一份数分别乘乙队和丙队的对应份数，即可求出乙队和丙队分到的吨数。 答题区： 变式训练： 4月23日是世界读书日，在这一天，某小学新买来300本图书，其中放在了图书室，剩下的书按3∶4∶5分给了四、五、六年级，那么六年级分到多少本书？ A夯实基础 1．下面四个情境中的比能用3∶2表示的是（    ）。 A．情境一和情境三 B．情境二和情境四 C．情境一、情境三和情境四 2．在下面各比中，和∶比值相等的是（    ）。 A． B．4∶3 C．3∶4 3．如果6∶11的前项增加12，要使比值不变，后项需要（    ）。 A．增加22 B．增加11 C．乘上2 4．1÷（    ）＝（    ）∶12＝＝0.25。 5．一个三角形三个内角度数之比是2∶3∶4，它是一个( )三角形。 6．今年的6月21日是中国二十四节气中的“夏至”，是一年中白天最长、黑夜最短的一天。滕州夏至白天与黑夜时间的比约为5∶3，这一天滕州的白天是( )小时。 B培优拔高 1．小明语文和数学的平均分是88分，语文和数学成绩的比是5∶6。聪聪数学和语文各得多少分？ 2．向阳小学五六年级人数的比是5∶7，已知六年级比五年级多84人，两个年级一共有多少人？ 3．一项工程的奠基仪式上需要300个彩色气球，红色、粉色、绿色气球个数的比是3∶2∶1。需要粉色和绿色气球各多少个？ C思维拓展 1．两地相距550千米，快慢两车同时分别从甲、乙两地相对开出，5小时相遇。已知快车和慢车的速度比是6∶5。两车速度各是多少？ 2．三条绳子共长155米，第一条和第二条的长度比是3∶4，第二条和第三条的长度比是6∶5。这三条绳子各是多少米？ 3．一艘轮船以每小时40千来的速度从甲地驶向乙地，行了全程的后，又行驶了小时，这时剩下的路程与已行驶路程的比是3∶1，甲、乙两地相距多少千米？ 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 答题区： （棵） 四年级：（棵） 五年级：（棵） 六年级：（棵） 答：四年级分80棵，五年级分120棵，六年级分160棵。 变式训练答案： 56∶64∶80 ＝（56÷8）∶（64÷8）∶（80÷8） ＝7∶8∶10 7＋8＋10 ＝15＋10 ＝25（份） 50÷25×7 ＝2×7 ＝14（个） 50÷25×8 ＝2×8 ＝16（个） 50÷25×10 ＝2×10 ＝20（个） 答：四年级制作14个，五年级制作16个，六年级制作20个。 类型2 答案解析 典型例题2： 答题区： 120÷4＝30（厘米） 长：30× ＝30× ＝15（厘米） 宽：30× ＝30× ＝10（厘米） 高：30× ＝30× ＝5（厘米） 体积：15×10×5＝750（立方厘米） 答：这个长方体的体积是750立方厘米。 变式训练答案： 长、宽、高之和：520÷4＝130（厘米） 长：130× ＝130× ＝39（厘米） 宽：130× ＝130× ＝26（厘米） 高：130× ＝130× ＝65（厘米） 长方体的体积：39×26×65＝65910（立方厘米） 答：这个长方体的体积是65910立方厘米。 类型3 答案解析 典型例题3： 答题区： 总份数为：1＋10＝11（份） 食盐为：132×＝12（克） 水为：132×＝120（克） 答：王老师需要准备盐12克，水120克。 变式训练答案： 原液：（毫升） 水：（毫升） 答：需要原液2毫升，需要水800毫升。 类型4 答案解析 典型例题4： 180×（1－） ＝180× ＝108（吨） 108÷（5＋7） ＝108÷12 ＝9（吨） 乙队：9×5＝45（吨） 丙队：9×7＝63（吨） 答：乙队分到45吨，丙队分到63吨。 变式训练答案： 剩下的图书有： 300×（1－） ＝300× ＝120（本） 六年级分到： 120× ＝120× ＝50（本） 答：六年级分到50本书。 A夯实基础 1．A 【分析】两数相除又叫两个数的比，据此写出各情境中的比，根据比的基本性质，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简即可。 【详解】情境一：6∶4＝（6÷2）∶（4÷2）＝3∶2 情境二：（30×30）∶（20×20）＝900∶400＝（900÷100）∶（400÷100）＝9∶4 情境三：1.5米∶1米＝15∶10＝（15÷5）∶（10÷5）＝3∶2 情境四：16g∶24g ＝（16÷8）∶（24÷8）＝2∶3 能用3∶2表示的是情境一和情境三。 故答案为：A 2．C 【分析】用比的前项除以比的后项即可求出比值，据此分别求出题干与各项的比值，再进行对比即可。 【详解】∶ ＝÷ ＝×3 ＝ A． ＝ ＝ ＝ B．4∶3 ＝4÷3 ＝ C．3∶4 ＝3÷4 ＝ 则和∶比值相等的是3∶4。 故答案为：C 3．A 【分析】根据比的性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。据此确定前项扩大的倍数，进而求出后项的值，最后再求出后项乘几或增加多少。 【详解】（6＋12）÷6 ＝18÷6 ＝3 11×3－11 ＝33－11 ＝22 则如果6∶11的前项增加12，要使比值不变，后项需要乘3或增加22。 故答案为：A 4．4；3；2 【分析】先把小数化为最简分数，再根据“”求出除数，并利用比的基本性质求出比的前项，最后根据“分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变”求出分子，据此解答。 【详解】0.25＝＝＝ ＝1÷4＝1∶4 1∶4＝（1×3）∶（4×3）＝3∶12 ＝＝ 所以，1÷4＝3∶12＝＝0.25。 5．锐角 【分析】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是2∶3∶4，则这个三角形中最大的内角占三角形内角和的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出这个最大内角的度数，再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】180°× ＝180°× ＝80° 80°＜90°，即最大的角是锐角。 所以它是一个锐角三角形。 6．15 【分析】把全天的时间看作单位“1”，夏至白天与黑夜时间的比约为5∶3，即白天时间占全天的，根据求一个数的几分之几是多少，用全天时间乘，求夏至白天的时间。 【详解】24× ＝24× ＝15（小时） 这一天滕州的白天是15小时。 B培优拔高 1．数学：96分；语文：80分 【分析】根据公式：总数＝平均数×份数，即语文和数学的总成绩：88×2＝176（分），根据公式：总数÷总份数＝1份量，即176÷（5＋6），之后再分别乘语文和数学的份数即可求解。 【详解】88×2＝176（分） 176÷（5＋6） ＝176÷11 ＝16（分） 语文：16×5＝80（分） 数学：16×6＝96（分） 答：聪聪数学96分，语文80分。 【点睛】本题主要考查平均数的公式以及比的应用，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 2．504人 【分析】根据五年级与六年级人数的比，可以设出：五年级人数为5x人，六年级人数为7x人，则根据等量关系：六年级的人数﹣五年级的人数＝84人，列方程：7x－5x＝84，解方程，即可解答。 【详解】解：设五年级人数为5x人，六年级人数为7x人 7x－5x＝84 2x＝84 x＝84÷2 x＝42 42×5＋42×7 ＝210＋294 ＝504（人） 答：两个年级一共有504人。 【点睛】本题关键是根据人数的比设出五年级与六年级的人数，然后根据人数的差，列方程，解方程。 3．粉色：100个；绿色：50个 【分析】由题意可知：这三种颜色的气球分别占总气球个数的、、，把300个彩色气球的看作单位“1”，根据分数乘法的意义，即可求出粉色和绿色气球的个数。 【详解】3＋2＋1＝6 300×＝100（个） 300×＝50（个） 答：需要粉色的气球100个，绿色的气球50个。 【点睛】本题考查按比分配问题，明确粉色气球和绿色气球的份数是解题的关键。 C思维拓展 1．快车60千米/时，慢车50千米/时 【分析】根据“相遇时间＝总路程÷速度和”计算出快车和慢车的速度和，再根据按比例分配计算出两车的速度。 【详解】550÷5＝110（千米/时） 快车：110×＝60（千米/时） 慢车：110×＝50（千米/时） 答：快车的速度是60千米/时，慢车的速度是50千米/时。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 2．第一条45米，第二条60米，第三条50米 【分析】根据第一条和第二条的长度比，第二条和第三条的长度比，计算出第一条绳子的长度∶第二条绳子的长度∶第三条绳子的长度的比，最后根据按比例分配即可求得这三条绳子的长度。 【详解】第一条绳子的长度∶第二条绳子的长度＝3∶4＝（3×3）∶（4×3）＝9∶12 第二条绳子的长度∶第三条绳子的长度＝6∶5＝（6×2）∶（5×2）＝12∶10 第一条绳子的长度∶第二条绳子的长度∶第三条绳子的长度＝9∶12∶10 第一条绳子的长度：155×＝45（米） 第二条绳子的长度：155×＝60（米） 第三条绳子的长度：155×＝50（米） 答：第一条绳子长45米，第二条绳子长60米，第三条绳子长50米。 【点睛】掌握按比例分配问题的解题方法是解答题目的关键。 3．1200千米 【分析】根据速度×时间＝路程，求出小时行驶的路程，根据剩下的路程与已行驶路程的比确定已行驶路程的对应分率，找到小时行驶路程的对应分率，用小时行驶的路程÷对应分率即可。 【详解】 （千米） 答：甲、乙两地相距1200千米。 【点睛】关键是理解比和分数除法的意义，部分数量÷对应分率＝整体数量。 学科网（北京）股份有限公司 $$