第十一章 整式的乘除（举一反三单元测试·培优卷）数学华东师大版2024八年级上册

第十一章 整式的乘除·培优卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 3．（3分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（3分）（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（    ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 5．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．（3分）将多项式分解因式的结果为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若是一个完全平方式，则（   ） A．9 B． C． D． 8．（3分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（3分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则值为 ． 12．（3分）（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 13．（3分）（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）三个连续整数，中间一个是，则这三个数之积是 14．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ． 15．（3分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 16．（3分）（2025·四川成都·二模）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 . 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 18．（6分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，某初中新建校区有一块长为米、宽为米的长方形劳动实践基地，设计部门计划在中间部分修建一个边长为米的正方形养鱼池，四周的阴影部分用于种植． (1)求种植部分的面积（用含字母a、b的式子表示）； (2)求出当，时种植部分的面积． 20．（8分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 21．（10分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 22．（10分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 23．（12分）（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； (2)请你写出三个整式：之间的数量关系； (3)根据(2)中的等量关系，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； (4)若用图1中的纸片拼成一个边长为的正方形，则需要A类纸片________张，B类纸片________张，C类纸片_______张． 24．（12分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 整式的乘除·培优卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算法则，利用同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A选项：，而原式错误地写为，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，原式错误地写为，故D错误． 故选：B． 2．（3分）（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 3．（3分）（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 4．（3分）（24-25七年级下·河南平顶山·期中）若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（    ） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了事件的分类，因式分解，把原式先提取公因式6，再利用平方差公式分解因式得到，则一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除，再一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案， 【详解】解： ， ∵n为整数， ∴是整数， ∴一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除， ∴被9整除是随机事件，被3或被6或被2整除都是必然事件， 故选：A． 5．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 6．（3分）将多项式分解因式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分组，然后根据提公因式法与平方差公式进行因式分解即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 7．（3分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若是一个完全平方式，则（   ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数平方和再加上或减去它们乘积的 2 倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 根据完全平方公式形式，这里首末两项是和 9 这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和9乘积的2倍． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴首末两项是和 9 这两个数的平方， ， 解得． 故选：D． 8．（3分）（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）给出下面四个多项式：①；②；③；④．其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查提取公因式和公式分解因式，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④不能分解因式； 其中含有因式的多项式为：①②③，共3个， 故选C． 9．（3分）（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知实数，满足，则的值是（   ） A． B．0 C．115 D．2025 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴，解得：， 把代入可得： ． 故选：A． 10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解： ，，， ，，， ， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知 ，则值为 ． 【答案】32 【分析】本题考查了指数幂的运算性质，解题的关键是熟练运用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将所求式子转化为已知条件的形式进行计算．根据指数幂的运算性质，将分解为；再利用幂的乘方法则将转化为；最后代入已知的和进行计算． 【详解】已知． 根据指数幂的运算性质：． 由幂的乘方法则，可得：， 将，代入上式：， 故答案为：32． 12．（3分）（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 13．（3分）（24-25七年级下·福建三明·阶段练习）三个连续整数，中间一个是，则这三个数之积是 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，列代数式，平方差公式，正确表示出各数是解题的关键． 根据题意表示出三个整数，进而利用单项式乘以多项式和平方差公式求出答案即可． 【详解】解：∵三个连续整数，中间一个是， ∴较小的整数为，较大的整数为， ∴， ∴这三个数的积为． 故答案为：． 14．（3分）（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则代数式，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减法和因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．把变形为，根据即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则 = ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式的应用以及通过图形面积关系求解差值，解题的关键是明确与两个正方形面积的关系，再结合已知条件计算． 根据图形可知为边长为m的正方形面积减去重叠部分面积，为边长为n的正方形面积减去重叠部分面积，故等于两个正方形面积之差；利用平方差公式结合已知和计算差值． 【详解】解：由图形可知，，． 则． 根据平方差公式 已知 所以． 故答案为：． 16．（3分）（2025·四川成都·二模）正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长，它们的面积相差 ，则这两个正方形的边长之和为 . 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．设正方形Ⅰ的边长为 正方形Ⅱ的边长为 ，根据题意可得：，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设正方形Ⅰ的边长为 ，正方形Ⅱ的边长为 ， 由题意得：，， ，， 解得：， 这两个正方形的边长之和为， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（24-25七年级下·山东潍坊·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （3）运用平方差公式进行因式分解，最后再提公因式，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 19．（8分）（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，某初中新建校区有一块长为米、宽为米的长方形劳动实践基地，设计部门计划在中间部分修建一个边长为米的正方形养鱼池，四周的阴影部分用于种植． (1)求种植部分的面积（用含字母a、b的式子表示）； (2)求出当，时种植部分的面积． 【答案】(1) (2)47平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算−−化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）种植面积==矩形面积−−正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：种植部分面积是平方米； （2）解：当，时， 20．（8分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 【答案】(1)②④ (2)②；④ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可； （2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解． 【详解】（1）解：①，因式分解正确；     ②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解； ③，因式分解正确；       ④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解； 故答案为：②④； （2）解：②； ④． 21．（10分）（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）利用完全平方公式可以将多项式（）变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式，能对一些多项式进行分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题，或求代数式的最大值、最小值等． 例如： ． 根据以上材料，解答下列问题． (1)用配方法将多项式化成的形式． (2)求证：不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题干的过程，进行模仿配方，即可作答． （2）把整理得，因为，则，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， 不论，取任何实数，多项式的值总为正数． 22．（10分）（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等 ①分组分解法：例如： ． ②拆项法：例如： ． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）； ②（拆项法）； (2)当，，满足时，求，，的值． 【答案】(1)①；② (2)，， 【分析】本题主要考查了因式分解及其因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）根据题干中提供的信息用分组分解法和拆项法分解因式即可； （2）根据得出，根据非负数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ，，． 23．（12分）（24-25七年级下·广东河源·阶段练习）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张、种纸片一张、种纸片两张拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：___________； 方法2：___________； (2)请你写出三个整式：之间的数量关系； (3)根据(2)中的等量关系，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值； (4)若用图1中的纸片拼成一个边长为的正方形，则需要A类纸片________张，B类纸片________张，C类纸片_______张． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4)需要A类纸片4张，B类纸片9张，C类纸片12张． 【分析】本题主要考查完全平方式的几何背景和转化，熟练运用转化公式是解题关键． (1)方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； (2)由图二可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，从而得到 (3)①可得，，先求出的值，再求出的值即可； ②令，从而得到，由可得，利用(2)中的公式求出的值即可． (4) 化简，由A类纸片是边长为a的正方形，B类纸片是边长为b的正方形，C类纸片是长为b，宽为a的长方形，即可解答． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴． 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和， ∴． 故答案为：方法1：；方法2：． （2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即． 故答案为：． （3）①∵ ∴， ∵， ∴， ∴； ②令， ∴， 由可得， ， ∴ （4）， ∵A类纸片是边长为a的正方形，B类纸片是边长为b的正方形，C类纸片是长为b，宽为a的长方形， ∴需要A类纸片4张，B类纸片9张，C类纸片12张． 24．（12分）（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【答案】(1) (2)1314 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$