精品解析：上海市浦东新区洪山中学2024—2025学年下学期九年级数学三模试卷

上海市洪山中学2024学年第二学期 第三次模拟练习 （考试时间：100分钟 总分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 2. 已知一元二次方程，下列判断正确的是（ ） A. 该方程无实数解 B. 该方程有两个相等的实数解 C. 该方程有两个不相等实数解 D. 该方程解的情况不确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数解， 故选：． 3. 下列函数图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的性质，分析四个选项中得函数解析式，根据系数的正负结合各函数的性质即可得出其增减性，由此即可得出结论． 【详解】解：A、中， ∴函数的图象在第二、四象限内y随着x的增大而增大； B、中，且图象关于轴对称， ∴函数的图象，当时，在第一、第四象限y随着x的增大而增大，当时，在第二、三象限y随着x的增大而减小； C、中， ∴函数的图象在第一、三象限内y随着x的增大而减小； D、中，， ∴函数的图象在第二、三、四象限内y随着x的增大而减小． 故选：A． 4. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数概率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况，再利用概率公式求解即可求得 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，这个两位数是素数的有13，23，31共3种情况， ∴这个两位数是素数的概率为：=． 故选A 【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这个两位数是素数的情况. 5. 下图是我国南方某市今年春节七天最高气温的统计结果： 这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 14，17 C. 17，14 D. 17，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17， ∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14， 故选C． 6. 下列命题中假命题是（ ） A. 两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B. 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D. 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】本题需要根据三角形全等的判定定理，对每个选项逐一分析，判断命题的真假．本题主要考查了三角形全等的判定定理（等）以及对不同条件下三角形全等的推理判断，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：和中，，，、分别是、边上的高，且．一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，两个三角形不全等．故A项错误，符合题意． 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故B项不符合题意． 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等是真命题，不是假命题．故C项不符合题意． 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，不是假命题．故D项不符合题意． 故选：A． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的化简，根据，正数的绝对值是它本身，化简绝对值即可. 【详解】解：， 故答案为： 8. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为： 9. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 10. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据向量的计算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 11. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解无理方程，先将无理方程转化为一元一次方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解； 故答案为： 12. 已知函数，那么__________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把代入函数表达式，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3 13. 如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为__________米． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，根据题意，得到米，，进而求出的长，勾股定理，求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意，得：米，， ∴米， ∴米； 故物体从到所经过的路程为18米． 故答案为：18． 14. 边长为2的正六边形的边心距是_________. 【答案】 【解析】 【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵OM⊥AB，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：OM==．故答案为． 点睛：本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键． 15. 如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 16. 为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前六个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05、0.035、0.025，由此可估计全区初中毕业生的体重在50到55千克的学生人数约为__________人． 【答案】1000 【解析】 【分析】本题考查直方图，利用样本估计总体，从直方图获取信息，利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】解：由图可知：体重在50到55千克的学生的频率为， （人）； 故答案为：1000． 17. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根的判别式，求不等式的解集，掌握以上知识及计算是关键． 设二次函数图象上的点为，结合二次函数有“级和值点”得，由此得到，根据由两个“级和值点”得到一元二次方程的判别式大于0，则有；设，则该函数的对称轴直线为，在时，由两个不相等的实数根，则当时，，当时，，由即可求解． 【详解】解：设二次函数图象上的点为， ∴， ∴，整理得，， ∵在的范围内，二次函数的图像上存在两个“级和值点”， ∴， 解得，， 设，则该函数的对称轴直线为， ∵在时，由两个不相等的实数根， ∴当时，，当时，， ∴， 综上所述，， 故答案： ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，包括完全平方公式，平方差公式以及对分子分母因式分解，二次根式的运算，分母有理化的计算，正确使用公式化简求值是解决本题的关键． 先使用完全平方公式和平方差公式对分式进行化简，再将，代入式子中进行计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴上式 ． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键；方程两边都乘以得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， ∴， ∴， 即， ， ， ，， 检验：时，，是原分式方程的解， 时，，不是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为：． 20. 如图，在梯形中，，，已知，，梯形的面积是9； （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数设出边长，利用梯形的面积公式列方程即可； （2）作DH⊥AC于H，利用三角形相似，列比例式求出，据此即可求解． 【小问1详解】 解：在中，， 设， ∴， ∴或（舍）， ∴； 【小问2详解】 解：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，梯形的面积，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 21. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2）10 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ， ， ， ， ， 又且 ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； 【小问4详解】 解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点 ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） （1）图①中，过点画直线． （2）在图②中，过点画直线． （3）在图③中，在边上取一点，使得 【答案】（1）画图见解析 （2）画图见解析 （3）画图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是格点作图，平移的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质； （1）把向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到点，作直线即可； （2）取格点，作直线交于即可； （3）取格点，连接，交于即可． 【小问1详解】 解：如图①中，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，直线即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 解：如图，点即为所求； 理由如下： 由网格特点可得：，，， ∴， ∴， ∴. 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． （1）当点横坐标为6，求直线的表达式； （2）连接，当时，求点坐标； （3）连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不变，值为1 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，，点是边上的动点，以为半径作． （1）若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； （3）若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，垂径定理结合三角函数，求出，进而得到，，利用三角形的面积公式求出函数解析式，根据，求出自变量的范围即可； （2）作，易得四边形为矩形，根据等弦对应的弦心距相等，得到，进而得到四边形为正方形，得到，列出方程进行求解即可； （3）设与的公共弦与交于点，易得，，进而得到垂直平分，勾股定理，求出的长，进而求出的长，在中，根据勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：作，则：， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 作， ∵， ∴四边形为矩形， ∵被直线和直线截得的弦长相等， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 解得：， ∴ 【小问3详解】 如图，设与的公共弦与交于点， 由题意，得：，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得：， ∴， 解得：， 经检验，均为原方程的解， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，矩形和正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市洪山中学2024学年第二学期 第三次模拟练习 （考试时间：100分钟 总分：150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 估计的值在（ ） A. 1到2之间 B. 2到3之间 C. 3到4之间 D. 4到5之间 2. 已知一元二次方程，下列判断正确是（ ） A. 该方程无实数解 B. 该方程有两个相等实数解 C. 该方程有两个不相等的实数解 D. 该方程解的情况不确定 3. 下列函数的图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果从、、这三个数字中任意选取两个数字，组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率等于（ ） A. B. C. D. 5. 下图是我国南方某市今年春节七天最高气温的统计结果： 这七天最高气温的众数和中位数是（ ） A. 15，17 B. 14，17 C. 17，14 D. 17，15 6. 下列命题中假命题（ ） A. 两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 B. 两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 C. 两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D. 两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：__________． 8. 不等式的解集是__________． 9. 分解因式：a3－a=___________ 10. 计算：__________． 11. 方程解是__________． 12. 已知函数，那么__________ 13. 如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为，它把物体从地面送到离地面9米高的地方，则物体从到所经过的路程为__________米． 14. 边长为2的正六边形的边心距是_________. 15. 如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为_______． 16. 为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前六个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05、0.035、0.025，由此可估计全区初中毕业生的体重在50到55千克的学生人数约为__________人． 17. 定义：在平面直角坐标系中；如果一个点的横坐标与纵坐标的和为，则称该点为“级和值点”．在的范围内，若二次函数的图像上存在两个“级和值点”，则的取值范围为__________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程：． 20. 如图，在梯形中，，，已知，，梯形的面积是9； （1）求的长； （2）求的值． 21. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 22. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．分别在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺按要求画图（不要求写出画法，但要保留必要的痕迹） （1）在图①中，过点画直线． （2）在图②中，过点画直线． （3）在图③中，在边上取一点，使得 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． （1）当点横坐标为6，求直线的表达式； （2）连接，当时，求点坐标； （3）连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 24. 如图，在中，，，，点是边上动点，以为半径作． （1）若与边的另一交点为点，设，的面积为，求关于的函数解析式，并直接写出函数的定义域； （2）若被直线和直线截得的弦长相等，求的长； （3）若的半径等于1，且与的公共弦长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $