河北省秦皇岛市山海关第一中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

山海关区第一中学2024-2025学年高二年级期中考试 数学 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则 （ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个单位向量，且向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知角，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（ ） A. B. C. D. 8. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数图象的一个对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上的值域是 10. 与圆和圆都相切的直线方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过分别作的准线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的斜率为 B. C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 的面积的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据5，5，7，，10的平均数为7，则其方差为_______________. 13. 某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务，若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往不同基地，则不同的分配方案共有_____________种. 14. 鳖臑（biē nào）出自《九章算术·商功》，指的是四个面均为直角三角形的三棱锥，如图所示的鳖臑中，，，，且，，则其外接球体积的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，. （1）求的值； （2）求的面积. 16. 如图，在三棱柱中，，，平面平面，平面平面，点，分别在棱，上，且. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 17. 溺水是指人淹没于水或其他液体中，水与污泥、杂草等物堵塞呼吸道和肺泡，或因咽喉、气管发生反射性痉挛，引起窒息和缺氧，肺泡失去通气、换气功能，使机体处于危急状态，由此导致呼吸、心搏停止而致死亡.某校为了普及防溺水安全教育知识，在全校组织了一次防溺水安全教育知识竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）记随机变量为甲队的总得分，求的分布列和数学期望； （2）在甲、乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分不低于乙队得分的概率. 18. 在平面直角坐标系中，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）记过点的两条不同的直线的斜率分别为，直线与交于两点，直线与交于两点，且，求的值. 19. 已知函数. （1）若，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论在区间上的单调性； （3）设是两个不相等的正数，且，证明：. 山海关区第一中学2024-2025学年高二年级期中考试 数学 满分150分 考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】114 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：∵，，∴，∴. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面. 又平面，. ∵，，，平面，平面，∴平面. 又平面，. （2） 【17题答案】 【答案】（1）分布列： 0 10 20 30 期望为20 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：由题意，， 要证，即证， 即证， 由，只需证：. 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得， 设，，则， 而， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 要使且，则，从而， 要证，只需证：， 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证：， 只需证：，即证， 设，则， 设，，则， 则在上单调递增，所以， 从而，所以在上单调递减， 从而，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $