精品解析：湖南省长沙市湘郡中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷

长沙市湘郡中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各数中，比小的数是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较法则是解答本题的关键，要特别注意两个负数的大小比较方法． 根据正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数，两个负数绝对值大的反而小逐项比较即可． 【详解】解：A.∵，∴ ，故符合题意； B.， 故不符合题意； C.，故不符合题意； D.，故不符合题意； 故选A． 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解答本题的关键在于熟练掌握一元二次方程的概念，根据“形如叫做一元二次方程”，即可得出答案． 【详解】解：A．，若，是一元一次方程，故不符合题意； B．，是分式方程，故不符合题意； C．，符合一元二次方程的定义，故符合题意； D．，是一元三次方程，故不符合题意． 故选：C． 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 4. 下列关于的函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的判断，根据一次函数的定义：形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，解答即可． 【详解】解：A. 不符合一次函数的形式，故选项A不是一次函数； B. 不符合一次函数的形式，故选项B不是一次函数； C. 不符合一次函数的形式，故选项C不是一次函数； D.符合一次函数的形式，故选项D是一次函数； 故选：D． 5. 在一次体操比赛中，甲、乙、丙、丁四队参赛选手的人数相同，身高的平均数均为，且方差分别为，，，，则这四队参赛选手的身高最整齐的队伍是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．本题考查方差的意义，关键是掌握方差所表示的意义，此题难度不大． 【详解】解：，，，， ， 则这四队参赛选手的身高最整齐的队伍是甲队， 故选：A 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. y随着x的增大而增大 C. 其图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的平移变换、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征、平移的规律以及一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、当时，，即一次函数的图象经过点，选项A错误，不符合题意； B、由，则y随着x的增大而减小，选项B错误，不符合题意； C、由由的图象向上平移1个单位长度得到，故选项C错误，不合题意； D、由，，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D正确，符合题意． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 8. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到△＝−4ac＝16＋4k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝−4ac＝16＋4k＞0， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 10. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 二、填空题 11. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解时有公因式先提公因式，然后再考虑用公式法.继续分解. 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键. 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 13. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 一元二次方程的解是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：原方程可变形为：，解得，， 故答案为：或． 15. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先由勾股定理求出，再由三角形中位线定理得到，由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，则． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的无解，根据分式方程无解分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论是解答此题的关键．先将分式方程化简为整式方程，然后分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， ， ∵原分式方程有无解， ∴或， 当，解得． ∴， 解得． 当时，． 故答案为：或1． 三、解答题 17. 计算：. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用负整数指数幂，立方根的定义及零指数幂计算即可． 【详解】解：原式 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）85，87，七； （2）220 （3） 我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好， 理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94， 根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为， 八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数， A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生； 故答案为：85，87，七； 【小问2详解】 （人）， 答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 21. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同乘以，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根． 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 23. 如图，在中，，，平分，交于点，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分 在与中 是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平分得，证，得即可； （2）在等腰三角形中，，利用等腰三角形性质及内角和定理求出，同理求出，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ，， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理；熟练运用全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 24. 已知点，点，且a、b满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图1，若点E的坐标为，点F是第三象限内一点，且，连接交x轴于G，求的值； （3）如图2，点P为y轴上一动点（P在B点上方），在延长线上取一点Q，使，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由． 【答案】（1），， （2） （3） 解：且，理由如下： 如图，把绕点P逆时针旋转得到，则，过点M作轴于点N，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为，则， ∴， ∴点M的坐标为， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 设点， ∴， 整理得：， ∴点， 当时，， ∴点Q在直线上， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式可得，即可求出a，b，c的值，即可； （2）过点F作轴于点K，证明，可得，再求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）把绕点P逆时针旋转得到，则，过点M作轴于点N，连接，证明，可得，设点P的坐标为，则，可得点M的坐标为，由旋转的性质得：，，可得到是等腰直角三角形，从而得到，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，设点，再由勾股定理可得，从而得到点Q在直线上，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∵点，点， ∴点，点， 【小问2详解】 解：如图，过点F作轴于点K， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点E的坐标为，点， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 25. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）结合题意可得该方程为一元二次方程，故，根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于列出关于的不等式，求解即可得出的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入方程得出关于的方程，求出的值，注意结合题意，取符合要求的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，， 整理得：， 解得：； ∴当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：、为方程的两个不等实数根， ∴，， ∵， 整理得：， 将，代入，得： ， 解得：，， 经检验均为方程的解， ∵，故不符合题意，舍去； ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市湘郡中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各数中，比小的数是 A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 3. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列关于的函数是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次体操比赛中，甲、乙、丙、丁四队参赛选手的人数相同，身高的平均数均为，且方差分别为，，，，则这四队参赛选手的身高最整齐的队伍是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. y随着x的增大而增大 C. 其图象可由的图象向下平移1个单位长度得到 D. 图象经过第一、二、四象限 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 分解因式：__________． 12. 函数中自变量x的取值范围是________． 13. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 14. 一元二次方程的解是______． 15. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为______． 16. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 三、解答题 17. 计算：. 18. 解一元二次方程： （1）； （2）． 19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计： 七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87 八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 90 八年级 84 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_______，________． 同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生； （2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数； （3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由． 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 解分式方程：． 22. 为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 23. 如图，在中，，，平分，交于点，连接，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 24. 已知点，点，且a、b满足． （1）直接写出点A、B、C的坐标； （2）如图1，若点E的坐标为，点F是第三象限内一点，且，连接交x轴于G，求的值； （3）如图2，点P为y轴上一动点（P在B点上方），在延长线上取一点Q，使，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由． 25. 已知关于的方程． （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）若、为方程的两个不等实数根，且满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $