精品解析：江苏省南京市育英学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷

南京市育英学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查样本中最适合用普查的是（ ） A. 了解一批电视机的使用寿命 B. 了解我市居民的年人均收入 C. 了解我市学生的视力情况 D. 了解某校学生的课外阅读情况 3. 学校工会主席随机询问了本校部分教师家庭订阅报刊种类数目，统计如下表．下列说法错误的是（ ） 报刊种类 人数 A. 样本容量是10 B. 众数是1 C. 中位数是4.5 D. 平均数是4.2 4. 下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为__________． 8. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是_____________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 9. 如图，在中，交对角线于点．若设，则用含的式子表示为___________． 10. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在边上，且，将绕点C顺时针旋转（旋转角小于），点D的对应点记作，点E的对应点记作，当直线直线时，点到点E的距离为________． 11. 如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为___________； （2）若，则长为___________． 12. 如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 13. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是______． 15. 如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 16. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是________． 三、解答题 17. 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． （1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，； （3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 18. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 （1）求出表中______，______； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； （3）如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 20. 如图1，平行四边形的顶点A、D在轴上，点B在y轴，． （1）若实数a、b满足，直接写出点C的坐标为 ，点D坐标为 ； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，将绕点O顺时针旋转m（），旋转得，y轴正半轴上是否存在一点E，能使以点O、、、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，，，P为内一点，连接、、，直接写出的最小值为 21. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 22. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 24. 如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 25. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市育英学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷 一、单选题 1. 下列图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 下列调查样本中最适合用普查的是（ ） A. 了解一批电视机的使用寿命 B. 了解我市居民的年人均收入 C. 了解我市学生的视力情况 D. 了解某校学生的课外阅读情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查得到的结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似进行解答即可． 【详解】解：A、调查具有破坏性，适合抽样调查，故不符合题意； B、人数较多，适合抽样调查，故不符合题意； C、人数较多，适合抽样调查，故不符合题意； D、人数不多，容易调查，适合全面调查，故符合题意； 故选：D． 3. 学校工会主席随机询问了本校部分教师家庭订阅报刊种类数目，统计如下表．下列说法错误的是（ ） 报刊种类 人数 A. 样本容量是10 B. 众数是1 C. 中位数是4.5 D. 平均数是4.2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了样本容量，众数，中位数，平均数的定义，根据表格数据求得样本的容量，进而根据众数，中位数以及平均数的定义，即可求解． 【详解】解：A. 样本容量是，故该选项正确，不符合题意； B. 众数是，故该选项不正确，符合题意； C. 中位数是，故该选项正确，不符合题意； D. 平均数是，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下面给出的条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； D、若，，无法判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：B 5. 点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 6. 如图，在边长为5的正方形中，，连接，交于点H，连接交于点G，连接交于点M，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明，可得，，证明，如图，延长交于，证明，可得，，进一步求解，从而可得答案． 【详解】解：∵在边长为5的正方形中，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 如图，延长交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题 7. 在“DeepSeek”的所有字母中，字母“e”出现的频数为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查频数的定义，即每个对象出现的次数．数出这个句子中字母“e”出现的次数即可． 【详解】解：在“”这个句子的所有字母中，字母“e”出现了4次，故字母“e”出现的频数为4． 故答案为：4． 8. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是_____________事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得解． 【详解】解：∵一个不透明的袋中装有3个红球，1个白球，每个球除颜色外都相同， ∴从中任意摸出3球，则“摸出的球有1个白球”是随机事件， 故答案为：随机． 9. 如图，在中，交对角线于点．若设，则用含的式子表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，平行线的性质和三角形外角的性质， 首先由得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 10. 如图，在中，，，，点D是的中点，点E在边上，且，将绕点C顺时针旋转（旋转角小于），点D的对应点记作，点E的对应点记作，当直线直线时，点到点E的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键；连接，过点C作于点H，由题意得出，，由旋转的性质可知：，，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，连接，过点C作于点H， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，中，周长为，将沿对角线折叠，使点落在平面上处． （1）边长为___________； （2）若，则长为___________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，进行计算，即可作答． （2）由平行四边形和折叠得到，，，过作于，过作于，再证明，得到，，即可得到，四边形是矩形，，设，则，，再在和中，利用勾股定理得到，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，周长为， ∴，， 故答案为：； （2）过作于，过作于，则， ∵中，，， ∴，，， ∴， ∵将沿对角线折叠， ∴，，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 12. 如图，的对角线相交于点交的延长线于点．若，则的面积是______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理．证明，推出，判断出是菱形，利用勾股定理求得，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：120． 13. 如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是________．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④． 【详解】解：由旋转可知：， ∴，，， ∵在正方形中， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即，故①结论正确， ∵，， ∴，故②结论错误； 如图： ∵在正方形中， ∴， ∴， ∴、、、、在以为直径的圆上， ∵， ∴，故结论③正确； 如图：过点作，交于， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴，（负根已舍去） ∵， ∴， ∴．故结论④正确； 综上所述：①③④结论正确， 故答案为：①③④． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 15. 如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为_________，CF的最大值为_________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 16. 如图，，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交射线于点．设，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先确定是等边三角形，则，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：连，由作图可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 中，D、E分别是，的中点，O是内任意一点，连接、． （1）如图1，点G、F分别是、的中点，连接，，，，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若点O恰为和交点，求证：，； （3）如图3，若点O恰为和交点，射线与交于点M，求证：． 【答案】（1） 证明：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：取，中点G，F，连接，，，， ∴，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴，， ∴，； （3） 证明：在射线上截取，连接，， ∵D，O分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴即， 同理：， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定； （2）取，中点G，F，连接，，，，根据平行四边形的性质即可即可求证； （3）在射线上截取，连接，，对边互相平行的四边形是平行四边形即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次参加比赛的学生人数是_________名； （2）把条形统计图补充完整； （3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数； （4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80； （2）补充条形统计图如下： （3）72º； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数； （2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可； （3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可； （4）根据列表法进行求解即可； 【详解】（1）由题可知：（人）， ∴参加学生的人数是80人； （2）由（1）可得：D的人数为， 图略； （3）由（1）可得，A的占比是， ∴． （4）列表如下： C男 C女1 C女2 E男1 （C男，E男1） （C女1，E男1） （C女2，E男1） E男2 （C男，E男2） （C女1，E男2） （C女2，E男2） E女 （C男，E女） （C女1，E女） （C女2，E女） 得到所有等可能的情况有9种， 其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女） 所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键． 19. “一人一盔安全守规，一人一戴平安常在”，如表是某厂质检部门对该厂生产的一批头盔质量检测的情况． 抽取的头盔数 合格品数 合格品频率 （1）求出表中______，______； （2）从这批头盔中任意抽取一顶是合格品的概率的估计值是（精确到）； （3）如果要出厂4900顶合格的头盔，则该厂估计要生产多少顶头盔？ 【答案】（1）， （2）； （3）该厂估计要生产5000顶头盔 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （1）根据表中数据计算即可； （2）由表中数据可判断频率在左右摆动，从而利于频率估计概率可判断任意抽取一只口罩是合格品的概率为； （3）用样本数据估计总体即可． 【小问1详解】 解：，； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：由表格可知，随着抽取的头盔数量不断增大，任意抽取一个是合格的频率在附近波动， 所以任意抽取的一顶是合格品的概率估计值是； 【小问3详解】 解：（顶）． 答：该厂估计要生产顶头盔． 20. 如图1，平行四边形的顶点A、D在轴上，点B在y轴，． （1）若实数a、b满足，直接写出点C的坐标为 ，点D坐标为 ； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，将绕点O顺时针旋转m（），旋转得，y轴正半轴上是否存在一点E，能使以点O、、、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，，，P为内一点，连接、、，直接写出的最小值为 【答案】（1）， （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的非负性结合平行四边形的性质，进行求解即可； （2）点在轴正半轴，利用旋转的性质和等积法，进行求解即可； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，推出为含30度角的直角三角形，推出，勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 存在，当点在轴正半轴时，如图： ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴轴， 设交轴于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 将绕点顺时针旋转得到，连接，延长到，使得，延长至点，使得，连接，则：， ∴为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，当且仅当四点共线时，， ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，综合性强，难度大，解题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 21. 问题发现 （1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程． 深入探究 （2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长． 拓展应用 （3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围． 【答案】 （1）证明： 如图（2）， 取的中点， 连接， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∴， ∵， ∴， ∵， 为的中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理 ，三角形三边关系 ， 勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. （1）取的中点， 连接，则是的中位线，推出且，再由直角三角形斜边中线的性质求得，进而得到据此求解即可； （2）延长交于点，证明，推出，再由三角形中位线定理求解即可； （3）取的中点，连接，，由直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理结合三角形三边关系即可求解. 【详解】（1）略 (2)如图， 延长交于点， ，平分， ，又 ， ， ， ， ， ∵为的中点，， ； （3）， 如图（3）， 由题意知点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接， ， ， ， 由旋转的性质可得 ∵ 为的中点，为的中点， ， ∴ ， ∴当在上时， 最小， 为；当在的延长线上时，最大，为 ． 22. 如图，点E、F分别为平行四边形的边、上的点，，连接、，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得，证明，可得，利用菱形的判定即可证明． 【详解】略 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以菱形为背景探究翻折变化产生的几何问题．已知菱形中，对角线，将沿直线翻折得到，过点A作的平行线交射线于点，过点作的平行线交射线于点． （1）初步探究：如图1，勤思小组先分析了点恰好与点重合时的情形，他们发现此时点与点也重合．求此时的度数； （2）深入思考：如图2，敏学小组进一步探究点与点不重合的情形．他们在探究中提出如下问题．请你解答： ①如图2，当点在的延长线上时，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； ②在度数变化的过程中，连接，是否存在某一时刻，使四边形的面积是菱形面积的一半？若存在，请直接写出相应的的正切值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） ①，证明如下： 证明：沿直线翻折得到， ， ， 四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， ． ， ． ， ， ； ②存在，或1 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． （1）由折叠的性质可得，进而得到，再根据菱形的性质可得是等边三角形即可解答； （2）①先根据折叠的性质可得四边形是平行四边形，再证明可得，最后根据线段的和差及等量代换即可解答；②分点E在上和F在上两种情况，分别运用菱形的判定与性质、正方形的判定与性质以及正切的定义即可解答． 【小问1详解】 解：沿翻折得到， ． ，且与重合， ． 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形． ． 【小问2详解】 解：①略； ②如图：当点E在上时， 由题意可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 过F作交延长线于N，连接交于O，则， ∴， ∴， 又∵， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 如图：当F在上时，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图：作于N， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴与O重合， 由折叠的性质可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． 综上，存在两种四边形面积是菱形面积的情形，此时的正切值为或1． 24. 如图，已知菱形，延长至点，连接，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为等边三角形． ， 在与中， ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质推出为等边三角形，证明即可得到； （2）根据菱形的性质得到，，，推出，求出，得到，，求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）知为等边三角形， ， 菱形， ，，， ， 由（1）得． ． ， ， ， ， ， 平分， ， ． 25. 矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（）证明：连接， 由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （）； （） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）略 （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接， 当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $