第4章 指数与对数（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

第4章 指数与对数（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 指数幂的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【解答过程】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 2．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 【答案】A 【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化结合指数幂运算性质求解即可. 【解答过程】由题意可得：原式. 故选：A. 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 【答案】 【解题思路】根据指数幂运算求解即可. 【解答过程】原式. 故答案为：. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. （2）将两边平方即可得解. 【解答过程】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 5．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 【答案】(1)19 (2)6 【解题思路】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）利用根式的性质和分数指数幂的运算性质化简式子，再代值计算即可. 【解答过程】（1）原式 . （2）原式 ， 因为，，所以原式. 题型2 指数式的给条件求值问题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【解答过程】由得，即， 故， 故 故. 故选：C. 2．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意结合指数幂运算求解. 【解答过程】因为，，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 【答案】 【解题思路】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【解答过程】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解题思路】（1）由得，进而根据分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 则． （2）因为，则， 则． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【解答过程】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 题型3 指数幂等式的证明 1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【解答过程】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D. 2．（24-25高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】A可举出反例，BCD由指数幂的运算法则判断即可. 【解答过程】由指数幂运算法则可知：，，BC错误，D正确， 当时，，故，A错误. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，得到，，．由建立等量关系便得证. 【解答过程】 令，则，，． 很显然有，∴． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 【答案】证明见解析 【解题思路】由，化为2|m|2+3k2，两边平方整理利用完全平方公式即可得出． 【解答过程】证明：∵， ∴2|m|2+3k2， 两边平方可得：， 化为， ∴． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 【答案】证明见解析 【解题思路】将题设中的等式化为，根据这两个等式可证． 【解答过程】证明：因为， 故， 所以， 所以， 故， ， 故． 题型4 带附加条件的指、对数问题 1．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解答过程】由可得：. 则 . 故选：C. 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用对数的换底公式得，，最后利用对数的运算法则即可求解. 【解答过程】由题意有，， 所以， 故选：A. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则 ． 【答案】 【解题思路】先应用对数运算律对化简，再求解． 【解答过程】依题意，， ，所以． 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 【答案】(1)3 (2) 【解题思路】（1）利用对数法则计算出答案； （2）指数式化为对数式，换底公式得到，由换底公式进行化简，代入求值. 【解答过程】（1）原式 ； （2）由，得，由得， . 5．（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【解答过程】（1）由，，得， 所以. （2）由，得， 所以. 题型5 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解题思路】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【解答过程】设，显然， 则，可得， 所以. 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】运用换底公式证明即可. 【解答过程】由题意，根据换底公式，，命题得证. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】令，且，即可表示出、、，再由、换底公式及对数的运算性质计算可得. 【解答过程】依题意、、均不为， 令，且， 则，，． 因为，所以， 即， 所以，即． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)推广：，证明见解析． 【解题思路】（1）利用换底公式通过计算证明； （2）类比推理进行推广，再利用换底公式通过计算证明． 【解答过程】（1），得证； （2）推广： 证明：． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 题型6 对数的实际应用 1．（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 【答案】C 【解题思路】根据题意可得，进而求出和时地震的最大振幅，进而求解即可. 【解答过程】由，则，即， 当时，地震最大振幅为， 当时，地震最大振幅为， 则. 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 【答案】D 【解题思路】根据所给条件先求出，再由千米/秒列方程求解即可. 【解答过程】因为当时，， 所以， 由， 得， 所以， 解得（吨）， 即至少约为128吨. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知2011年甲地发生里氏8级地震，2019年乙地发生里氏6级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据指数、对数运算求得正确答案. 【解答过程】依题意，， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 【答案】32倍 【解析】根据题意,结合对数的运算性质,结合指数与对数的转化,可求得,即可求得两次能量释放的倍数关系. 【解答过程】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为和. 由,可得,. 于是, ， 则， 利用计算工具可得,， 虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍. 5．（24-25高一·江苏·课后作业）（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级.通常规定（相当于频率为1000时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位，这就是分贝（）：.当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为多少分贝？ 【答案】 【解题思路】由对数的运算求解即可. 【解答过程】当被测量的声强I为声强的100倍时，， ， 当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为分贝. 题型7 指数、对数中的新定义 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案. 【解答过程】， ， ， ，即， 解得或， 又 ，所以使成立的m的最小值为9. 故选：B. 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【解题思路】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【解答过程】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【解答过程】， 则 ， 所以， 故选：C． 4．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是 ． 【答案】1 【解题思路】根据条件得出与的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值． 【解答过程】由且，得，， 根据新定义，得 ． 故答案为：1. 5．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1) (2) (3)610 【解题思路】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解答过程】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 指数与对数（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 指数幂的化简、求值 1．（24-25高一上·江苏宿迁·开学考试）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）（    ） A．110 B．109 C．108 D．100 3．（24-25高一上·陕西咸阳·阶段练习）的值为 . 4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 5．（24-25高一上·天津南开·期中）计算： (1)； (2)若，，求的值. 题型2 指数式的给条件求值问题 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东江门·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）设，若，则的值是 . 4．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 5．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2) 题型3 指数幂等式的证明 1．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设都是正数，且，求证：． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，求证：3k2+2＝2m2． 5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证:. 题型4 带附加条件的指、对数问题 1．（24-25高二下·山东日照·期末）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则 ． 4．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)已知，试用表示. 5．（24-25高一上·河南开封·期末）求满足下列条件的各式的值： (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 题型5 运用换底公式证明恒等式 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知：，求证：． 2．（24-25高一·上海·课堂例题）设均为正数，且均不为1.求证：. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）设，其中，，均大于，且都不为，，求证：． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）已知a、b、c为正实数，且a、b、c均不等于1， (1)求证：； (2)设，，，为正实数且（且），请把（1）中结论进行推广，并证明． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 题型6 对数的实际应用 1．（2025·陕西·模拟预测）2025年1月西藏定日发生6.8级地震，已知（里氏震级）的计算公式为（其中是被测地震最大振幅，常数是“标准地震”的振幅），5级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的（   ）倍．（参考数据：） A．1.8 B．18 C．63 D．128 2．（24-25高一上·江苏南通·期末）2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：，其中为火箭推进剂质量，为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当时，千米／秒.在保持不变的情况下，若吨，假设要使达到8千米/秒，则大约为（    ）结果精确到1，参考数据：） A．98吨 B．108吨 C．118吨 D．128吨 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为．已知2011年甲地发生里氏8级地震，2019年乙地发生里氏6级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 ． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？ 5．（24-25高一·江苏·课后作业）（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程.例如，1，10，100，1000，10000，…成10倍增长，取常用对数后就变为0，1，2，3，4，…我们再来看物理学中的一个例子.声强是表示声波强度的物理量，可用公式表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率和振幅，是媒质的密度.由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级.通常规定（相当于频率为1000时能够引起听觉的最弱的声强），这时计算出来的L就是声强Ⅰ的量度，式中声强级的单位称为贝尔.实际上，由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的作单位，这就是分贝（）：.当被测量的声强I为声强的100倍时，声强级L为多少分贝？ 题型7 指数、对数中的新定义 1．（24-25高一上·河南·阶段练习）数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（    ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·上海宝山·阶段练习）对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是 ． 5．（24-25高一上·安徽蚌埠·期中）《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$