精品解析：广东省肇庆市某校2024-2025学年九年级上学期第一次作业检测数学试题

2024-2025学年度秋学期第一次作业质量检测 九年级数学检测题 说明：1．全卷共6页，满分为120分，检测时间为120分钟． 2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 考生必须保持答题卷的整洁，检测结束后，将检测卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2. 方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( ) A. 2，3，－6 B. 2，－3，18 C. 2，－3，6 D. 2，3，6 3. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A. （x+4）2＝﹣7 B. （x+4）2＝9 C. （x+4）2＝23 D. （x+4）2＝﹣9 4. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴， 移项得， ∴， ∴或， ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任意正实数 6. 下列关于方程的结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 7. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 9. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ） A. 2022 B. 2020 C. 2019 D. 2021 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_______________． 12. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式______． 13. 若一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是________． 14. 对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为____________ 15. 如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共计21分） 16. 解方程： （1） （2） 17. （1）化简T； （2）若a是方程的一个根，求T的值． 18. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度 与打出后飞行的时间之间的关系是．问：经过多少秒钟，球飞出的高度为． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 20. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低元，则每天的销售量是_______千克（用含的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元? 21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 五、解答题（三）（共两小题，22题13分，23题14分，共计27分） 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 23. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋学期第一次作业质量检测 九年级数学检测题 说明：1．全卷共6页，满分为120分，检测时间为120分钟． 2．答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 考生必须保持答题卷的整洁，检测结束后，将检测卷和答题卷一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：A：满足一元二次方程的定义，符合题意； B：含有两个未知数，不符合题意； C：未知数的最高次数是１，不符合题意； D：是分式方程，不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟记相关结论即可． 2. 方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( ) A. 2，3，－6 B. 2，－3，18 C. 2，－3，6 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 解：方程2x2=3（x﹣6）， 去括号，得2x2=3x﹣18， 整理，得2x2﹣3x+18=0， 所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18， 故选B． 考点：一元二次方程的一般形式． 3. 用配方法解方程x2+8x+7＝0，变形后的结果正确的是（　　） A. （x+4）2＝﹣7 B. （x+4）2＝9 C. （x+4）2＝23 D. （x+4）2＝﹣9 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项． 【详解】解：x2+8x+7＝0， x2+8x＝﹣7， x2+8x+16＝﹣7+16， （x+4）2＝9， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 4. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴， 移项得， ∴， ∴或， ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要判断每种解法的正确性；甲解法漏解，乙解法计算判别式时c值错误，丙解法配方错误，丁解法正确使用因式分解法. 【详解】解：∵ 方程 可移项得 ， ∴ 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∴ , ； 甲解法两边除以 可能漏解 ，错误； 乙解法整理后方程应为 （即 )，但误认为 ，导致判别式的值错误； 丙解法配方应为 即 ，但误写为 ，导致根错误； 丁解法正确. 故选：D 5. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任意正实数 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程可得，再解不等式即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 6. 下列关于方程的结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 无实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据判别式的符号进行判断即可． 【详解】解：由题意得：； ∴方程没有实数根； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题的关键． 7. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 8. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，根据根与系数关系可得，，代入即可解答． 【详解】解：∵是一元二次方程，即的两个实数根， ∴，， ∴． 故选：D 9. 若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ） A. 2022 B. 2020 C. 2019 D. 2021 【答案】D 【解析】 【分析】设，即可改写为，由题意关于x的一元二次方程有一根为，即有一个根为，所以，x=2021． 【详解】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解．掌握换元法解题是解答本题的关键． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． ⑤存在实数，使得 其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②④⑤ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确的变形是解题的关键．根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题． 【详解】解：∵若，则是方程的根，此时判别式，当方程有两个相等的实数根时，；当方程有两个不同的实根时，， ∴判别式，故①正确； ∵方程有两个不等实根，则其判别式，即， ∴方程的判别式，故②正确； ∵若c是方程的根，则，即，当时，不一定为0，故③错误； ∵是方程的根，则，， ，故④正确； ∵存在实数使，如取，则需，取即可(若，取，)，故⑤正确． 综上，正确的是①②④⑤． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直接开方法即可解答． 【详解】解： 则， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程的特点，灵活选择解法． 12. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，利用平移，得到草坪的长和宽分别为：米和米，根据草坪的面积为243平方米，列出方程即可． 【详解】解：设草坪的长和宽分别为：米和米， 由题意，得：，整理得：； 故答案为：． 13. 若一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个实数根得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 14. 对于两个不相等的实数a、b， 我们规定符号表示a、b中的较小值． 如：，按照这个规定，方程 的解为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，根据，再根据新定义化简已知等式，求出解即可． 【详解】解：， 由，得， 解得： 故答案为： 15. 如图，在中，，动点M从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒，连接． 当四边形的面积为时，t的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点M作于点D，根据题意可得，再由直角三角形的性质可得，从而得到，再根据，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点D， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，一元二次方程的应用，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共计21分） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. （1）化简T； （2）若a是方程的一个根，求T的值． 【答案】（1） （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）利用乘法公式进行计算即可； （2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ∵a是方程的一个根， ∴，即：， ∴． 18. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行高度 与打出后飞行的时间之间的关系是．问：经过多少秒钟，球飞出的高度为． 【答案】2秒或5秒 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数的应用．把代入函数解析式求解即可． 【详解】解：把代入函数解析式得， 化简整理，得， 解得：，， 答：经过2秒或5秒，球飞出的高度为． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 20. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低元，则每天的销售量是_______千克（用含的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元? 【答案】（1） （2）0.3元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，列代数式， （1）根据这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克列出式子即可； （2）设每千克的售价降低x元，根据利润=（售价进价）×数量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天的销售量为千克 故答案为： 【小问2详解】 解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据题意，得 可化为：，解这个方程，得，． 为使每天的销量较大，应降价0.3元． 答：需将每千克的售价降低0.3元． 21. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）写出一个“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2） 证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）1 【解析】 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【小问1详解】 解：当，，时勾系一元二次方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 五、解答题（三）（共两小题，22题13分，23题14分，共计27分） 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 23. 等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 【答案】（1）S=（t<10），（t>10）； （2）； （3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M 在Rt△APE和Rt△QCM中 ∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45° ∴∠A=∠QCM ∵AP=QC=t, ∠QMC=∠AEP=90° ∴△APE≌△QCM ∴AE=PE=CM=QM=t， ∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半 又∵EM=AC=10 ∴DE=5 ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变 同理，当点P在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变． 【解析】 【分析】（1）由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系， (2)根据s△ABC=AB•BC＝50，设P运动的时间为t秒，分别分析当t＜10秒时，以及当t＞10秒时得出t的值即可； (3) 根据当t＜10秒时，P在线段AB上，得出△APE≌△QCF，以及当t＞10秒时，P在线段AB的延长线上，得出DE的长． 【详解】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，如图1，此时CQ=t，PB=10-t S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(10−t)=(10t−t2) 当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上如图2，此时CQ=t，PB=t-10 S△PCQ=CQ•PB． ∴s=×t×(t−10)=(t2−10t) （2）∵S△ABC=AB•BC=50 ∴当t＜10秒时，S△PCQ=(10t−t2)=50 整理得t2-10t+100=0无解 当t＞10秒时，S△PCQ=(t2−10t)=50 整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去负值） ∴当点P运动5+5秒时，S△PCQ=S△ABC. （3） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $